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衍射與干涉的關(guān)系

美國物理學(xué)家、諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主理查德·費(fèi)曼指出：

他還提到，如果只有少數(shù)的波源（例如兩個(gè)的時(shí)候），我們稱這現(xiàn)象為“干涉”，例如我們稱楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中雙縫所產(chǎn)生的兩束光源產(chǎn)生了干涉現(xiàn)象。而當(dāng)大量波源存在時(shí)，對(duì)應(yīng)的過程被稱作是“衍射”。在實(shí)際情況中，衍射和干涉往往是同時(shí)出現(xiàn)的。有文獻(xiàn)這樣總結(jié)：干涉是有限多個(gè)波束“相加”的結(jié)果，而衍射則是無限多個(gè)波束“積分”的結(jié)果。

研究歷史

 意大利物理學(xué)者弗朗西斯科·格里馬第（1618-1663）。

光的衍射效應(yīng)最早是由弗朗西斯科·格里馬第（ Francesco Grimaldi ）于1665年發(fā)現(xiàn)并加以描述，他也是“衍射”一詞的創(chuàng)始人。 這個(gè)詞源于拉丁語詞匯 diffringere ，意為“成為碎片”，即波原來的傳播方向被“打碎”、彎散至不同的方向。格里馬第觀察到的現(xiàn)象直到1665年才被發(fā)表，這時(shí)他已經(jīng)去世。他提出

英國科學(xué)家艾薩克·牛頓對(duì)這些現(xiàn)象進(jìn)行了研究，他認(rèn)為光線發(fā)生了彎曲，并認(rèn)為光是由粒子構(gòu)成。在19世紀(jì)以前，由于牛頓在學(xué)界的權(quán)威，光微粒說在很長一段時(shí)間占有主流位置。這樣的情況直到19世紀(jì)幾項(xiàng)理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的發(fā)表，才得以改變。1803年，托馬斯·楊進(jìn)行了一項(xiàng)非常著名的實(shí)驗(yàn)，這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)展示了兩條緊密相鄰的狹縫造成的干涉現(xiàn)象，后人稱之為“雙縫實(shí)驗(yàn)”。 在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，一束光照射到具有緊挨的兩條狹縫的遮光擋板上，當(dāng)光穿過狹縫并照射到擋板后面的觀察屏上，可以產(chǎn)生明暗相間的條紋。他把這歸因于光束通過兩條狹縫后衍射產(chǎn)生的干涉現(xiàn)象，并進(jìn)一步推測光一定具有波動(dòng)的性質(zhì)。奧古斯丁·菲涅耳則對(duì)衍射做了更多權(quán)威的計(jì)算研究，他的結(jié)果分別于1815年 和1818年 被發(fā)表，他提到

法國科學(xué)院曾經(jīng)舉辦了一個(gè)關(guān)于衍射問題的有獎(jiǎng)辯論會(huì)，菲涅耳贏得了這次辯論。作為反對(duì)光波動(dòng)說的其中一位，西莫恩·德尼·泊松提出，如果菲涅耳聲稱的結(jié)論是正確的，那么當(dāng)光射向一個(gè)球的時(shí)候，將會(huì)在球后面陰影區(qū)域的中心找到亮斑。結(jié)果，評(píng)審委員會(huì)安排了上述實(shí)驗(yàn)，并發(fā)現(xiàn)了位于陰影區(qū)域中心的亮斑（它后來被稱作泊松光斑）。這個(gè)發(fā)現(xiàn)極大地支持了菲涅耳的理論。 他的研究為克里斯蒂安·惠更斯發(fā)展的光的波動(dòng)理論提供了很大的支持。他與楊的理論共同反駁了牛頓關(guān)于光是粒子的理論。

在對(duì)衍射現(xiàn)象的探索過程中，人們也不斷積累了對(duì)于衍射光柵的認(rèn)識(shí)。17世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家詹姆斯·格雷戈里（ James Gregory ）在鳥的羽毛縫間觀察到了陽光的衍射現(xiàn)象。他是第一個(gè)發(fā)衍射光柵原理的科學(xué)家。在1673年5月13日他寫給約翰·科林斯（ John Colins ）的一封信中提到了此發(fā)現(xiàn)。 ；1786年，美國天文學(xué)家戴維·里滕豪斯用螺絲和細(xì)線第一次人工制成了衍射光柵，細(xì)線的密度達(dá)到每英寸100線，他用這個(gè)裝置成功地看到了陽光的衍射。1821年，約瑟夫·夫瑯禾費(fèi)利用相似的裝置（每厘米127線）證明了托馬斯·楊關(guān)于衍射的公式（參見段落下方），并對(duì)衍射進(jìn)行了許多重要研究。1867年，劉易斯·盧瑟福（ Lewis Morris Rutherfurd ）采用水輪機(jī)作為動(dòng)力進(jìn)行刻線、制作光柵。后來的亨利·奧古斯塔斯·羅蘭改良了光柵的刻劃技術(shù)，并在1882年發(fā)明了在凹形球面鏡上進(jìn)行刻劃的凹面光柵。其后的羅伯特·伍德（ Robert William Wood ）改進(jìn)了光柵的刻劃形狀，從而提高了光柵的衍射效率。近代的阿爾伯特·邁克耳孫提出利用干涉伺服系統(tǒng)控制光柵的刻劃過程，于1948年實(shí)現(xiàn)了這一想法。20世紀(jì)下半葉，由于激光、光刻膠等新技術(shù)的出現(xiàn)，光柵制造技術(shù)取得很大的進(jìn)步，制造成本顯著降低，制造周期也得以縮短。

日常生活中的實(shí)例

  圖示為溫泉上方水蒸氣中的光環(huán)現(xiàn)象。光環(huán)是一種光波被水氣或尺寸不均勻的小水滴反向散射到其波源的光學(xué)現(xiàn)象，整個(gè)過程包含了衍射、反射和折射。

衍射效應(yīng)在日常生活中并不罕見。許多有關(guān)光的衍射實(shí)例都可以用肉眼觀察到。例如，在CD或DVD光盤的表面，均勻地緊密排列著一系列的光軌，這些光軌相當(dāng)于衍射光柵的作用。 如果以一定的角度觀察它們，會(huì)看到光在盤面表現(xiàn)出類似彩虹的彩色圖樣。將上述現(xiàn)象的基本原理加以利用，很多產(chǎn)生有意思衍射圖樣的衍射光柵，都可以被制備出來。衍射也是信用卡等所采用的全息攝影的技術(shù)基礎(chǔ)之一。 地球的大氣層是由微小粒子組成的，因此它也能夠使空間光源（例如太陽或者月亮）的光在大氣層發(fā)生衍射，從而形成光環(huán)。此外，當(dāng)激光照射到粗糙的光學(xué)界面上時(shí)，也能夠發(fā)生衍射現(xiàn)象，產(chǎn)生散斑。 上述所有例子都是光具有波動(dòng)性的結(jié)果。

衍射是一切波的固有屬性。即使是宏觀的海浪，在防波堤或其他障礙物附近也能夠發(fā)生衍射。此外，聲波在障礙物邊緣發(fā)生衍射，也是人站在障礙物（例如墻壁、樹木）后面仍然能夠聽到聲音的原因之一。 不過，衍射也為照相機(jī)、望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡等光學(xué)儀器的的分辨率設(shè)定了一定的限制。

物理機(jī)制

  惠更斯原理的示意圖：可以看出，狹縫處諸點(diǎn)光源作為次生光波的光源向各個(gè)方向發(fā)出光波。

光波（或其他波）傳播的路徑不同，可能造成衍射現(xiàn)象的發(fā)生?？梢杂没莞梗颇砗筒ǖ寞B加原理對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行描述。這個(gè)理論認(rèn)為，可以把波前的每一點(diǎn)考慮為次波（球面波）的點(diǎn)波源，這些次波就是后續(xù)時(shí)刻的波面。這個(gè)原理最早由惠更斯于17世紀(jì)提出，不過他并未慮及波的時(shí)空周期性（他認(rèn)為光是一種非周期性的、無規(guī)則的脈沖）。fact|1818年左右，菲涅耳在巴黎科學(xué)院關(guān)于解釋衍射現(xiàn)象的有獎(jiǎng)競賽中，吸收了惠更斯“次波”的思想，并加入了他對(duì)于干涉現(xiàn)象的理解，使上述理論得以發(fā)展和完善。后人將這個(gè)理論稱為“惠更斯－菲涅耳原理”。根據(jù)這一理論，任意后續(xù)位置的波位移等于這些次波求和。求和并非簡單的代數(shù)和，而必須慮及這些波各自的相對(duì)相位以及振幅。因此，它們疊加之后的振幅范圍介于0（相互完全抵消）和所有次波振幅的代數(shù)總和之間。我們可以通過光學(xué)實(shí)驗(yàn)，觀察到光波的衍射圖樣。光的衍射圖樣通常具有一系列明暗條紋（分別對(duì)應(yīng)光波振幅的最大值和最小值）。

人們?yōu)榱朔治霾ǖ难苌洮F(xiàn)象，構(gòu)造了許多數(shù)學(xué)模型，其中包括從波動(dòng)方程推導(dǎo)出的菲涅耳－基爾霍夫衍射公式、夫瑯禾費(fèi)衍射模型以及菲涅耳衍射模型。 設(shè) a {\displaystyle a} 為圓孔半徑或狹縫寬度， λ λ --> {\displaystyle \lambda } 為入射波的波長， L {\displaystyle L} 為觀察屏距離圓孔、狹縫等衍射物體的距離，如果它們滿足

我們就稱其為菲涅耳衍射，它是衍射的近場近似；

如果它們滿足

我們就稱其為夫瑯禾費(fèi)衍射，它是衍射的遠(yuǎn)場近似。

大多數(shù)情況，獲得衍射方程的嚴(yán)格解析解較為困難， 可以通過有限元分析和邊界元分析方法來求得數(shù)值解。實(shí)際的衍射過程通常很復(fù)雜，不過，如果能夠?qū)?shí)際情況簡化到二維平面上，則對(duì)于衍射的數(shù)學(xué)描述將變得相對(duì)簡單。例如，水波就可以近似地看做是分布在二維平面上的機(jī)械波。而對(duì)于光波，如果它遇到的衍射物體在某一個(gè)方向的尺度遠(yuǎn)大于光的波長，從而造成這個(gè)方向的衍射現(xiàn)象不顯著，那么，在分析計(jì)算時(shí)可以將其忽略，這樣做并不會(huì)嚴(yán)重影響分析結(jié)果。例如，狹縫問題就可以簡化到二維的情況，這是因?yàn)槠溲刂p隙方向的長度和入射光波長相差甚遠(yuǎn)，因此我們只需考慮它寬度和厚度這兩個(gè)方向。然而，當(dāng)我們考慮入射光穿過圓孔時(shí)，則必須完整地考慮其三維方向光的傳播細(xì)節(jié)。

光的衍射

單縫衍射

  在實(shí)驗(yàn)中，常常利用圖中的xy-可調(diào)式單縫儀來研究單縫衍射。通過四個(gè)旋鈕，可以方便地對(duì)狹縫的寬度和形狀進(jìn)行微調(diào)，從而研究不同情況衍射的特點(diǎn)。

  圖的右半部分為觀察屏水平方向上的輻照度分布，輻照度曲線在 θ θ --> {\displaystyle \theta } -軸的第一個(gè)零點(diǎn) θ θ --> m i n , 1 {\displaystyle \theta _{min,1}} 被稱為“第一極小值”；圖的左半部分為單縫衍射的示意圖，狹縫處諸點(diǎn)光源發(fā)出的光波以角度 θ θ --> {\displaystyle \theta } 傳播到達(dá)第一極小值。這里，我們認(rèn)為這些光束與狹縫垂直平分線的夾角均為 θ θ --> {\displaystyle \theta } ，是基于 L {\displaystyle L} 遠(yuǎn)大于 d {\displaystyle d} 的前提。

假設(shè)有一個(gè)不透明擋板，用小刀在上面刻一條狹長、筆直、透光的縫，然后在擋板的后面放置一個(gè)觀察屏。照射單色平行光（ collimated light ）在這個(gè)擋板上。按照幾何光學(xué)，觀察屏上只會(huì)有一條與狹縫輪廓相同的亮條紋。然而，精細(xì)的觀察可以發(fā)現(xiàn)在這條亮條紋的兩側(cè)，對(duì)稱地分布著一些亮條紋。發(fā)生這樣現(xiàn)象是因?yàn)楣庠讵M縫處發(fā)生了衍射。

  單縫衍射強(qiáng)度分布圖

假設(shè)狹縫寬度大于光波的波長，那么當(dāng)這束光穿過狹縫后，會(huì)向擋板后的區(qū)域傳播，并在那里發(fā)生干涉現(xiàn)象。實(shí)際上，狹縫的縫寬之間均勻分布著大量點(diǎn)光源，衍射圖樣是這些點(diǎn)光源的共同作用結(jié)果。為了簡化對(duì)于該過程的分析，限定入射光具有單一的波長、都是單色光（頻率相同），并且在波源位置具有相同的初始相位。在狹縫后面的區(qū)域中任意位置的光是上述所有點(diǎn)光源的“次光波”在那位置的疊加結(jié)果。 因?yàn)榇喂獠◤莫M縫的每個(gè)點(diǎn)光源到給定點(diǎn)所經(jīng)過的路徑不同，所以它們的光程不同，因此它們在給定點(diǎn)的相位將會(huì)不同。對(duì)于縫間任意兩個(gè)點(diǎn)光源，假若分別來自它們的次光波在觀察屏給定點(diǎn)的相對(duì)相位為 2 π π --> {\displaystyle 2\pi } ，則這兩個(gè)次光波會(huì)干涉相長；假若相對(duì)相位為 π π --> {\displaystyle \pi } ，則這兩個(gè)次光波會(huì)干涉相消。 從這概念，可以找到衍射光強(qiáng)的極大值或極小值。在衍射圖樣中，它們分別表現(xiàn)為明暗條紋。

通過下面的推導(dǎo)， 可以找到衍射光波的第一個(gè)極小值在觀察屏上的位置。將寬度為 d {\displaystyle d} 的狹縫均分為上下兩段，每段長度分別為 d / 2 {\displaystyle d/2} 。考慮來自上段頂部的一束光與來自下段頂部（即狹縫中點(diǎn)）的一束光（波長為 λ λ --> {\displaystyle \lambda } ），這兩個(gè)點(diǎn)光源的距離為狹縫長度的一半。當(dāng)兩束光傳播到觀察屏上距離中央極大值最近的位置（此處到狹縫中點(diǎn)連線垂直平分線平分線的夾角為 θ θ --> {\displaystyle \theta } ），兩束光的光程差等于半個(gè)波長，即

時(shí)（在等式兩邊同時(shí)乘以2，可以得到 d sin ? ? --> θ θ --> = λ λ --> {\displaystyle d\,\sin \theta =\lambda } ），二者將發(fā)生干涉相消?，F(xiàn)在考慮上段中點(diǎn)和下段中點(diǎn)發(fā)出的兩束光，如果它們在相應(yīng)位置的光程差也等于半個(gè)波長，則也能發(fā)生相似的干涉相消現(xiàn)象。注意，在上面的討論中，我們已經(jīng)假定狹縫與觀察屏的間距遠(yuǎn)大于狹縫的寬度 L ? ? --> d {\displaystyle L\gg d} ，這樣就可以近似認(rèn)為狹縫間諸點(diǎn)光源以相同的角度 θ θ --> {\displaystyle \theta } 平行地傳播到第一極小值位置?？梢韵胂?，狹縫其他位置任意兩個(gè)點(diǎn)光源，只要滿足 d sin ? ? --> θ θ --> m i n , 1 = λ λ --> {\displaystyle d\,\sin \theta _{min,1}=\lambda } ，那么都會(huì)在上述位置形成干涉相消，形成第一級(jí)暗紋。

回想先前的假設(shè)為狹縫寬度大于光波波長。注意到狹縫寬度越小，同時(shí)保持波長不變，則 sin ? ? --> θ θ --> m i n , 1 = λ λ --> / d {\displaystyle \sin \theta _{min,1}=\lambda /d} 越大， θ θ --> m i n , 1 {\displaystyle \theta _{min,1}} 也越大，因此觀察屏展示的第一級(jí)暗紋離開中央越遠(yuǎn)，直到當(dāng)狹縫寬度等于光波波長時(shí)， θ θ --> m i n , 1 = π π --> / 2 {\displaystyle \theta _{min,1}=\pi /2} ，在觀察屏表面再也找不到第一級(jí)暗紋，整個(gè)觀察屏都被明紋覆蓋了。所以，只有當(dāng)狹縫寬度大于光波波長時(shí)，才能夠展示出衍射的干涉圖樣。

上面考慮了第一極小值的情況?？梢苑抡丈厦娴姆椒?，將狹縫均分為4段、6段、8段…… 2 n {\displaystyle 2n} 段，則 n {\displaystyle n} 級(jí)衍射極小值位置的衍射角滿足下面的方程

這里 n {\displaystyle n} 是非零整數(shù)，表示第 n {\displaystyle n} 級(jí)暗紋（極小值）。

此外，輻照度分布可以由夫瑯禾費(fèi)衍射方程給出：

這里

I ( θ θ --> ) {\displaystyle I(\theta )} 為給定角度位置處的輻照度

I 0 {\displaystyle I_{0}} 初始輻照度

當(dāng) x ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle x\neq 0} 時(shí)， sinc ? ? --> ( x ) = sin ? ? --> ( π π --> x ) / ( π π --> x ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)} ，在原點(diǎn)處 sinc ? ? --> ( 0 ) = 1 {\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}

單縫衍射強(qiáng)度分布公式

單縫衍射的強(qiáng)度分布可用下列簡單公式表示：

I= sin ? ? --> ( π π --> ? ? --> d ? ? --> sin ? ? --> ( ( 1 / 180 ) ? ? --> p i ? ? --> θ θ --> ) / λ λ --> ) 2 ? ? --> λ λ --> 2 ? ? --> 32400 ( π π --> 2 ? ? --> d 1 2 ? ? --> π π --> 2 ? ? --> θ θ --> 2 ) {\displaystyle {\frac {\sin(\pi *d*\sin((1/180)*pi*\theta )/\lambda )^{2}*\lambda ^{2}*32400}{(\pi ^{2}*d1^{2}*\pi ^{2}*\theta ^{2})}}}

其中 d 為縫隙的寬度，θ 為角度，λ為波長。

夫瑯禾費(fèi)單縫衍射與菲涅爾單縫衍射有明顯不同，前者的第一極小值為0，后者不為0.

雙縫衍射

當(dāng)我們討論雙縫干涉時(shí)，為了簡化問題，常常假設(shè)縫的寬度遠(yuǎn)小于入射光的波長。這樣，在觀察屏上就可以看到輻照度近似相等的干涉條紋。事實(shí)上，在真實(shí)的實(shí)驗(yàn)并不總能滿足上述假設(shè)。呈現(xiàn)在觀察屏上的亮條紋是中央最亮，兩側(cè)亮度逐漸衰減。因此，實(shí)際產(chǎn)生的圖樣是干涉、衍射效應(yīng)的總和。簡單地說，實(shí)際雙縫實(shí)驗(yàn)的條紋，具有理想雙縫干涉中條紋的位置，但是輻照度在觀察屏上的分布類似單縫衍射中央強(qiáng)、兩側(cè)弱的情況。

考慮到衍射效應(yīng)，實(shí)際的雙縫干涉圖樣的輻照度可以用以下公式計(jì)算

其中， β β --> = π π --> d λ λ --> sin ? ? --> θ θ --> {\displaystyle \beta ={\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta } 為干涉因子，源于縫間距為 d {\displaystyle d} 的雙縫干涉效應(yīng)；而 α α --> = π π --> a λ λ --> sin ? ? --> θ θ --> {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta } 為衍射因子，源于縫寬為 a {\displaystyle a} 的單縫衍射效應(yīng)。

上述公式表明，實(shí)際的雙縫干涉是干涉和衍射的共同效應(yīng)。如果考慮問題時(shí)把縫寬忽略，把入射波考慮成來自少數(shù)幾個(gè)具有相同相位的波源，那么就稱看到的現(xiàn)象為“干涉”；如果把入射波考慮成來自同相位的波陣面（縫寬方向的大量點(diǎn)波源），那么就稱看到的現(xiàn)象為“衍射”。這樣的說法只是為了分析問題方便，事實(shí)上二者常常是同時(shí)發(fā)生的。

衍射光柵

衍射光柵是狹縫按照一定規(guī)律分布的光學(xué)裝置，它能夠調(diào)整入射光的相位、振幅等屬性，使透過它的光發(fā)生衍射、干涉，以達(dá)到所需的實(shí)驗(yàn)?zāi)康?。光穿過衍射光柵后形成的圖樣形狀與光柵的結(jié)構(gòu)和數(shù)量都有關(guān)系。

所有衍射光柵的 m {\displaystyle m} 級(jí)極大衍射角 θ θ --> m {\displaystyle \theta _{m}} 滿足下列光柵方程

這里

θ θ --> i {\displaystyle \theta _{i}} i 為光波入射到光柵的角度，如果是垂直入射到平面光柵，則 sin ? ? --> θ θ --> i = 0 {\displaystyle \sin {\theta _{i}}=0}

d {\displaystyle d} 為光柵刻線的間距，也成為光柵常數(shù)

m {\displaystyle m} 為非零整數(shù)

衍射光柵后面給定位置的光波，是衍射光柵諸狹縫衍射光的疊加。用于分離白光中不同頻率成分光的分光計(jì)，就利用了衍射光柵的原理。

下面位于中間的這幅圖顯示了具有相同縫間距的雙縫光柵和五縫光柵的衍射圖樣?？梢钥闯?，衍射光加強(qiáng)點(diǎn)的位置是相同的，但是光斑的寬度有所不同。

紅色激光通過衍射光柵所產(chǎn)生的衍射。

紅色激光的多縫衍射圖樣，上方所示的是2條狹縫的情況，下方為5條狹縫的情況。

波長為633納米的激光通過一個(gè)具有150條狹縫的網(wǎng)格

衍射光柵強(qiáng)度分布

衍射光柵的強(qiáng)度分布是衍射因子和干涉因子的乘積：

P = D ( θ θ --> ) ? ? --> I ( θ θ --> ) {\displaystyle P=D(\theta )*I(\theta )}

其中 D 是 衍射因子

D = sin ? ? --> ( π π --> ? ? --> d ? ? --> sin ? ? --> ( θ θ --> ) / λ λ --> ) 2 ? ? --> λ λ --> 2 ( π π --> 2 ? ? --> d 2 ? ? --> sin ? ? --> ( θ θ --> ) 2 ) {\displaystyle D={\frac {\sin(\pi *d*\sin(\theta )/\lambda )^{2}*\lambda ^{2}}{(\pi ^{2}*d^{2}*\sin(\theta )^{2})}}}

I 是干涉因子：

I = sin ? ? --> ( π π --> ? ? --> a ? ? --> sin ? ? --> ( θ θ --> ) ? ? --> N / λ λ --> ) 2 ( N 2 ? ? --> sin ? ? --> ( π π --> ? ? --> a ? ? --> sin ? ? --> ( θ θ --> ) / λ λ --> ) 2 ) {\displaystyle I={\frac {\sin(\pi *a*\sin(\theta )*N/\lambda )^{2}}{(N^{2}*\sin(\pi *a*\sin(\theta )/\lambda )^{2})}}}

圓孔衍射

  圓孔衍射的示意圖，當(dāng) R > a 2 / λ λ --> {\displaystyle R>a^{2}/\lambda } ，即滿足遠(yuǎn)場近似條件時(shí)，可以在觀察屏上看到衍射圖樣（艾里斑）。

  電腦模擬生成的圓孔衍射艾里斑圖樣。

當(dāng)平面光波入射穿過圓孔時(shí)，會(huì)形成圓對(duì)稱的衍射圖樣，其中心部分最亮，這表示能量主要集中在其零級(jí)衍射斑處。上述圖樣的中心亮斑常被稱為艾里斑（ Airy disk ）。 根據(jù)遠(yuǎn)場近似，

式中， a {\displaystyle a} 為環(huán)狀孔隙的半徑， k {\displaystyle k} 為波矢量的大小，等于 2 π π --> / λ λ --> {\displaystyle 2\pi /\lambda } ， J 1 {\displaystyle J_{1}} 為一階貝塞爾函數(shù)。孔隙越小，則給定位置的光斑越大，并且衍射光束偏離原來的傳播方向越嚴(yán)重。沿著徑向，艾里斑的衍射圖樣表現(xiàn)為一系列明暗相間的同心圓環(huán)，不過徑向距離越大，各個(gè)明亮圓環(huán)的亮度越低。 艾里斑對(duì)光學(xué)儀器的成像品質(zhì)有一定的影響。

一般孔隙的情況

從麥克斯韋方程，可以推導(dǎo)出在自由空間里，電場 E {\displaystyle \mathbf {E} } 、磁場 B {\displaystyle \mathbf {B} } 的波動(dòng)方程：

這里， c {\displaystyle c} 是光速， ? ? --> 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 是電常數(shù)， μ μ --> 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數(shù)， ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 是電荷密度， J {\displaystyle \mathbf {J} } 是電流密度。

這些方程都具有同樣形式的波動(dòng)方程：

這里， Ψ Ψ --> ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 是描述標(biāo)量波的波函數(shù)， F ( r , t ) {\displaystyle F(\mathbf {r} ,t)} 是波源分布。

假設(shè)這波源只發(fā)射出頻率為 ω ω --> {\displaystyle \omega } 的單色波，

則前述含時(shí)波動(dòng)方程可以寫為不含時(shí)波動(dòng)方程：

這里， k = ω ω --> / c {\displaystyle k=\omega /c}波矢是波矢的數(shù)值大小， ψ ψ --> ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} 是描述波的不含時(shí)波函數(shù)， Ψ Ψ --> ( r , t ) = ψ ψ --> ( r ) e ? ? --> i ω ω --> t {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}} 。

方程 （1） 乃是非齊次亥姆霍茲方程。設(shè) r ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} 為波的源點(diǎn)，只要能夠找到對(duì)應(yīng)的格林函數(shù) G ( r , r ′ ) {\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ")} ，就可以解析這方程。這對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)必須滿足方程

這里， r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} 為任意位置矢量， δ δ --> ( r ? ? --> r ′ ) {\displaystyle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ")} 為三維狄拉克δ函數(shù)。

假若找到了對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)，那么，假若 r {\displaystyle \mathbf {r} } 在積分體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內(nèi)，則波函數(shù) ψ ψ --> ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} 與格林函數(shù)、波源分布的關(guān)系式為

格林函數(shù)的形式與邊界條件有關(guān)。對(duì)于邊界曲面為無窮遠(yuǎn)的自由空間，格林函數(shù)只與 R = r ? ? --> r ′ {\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} "} 有關(guān)：

這里， O {\displaystyle \mathbf {O} } 是坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

從這方程，可以觀察到，格林函數(shù)具球?qū)ΨQ性質(zhì)。因此，采用球坐標(biāo)，格林函數(shù)滿足

通過代換，可以得知，形式為射出的球面波的格林函數(shù)能夠滿足以下方程：

注意到，這格林函數(shù)假定點(diǎn)波源位于坐標(biāo)系的原點(diǎn) O {\displaystyle \mathbf {O} } 。對(duì)于空間中任意點(diǎn)波源位置 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} ，格林函數(shù)為

假設(shè)波源是在xy-平面的面積分布， f ( r ′ ) = f s ( ρ ρ --> ′ ) δ δ --> ( z ′ ) {\displaystyle f(\mathbf {r} ")=f_{s}({\boldsymbol {\rho }}")\delta (z")} ，那么，

這里， r ′ = ρ ρ --> ′ = ρ ρ --> ′ ρ ρ --> ^ ^ --> {\displaystyle \mathbf {r} "={\boldsymbol {\rho }}"=\rho "{\hat {\boldsymbol {\rho }}}} 為在積分曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 內(nèi)的波源位置，以直角坐標(biāo)表示， ρ ρ --> ′ = ( x ′ , y ′ , 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}"=(x",y",0)} ，又 S {\displaystyle \mathbb {S} } 是積分曲面， d σ σ --> ′ {\displaystyle \mathrm xfx7ngt \sigma "} 是微小面積分元素， δ δ --> ( z ′ ) {\displaystyle \delta (z")} 是一維狄拉克δ函數(shù)。

對(duì)于一般的面積分布波源，

根據(jù)惠更斯－菲涅耳原理，波前的每一點(diǎn)都是次波的點(diǎn)波源，這些次波共同形成了稍后時(shí)刻的疊加波。 假設(shè)有波入射于某孔隙，則可以假定這入射波的波前在孔隙內(nèi)的每一點(diǎn)都是孔隙內(nèi)的波源，并且推論孔隙內(nèi)的波源與在同位置的入射波波函數(shù) ψ ψ --> i n c {\displaystyle \psi _{inc}} 有關(guān)： f s ( r ′ ) ∝ ∝ --> ψ ψ --> i n c ( r ′ ) {\displaystyle f_{s}(\mathbf {r} ")\propto \psi _{inc}(\mathbf {r} ")} 。雖然這里并沒有給出確切關(guān)系式，必定存在乘法因子 C {\displaystyle C} ，滿足

  一般空隙數(shù)學(xué)推導(dǎo)示意圖

假設(shè)入射波為平面波， ψ ψ --> i n c ( r ′ ) = E 0 e i k z ′ {\displaystyle \psi _{inc}(\mathbf {r} ")=E_{0}e^{ikz"}} ，孔隙 S {\displaystyle \mathbb {S} } 處于xy-平面，則在孔隙 S {\displaystyle \mathbb {S} } 內(nèi)，入射波為 ψ ψ --> i n c ( ρ ρ --> ′ ) = E 0 {\displaystyle \psi _{inc}({\boldsymbol {\rho }}")=E_{0}} ，估算的衍射波為

這里，波源位置 ρ ρ --> ′ = ( x ′ , y ′ , 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}"=(x",y",0)} 。

假設(shè)孔隙是半徑為 a {\displaystyle a} 的圓孔，孔心是xy-平面的原點(diǎn)，檢驗(yàn)位置是在遠(yuǎn)場區(qū)域， r ? ? --> a {\displaystyle r\gg a} ，則 | r ? ? --> ρ ρ --> ′ | {\displaystyle |\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }}"|} 可以近似為 r ? ? --> r ^ ^ --> ? ? --> ρ ρ --> ′ {\displaystyle r-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\rho }}"} ，其中 r ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} 是 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的單位矢量。衍射波為

這里， J i ( k a sin ? ? --> θ θ --> ) {\displaystyle J_{i}(ka\sin {\theta })} 是第一類 i {\displaystyle i} 階貝索函數(shù)， r {\displaystyle \mathbf {r} } 的球坐標(biāo)為 ( r , θ θ --> , ? ? --> ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} 。

假射觀察屏在遠(yuǎn)場區(qū)域，則照射于觀察屏的干涉圖樣，其鄰近中央位置的任意點(diǎn)P與原點(diǎn) O {\displaystyle \mathbf {O} } 之間的距離 r {\displaystyle r} ，可以近似為觀察屏與原點(diǎn) O {\displaystyle \mathbf {O} } 之間的垂直距離 L {\displaystyle L} ，衍射波在觀察屏的輻照度為

這里， I 0 {\displaystyle I_{0}} 是衍射波在干涉圖樣中央位置的輻照度。

更詳細(xì)運(yùn)算，應(yīng)用格林第二恒等式，可以得到德國物理學(xué)者古斯塔夫·基爾霍夫提出的基爾霍夫積分定理的方程

這里， R = r ? ? --> r ′ {\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} "} 是從源位置到檢驗(yàn)位置的位移矢量。

激光的衍射

  激光是一種高斯光束（ Gaussian beam ）

激光是一種特殊的可見光，具有極高單色性、定向性、相干性和能量強(qiáng)度。 在理想的情況里，激光束是一種高斯光束。在右邊的示意圖中，如果定義輻照度在半徑為 ω ω --> 0 {\displaystyle \mathbf {\omega _{0}} } 的位置減少為光軸輻照度的 1 / e {\displaystyle 1/e} ，那么距離激光光軸半徑為 r {\displaystyle \mathbf {r} } 處的激光場強(qiáng) E s {\displaystyle \mathbf {E_{s}} } 滿足高斯光束（ Gaussian beam ）分布，即

當(dāng)激光穿過發(fā)光系統(tǒng)的鏡片后，它的高斯光束參數(shù) ω ω --> 0 {\displaystyle \mathbf {\omega _{0}} } 將發(fā)生改變。激光源的輸出鏡片通常是一個(gè)孔隙，因此隨后輸出的光波形狀是由這個(gè)孔隙決定。激光束的直徑越大，其彎散程度越弱。

  無焦光學(xué)系統(tǒng)可以用來調(diào)低激光束的發(fā)散。

激光束的發(fā)散可以調(diào)低。將中央軸同線的兩個(gè)凸透鏡排列在一起，兩個(gè)凸透鏡之間的距離 d {\displaystyle d} 等于它們各自的焦距 f 1 {\displaystyle f_{1}} 、 f 2 {\displaystyle f_{2}} 的代數(shù)和：

這種復(fù)合透鏡組合，前焦距與后焦距都是無窮遠(yuǎn)，是一種無焦光學(xué)系統(tǒng)（ afocal optical system ），由于兩個(gè)凸透鏡的焦點(diǎn)重疊在一起，是一種共焦（ confocal ）雙透鏡系統(tǒng)。這組合也是開普勒望遠(yuǎn)鏡（ Keplerian telescope ）的基本構(gòu)造。從前面照射進(jìn)來的準(zhǔn)直光束，通過這復(fù)合透鏡組合，從后面照射出去也是準(zhǔn)直光束，并且截面會(huì)增加。這樣，可以調(diào)低激光束的發(fā)散。

另外，使用激光筆等激光器件照射物體時(shí)，常常會(huì)產(chǎn)生不希望得到的散斑圖樣（ speckle pattern ）。這是另一種衍射現(xiàn)象。 當(dāng)激光束照射在粗糙界面上時(shí)，由于光束以不同路徑傳播，不同相位波彼此疊加，會(huì)產(chǎn)生振幅、輻照度隨機(jī)分布的波。

衍射對(duì)于光學(xué)系統(tǒng)分辨率的制約

在天文學(xué)中，通過2.56米孔徑望遠(yuǎn)鏡應(yīng)用幸運(yùn)成像技術(shù)，可以在雙星系統(tǒng)的圖像中看到雙星各自的艾里斑。

 瑞利判據(jù)

光學(xué)成像系統(tǒng)的成像質(zhì)量或多或少都受到衍射的制約。其原因是，入射光在圓形鏡片處會(huì)發(fā)生衍射，形成艾里斑，從而造成光路不能夠匯聚到一個(gè)點(diǎn)。衍射對(duì)成像的影響，主要表現(xiàn)為畫面細(xì)節(jié)模糊不清。在焦平面上，艾里斑的半徑為

這里， λ λ --> {\displaystyle \lambda } 為光的波長， N {\displaystyle N} 為光學(xué)系統(tǒng)中鏡頭的焦比（焦距與孔徑的相對(duì)比值）。對(duì)應(yīng)的分辨角為

其中， D {\displaystyle D} 為光學(xué)系統(tǒng)物鏡（例如望遠(yuǎn)鏡的主鏡片）的尺寸。

給定兩個(gè)點(diǎn)波源，它們會(huì)各自產(chǎn)生艾里圖樣。當(dāng)這兩個(gè)點(diǎn)波源相互越加靠近對(duì)方時(shí)，兩個(gè)艾里圖樣也會(huì)慢慢開始重疊，最后甚至?xí)喜⑿纬蓡我坏膱D樣，從而導(dǎo)致無法分辨出兩個(gè)獨(dú)立波源所對(duì)應(yīng)的圖像。使用望遠(yuǎn)鏡觀察太空中的一對(duì)雙星就很可能遇到這樣的情況。瑞利準(zhǔn)則指出，只有當(dāng)兩個(gè)像之間的距離大于或等于艾里斑的半徑時(shí)，也就是說，當(dāng)一個(gè)圓斑的中心（中央的主極大值位置）不在另一個(gè)圓斑的邊緣（第一極小值位置）之內(nèi)， 才可以說這對(duì)應(yīng)的兩個(gè)獨(dú)立波源能夠被明確分辨出來。

這樣，當(dāng)鏡片孔徑越大、波長越短，則光學(xué)系統(tǒng)的分辨率越好。這就是望遠(yuǎn)鏡具有大口徑鏡頭的原因。這也解釋了顯微鏡觀察細(xì)節(jié)的能力受到限制的原因。

衍射波的普遍性質(zhì)

  此圖的上半部分顯示了氦-氖激光束在一個(gè)橢圓孔隙處的衍射圖樣；下半部分為其二維傅里葉變換，粗略地重現(xiàn)了孔隙的形狀。

通過總結(jié)各種不同的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，可以發(fā)現(xiàn)波的衍射具有以下普遍性質(zhì)：

衍射波的角間距與造成衍射的物體的尺寸負(fù)相關(guān)。也就是說，造成衍射的物體的尺寸越小，它所形成的衍射條紋越寬，反之亦然。例如，在單縫衍射里，根據(jù)公式 d sin ? ? --> θ θ --> = λ λ --> {\displaystyle d\,\sin \theta =\lambda } ，當(dāng)入射波的波長 λ λ --> {\displaystyle \lambda } 一定時(shí)，狹縫寬度 d {\displaystyle d} 越小，第一極小值對(duì)應(yīng)的 θ θ --> {\displaystyle \theta } 就越大，從而造成中間的亮紋寬度增加；

某一級(jí)衍射角的大小，只取決于入射波的波長與衍射物體尺寸的相對(duì)比值；

當(dāng)造成衍射的物體結(jié)構(gòu)具有周期性（例如衍射光柵），則衍射后的圖樣會(huì)變得更窄。例如，對(duì)比2條狹縫產(chǎn)生的衍射與5條狹縫產(chǎn)生的衍射，兩種情況的狹縫間距相等，不過5條狹縫產(chǎn)生的衍射圖樣更細(xì)（參見衍射光柵一節(jié)的第三幅插圖）。

粒子衍射

量子理論指出，所有的實(shí)物粒子都具有波動(dòng)性。特別的，大質(zhì)量粒子可以發(fā)生明顯的干涉和衍射現(xiàn)象。電子和中子的衍射是量子力學(xué)的重要關(guān)注對(duì)象。根據(jù)德布羅意假設(shè)，

這里 h {\displaystyle h} 為普朗克常數(shù)， p {\displaystyle p} 是實(shí)物粒子的動(dòng)量（低速情況下等于質(zhì)量和速度的乘積）。

對(duì)于大多數(shù)宏觀粒子來說，它們所具有的德布羅意波長非常短，不足以表現(xiàn)明顯的波動(dòng)性。 例如，以每秒30,000米移動(dòng)的鈉原子，其德布羅意波長大約為50皮米（ pico meter ）。德布羅意在進(jìn)行論文答辯時(shí)讓·佩蘭曾詢問他如何證明他所謂的“物質(zhì)波”，德布羅意回答說：“用晶體對(duì)電子的衍射實(shí)驗(yàn)可以做到”。 后來，電子在鎳晶體的衍射印證了他的假設(shè)。

即便是最小的宏觀物體，其波長還是非常小，因此物質(zhì)波的衍射現(xiàn)象只能在微觀的粒子（例如電子、中子、原子和小分子）上體現(xiàn)。這些物質(zhì)的短波長使得它們很適合用來研究固體和大分子（諸如蛋白質(zhì)）的原子晶體結(jié)構(gòu)。

一些相對(duì)較大的分子，像富勒烯，也能表現(xiàn)出衍射現(xiàn)象。

布拉格衍射

  布拉格衍射示意圖：兩束具有同一波長和相位的入射波，入射到晶體結(jié)構(gòu)，并被圖中的兩個(gè)原子散射。簡單計(jì)算可以看出，兩束波的傳播路徑差為 2 d sin ? ? --> θ θ --> {\displaystyle 2d\sin \theta } 。當(dāng)這一路徑差恰好為入射波波長的整數(shù)倍時(shí)，將會(huì)干涉相長，在衍射譜上表現(xiàn)為布拉格尖峰。

  圖示為布拉格衍射的實(shí)驗(yàn)圖樣。根據(jù)布拉格定律，衍射圖樣中的每一點(diǎn)都是由穿過晶體的X射線干涉相長而形成。這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)可以用來確定材料的晶體結(jié)構(gòu)。

晶體具有周期性的物質(zhì)結(jié)構(gòu)。由于在這種周期性結(jié)構(gòu)中，原子間距為10 米數(shù)量級(jí)，因此它可以作為波的衍射光柵。 如果滿足一定的條件，就能夠使入射波發(fā)生衍射現(xiàn)象，這樣的衍射被稱為布拉格衍射。 它與光波在其他衍射光柵中發(fā)生的散射現(xiàn)象類似。同相位的入射波經(jīng)過不同晶面，在晶格原子處發(fā)生衍射后，將會(huì)具有相位差，從而產(chǎn)生干涉相長或干涉相消，這就形成了布拉格衍射。若不考慮康普頓散射，則波束的波長在進(jìn)入晶體前后不發(fā)生改變。根據(jù)布拉格定律，干涉加強(qiáng)位置所滿足的條件為

這里

λ λ --> {\displaystyle \lambda } 為入射波（如常用的X射線等）波長

d {\displaystyle d} 為晶面間距

θ θ --> {\displaystyle \theta } 為衍射角度

m {\displaystyle m} 為衍射級(jí)數(shù)

晶體學(xué)中的布拉格衍射可以利用短波長的波作為入射波。由于X射線的波長與原子間距具有相同的數(shù)量級(jí)，因此在實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常被用作入射波。此外，實(shí)驗(yàn)中還經(jīng)常用到50千伏的電子束，當(dāng)用電子束進(jìn)行小角度傾斜入射時(shí)，它僅能夠穿透大約5納米的垂直距離，因此主要被用于薄膜材料的觀察。而中子因?yàn)榫哂写啪?，常被用來研究磁性材料?由于這些入射波的波長小于或接近原子的間距，實(shí)驗(yàn)可以產(chǎn)生較明顯的衍射輻照度分布譜線。 通過測量入射電磁波衍射譜上布拉格尖峰的位置，并利用上面的衍射公式，就可以求得晶面間距 d {\displaystyle d} ，并由此推測晶體的結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)的布拉格衍射方法包括勞厄法、旋轉(zhuǎn)單晶法和粉末衍射法等。 由于發(fā)現(xiàn)布拉格定律的貢獻(xiàn)，威廉·亨利·布拉格及其子威廉·勞倫斯·布拉格獲得了1915年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

此外，在電子顯微鏡或X射線形貌器（ X-ray topography device ）中，衍射襯度（ diffraction contrast ）可以用來檢驗(yàn)晶體中的缺陷以及局部應(yīng)變場（ local strain field ），進(jìn)行金屬薄膜材料的相關(guān)研究。

光的相干性

同一波源發(fā)射的波，由于傳播路徑不同，會(huì)在觀察屏上產(chǎn)生干涉情況。在這種描述里，經(jīng)過不同路徑到達(dá)給定點(diǎn)的波之間的相位差只與它們的有效光程有關(guān)，而與時(shí)間無關(guān)。正因?yàn)槿绱?，觀察屏上給定點(diǎn)的明暗情況是確定的，這樣總體上會(huì)形成穩(wěn)定的圖樣。如果采用不相干入射光，那么其中的不同波傳播到給定點(diǎn)時(shí)的相位差將會(huì)極快地、無規(guī)則地變化，這樣在觀察屏上就無法形成穩(wěn)定的干涉相長或干涉相消的圖樣，而是在這兩種情況之間不斷變化，以至于無法觀察到明暗條紋。

一束光波的相位在某段長度上是相關(guān)的，這段長度被稱作是縱向相干長度，簡稱為“相干長度”。為了使干涉能夠發(fā)生，光程差必須小于相干長度。有時(shí)候，這被稱為波譜相干性，因?yàn)樗c波中存在的不同頻率成分有關(guān)。在原子躍遷發(fā)射光波的情況中，相干長度與原子產(chǎn)生躍遷的激發(fā)態(tài)的壽命有關(guān)。

如果光波由擴(kuò)展光源發(fā)射，則可能會(huì)出現(xiàn)橫向的不相干。當(dāng)觀察一束光的截面時(shí)，相位在某段橫向距離上是相關(guān)的，這段橫向距離被稱作是“橫向相干長度”。在楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)中，這意味著如果橫向相干長度比兩條狹縫的間距小，那么在觀察屏上形成的圖樣看起來就像是兩個(gè)獨(dú)立單縫形成的衍射圖樣。

在電子、中子和原子等離子的情況中，相干長度與描述粒子的波函數(shù)的空間范圍有關(guān)。

參見

衍射的數(shù)學(xué)表述（ diffraction formalism ）

衍射的動(dòng)力理論（ dynamical theory of diffraction ）

激光衍射分析（ Laser diffraction analysis ）

衍射儀（ diffractometer ）

大氣層衍射（ atmostpheric diffraction ）

光環(huán)

彩云

X光散射技術(shù)

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