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惠更斯原理

惠更斯原理是克里斯蒂安·惠更斯于1678年提出的關(guān)于波傳播的理論?；莞乖肀砻?，假設(shè)在時間 t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} 由主波源Q 0 發(fā)射出的球面波，在時間 t = t 1 {\displaystyle t=t_{1}} 傳播到波前 S {\displaystyle \mathbb {S} } ，那么位于波前 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的每一個面元素矢量 d S {\displaystyle \mathrm gs0j8bf \mathbf {S} } 都可以被視為一個次波源，所有從這些次波源發(fā)射出的次波，在之后時間 t = t 2 {\displaystyle t=t_{2}} 波前的包絡(luò)面就是主波源Q 0 所發(fā)射出的球面波在時間 t = t 2 {\displaystyle t=t_{2}} 的波前。

惠更斯-菲涅耳原理

從主波源Q 0 發(fā)射出的球面波，其波前 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的每一點Q都可以視為次波源，它們會發(fā)射出次波，在空間任意一點P的波擾是所有這些次波在該點P的相干疊加。

波動有兩個基本屬性：

惠更斯原理只闡述了前一條屬性，奧古斯丁·菲涅耳將惠更斯提出的次波的概念加以延伸，提出用“次波相干疊加”的點子來解釋衍射現(xiàn)象，這就是惠更斯-菲涅耳原理。這原理表明，波前 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的每個面元素矢量 d S ′ {\displaystyle \mathrm damn8xa \mathbf {S} "} 都可以視為次波源，它們會發(fā)射出次波，在空間任意一點P的波擾是所有這些次波在該點P的相干疊加。設(shè)定位于波前 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的任意一點Q，它在點P貢獻的復振幅為 d ψ ψ --> ( r , r ′ ) {\displaystyle \mathrm bitm3ee \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ")} ；其中， r {\displaystyle \mathbf {r} } 、 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} 分別為點P、點Q的位置。在點P的總波擾為

為了將這公式具體化，菲涅耳憑借直覺對 d ψ ψ --> ( r , r ′ ) {\displaystyle \mathrm pd6yjb9 \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ")} 作出了如下假設(shè)：

它應當正比于面元素的面積：

它應當正比于次波源的復振幅：

次波源發(fā)射出的次波應是球面波，其中 k {\displaystyle k} 是波數(shù)：

次波源發(fā)射出的次波是各向異性的。假設(shè) n ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 是與面元素矢量 d S ′ {\displaystyle \mathrm z0f46vo \mathbf {S} "} 同方向的單位矢量， χ χ --> {\displaystyle \chi } 是 n ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 與 R ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}} 之間的夾角，則傾斜因子 K ( χ χ --> ) {\displaystyle K(\chi )} 與 d ψ ψ --> ( r , r ′ ) {\displaystyle \mathrm xlv4l0c \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ")} 的關(guān)系為

根據(jù)以上假設(shè)可以得到如下菲涅耳衍射積分公式

其中， c {\displaystyle c} 是比例常數(shù)。

菲涅耳-基爾霍夫衍射公式

在菲涅耳衍射積分公式提出六十余年后，古斯塔夫·基爾霍夫用嚴格的數(shù)學理論推導出菲涅耳-基爾霍夫衍射公式：

其中， α α --> {\displaystyle \alpha } 、 χ χ --> {\displaystyle \chi } 分別是 r ′ ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} "}}} 、 R ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}} 與 n ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 之間的夾角。

推論從點光源Q 0 發(fā)射的單色光波，其波擾的數(shù)值大小與傳播距離成反比，在位置 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} 以方程表達為 ψ ψ --> ( r ′ ) = ψ ψ --> 0 e i k r ′ / r ′ {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ")=\psi _{0}e^{ikr"}/r"} 。又在其發(fā)射出的球面波的波前任意位置， r ′ ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} "}}} 與 n ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 同向，夾角 α α --> = 0 {\displaystyle \alpha =0} 。設(shè)定比例常數(shù) c = ? ? --> i / λ λ --> {\displaystyle c=-i/\lambda } ， K ( χ χ --> ) = ( 1 + cos ? ? --> χ χ --> ) / 2 {\displaystyle K(\chi )=(1+\cos \chi )/2} ，則可得到菲涅耳衍射積分公式。

嚴格導引

點P在閉合曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 之外。位于點P的波擾 ψ ψ --> ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} ，可以以位于閉合曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的所有波擾與其梯度表達。

基爾霍夫積分定理應用格林第二恒等式來推導出齊次波動方程的解答，這解答是以波動方程在任意閉合曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的每一個點的解答和其一階導數(shù)來表達。

對于單頻率波，解答為

或者

其中， r {\displaystyle \mathbf {r} } 、 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} 分別是從點Q 0 到點P、點Q的位移矢量， ψ ψ --> ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} 是在點P的波擾， R = r ? ? --> r ′ {\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} "} 是從點Q到點P的位移矢量， R {\displaystyle R} 是其數(shù)值大小， k {\displaystyle k} 是波數(shù)， ? ? --> ′ {\displaystyle \nabla "} 是對于源位置 r ′ {\displaystyle \mathbf 梯度} "} 的梯度， d S ′ {\displaystyle \mathrm tqst5bc \mathbf {S} "} 是從閉合曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 向外指出的微小面元素矢量， ? ? --> ? ? --> n ′ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n"}}} 是閉合曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的法向?qū)?shù)。

在推導基爾霍夫衍射公式的過程中，基爾霍夫做了以下假定：

點波源與孔隙之間的距離 r ′ {\displaystyle r"} 超大于波長 λ λ --> = 2 π π --> / k {\displaystyle \lambda =2\pi /k} 。

R {\displaystyle R} 超大于波長 λ λ --> {\displaystyle \lambda } 。

點波源

從點波源Q 0 發(fā)射的單頻率波，其能量與傳播距離平方成反比，波擾的數(shù)值大小與傳播距離成反比，在點Q的波擾以方程表達為

其中， ψ ψ --> 0 {\displaystyle \psi _{0}} 是復值波幅。

假設(shè)點P在閉合曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 之外，應用基爾霍夫積分定理的方程，可以得到在點P的波擾：

其中， n ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 是與 d S ′ {\displaystyle \mathrm n5ewumn \mathbf {S} "} 同方向的單位矢量。

注意到球面出射波的梯度為

從基爾霍夫所做的假定， k ? ? --> 1 / R {\displaystyle k\gg 1/R} 、 k ? ? --> 1 / r ′ {\displaystyle k\gg 1/r"} （例如，假設(shè)距離大約為1mm，則對于波長在0.4μm至0.可見光之間的可見光，可以做這假定；但對于波長在1mm微波m之間的微波，這假定不適用），則上述兩個公式近似為

所以，在點P的波擾

其中， α α --> {\displaystyle \alpha } 、 χ χ --> {\displaystyle \chi } 分別是 r ′ ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} "}}} 、 R ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}} 與 n ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 之間的夾角。

這就是菲涅耳-基爾霍夫衍射公式，或 基爾霍夫衍射公式 。

傾斜因子

傾斜因子 K ( χ χ --> ) {\displaystyle K(\chi )} 為 [ 1 + cos ? ? --> ( χ χ --> ) ] / 2 {\displaystyle [1+\cos(\chi )]/2} 。

如右圖所示，假設(shè)閉合曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 是圓球面，點波源Q 0 與圓球面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的圓心同點。在圓球面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的任意位置， r ′ ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} "}}} 與 n ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 同向，所以，

注意到 r ′ {\displaystyle r"} 是圓球面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的半徑，對于這積分， r ′ {\displaystyle r"} 值不變，可以從積分里提出。在點P的波擾為

其中， K ( χ χ --> ) = 1 + cos ? ? --> χ χ --> 2 {\displaystyle K(\chi )={\frac {1+\cos \chi }{2}}} 為傾斜因子。

應用惠更斯－菲涅耳原理，所得到在點P的波擾的方程，就是這方程。但是，惠更斯－菲涅耳原理無法解釋相位差與傾斜因子的物理原因。傾斜因子使得次波的波幅會因為傳播方向而不同；朝著主波方向，波幅較大；逆著主波方向，波幅較小。這解釋了為什么波動只會朝著前方傳播的物理現(xiàn)象。

惠更斯－菲涅耳原理

仔細詮釋惠更斯－菲涅耳原理的方程：從點波源Q 0 發(fā)射的波幅為 ψ ψ --> 0 {\displaystyle \psi _{0}} 的球面波，在點Q的波擾為 ψ ψ --> ( r ′ ) = ψ ψ --> 0 e i k r ′ / r ′ {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ")=\psi _{0}e^{ikr"}/r"} ；而從點Q發(fā)射的次波，將傾斜因子與相位差納入考量，所貢獻出的波擾，在點P為

總合所有與點Q同波前的點次波源在點P所貢獻出的波擾，就可以得到 ψ ψ --> ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} 。

換另一種直接方法來詮釋，從點波源Q 0 發(fā)射的球面波，在點P的波擾為

假若這兩種詮釋都正確，則從這兩種 ψ ψ --> ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} 的表達式分別計算出的結(jié)果，應該可以被核對為相等：

為了簡易計算，假設(shè) r ? ? --> r ′ {\displaystyle r\gg r"} ，則以下近似成立：

其中， θ θ --> {\displaystyle \theta } 為 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} 與 r {\displaystyle \mathbf {r} } 之間的夾角。

所以，在點P的波擾可以近似為

有限尺寸波源

假設(shè)波源為有限尺寸，位于曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的波擾表達為 ψ ψ --> ( r ′ ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ")} ，則位于點P的波擾為

假定 k ? ? --> 1 / R {\displaystyle k\gg 1/R} ，則

這是基爾霍夫衍射公式最廣義的形式。解析涉及到有限尺寸波源的問題，必須用體積分來將波源的每一點所給出的貢獻總合在一起。

標量理論

光波是傳播于空間的電磁輻射，理當被視為一種電磁場矢量現(xiàn)象。但是，基爾霍夫的理論是標量理論，將光波當作標量處理，這可能會造成偏差。因此，物理學者做了很多實驗來檢查結(jié)果是否準確。他們發(fā)現(xiàn)，只要孔徑尺寸比波長大很多、孔徑與觀察屏之間的距離不很近，則使用標量理論可以得到相當準確的答案。但是對于某些問題，例如高分辨率光柵衍射，標量理論就不適用，必須使用矢量理論。

參閱

泊松光斑

基爾霍夫衍射公式

基爾霍夫積分定理

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