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菲涅耳衍射

衍射示意圖：照射光波于開有孔徑的擋板，會(huì)在擋板后方區(qū)域產(chǎn)生菲涅耳衍射，從而形成波擾于點(diǎn)P。

假設(shè)照射光波于開有孔徑的不透明擋板，則會(huì)有衍射圖樣出現(xiàn)于觀察屏。根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理，從孔徑內(nèi)部任意點(diǎn)次波源Q發(fā)射出的圓球面次波，在觀察屏點(diǎn)P的波擾 ψ ψ --> ( x , y , z ) {\displaystyle \psi (x,y,z)} 為

其中， r = ( x , y , z ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)} 是點(diǎn)P的直角坐標(biāo)， r ′ = ( x ′ , y ′ , 0 ) {\displaystyle \mathbf {r} "=(x",y",0)} 是點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)， λ λ --> {\displaystyle \lambda } 是波長(zhǎng)， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是積分平面（孔徑）， ψ ψ --> ( x ′ , y ′ , 0 ) {\displaystyle \psi (x",y",0)} 是位于點(diǎn)次波源Q的波擾， R {\displaystyle \mathbf {R} } 是從點(diǎn)Q到點(diǎn)P的位移矢量， R {\displaystyle R} 是 R {\displaystyle \mathbf {R} } 的數(shù)值大小， K ( χ χ --> ) {\displaystyle K(\chi )} 是傾斜因子， χ χ --> {\displaystyle \chi } 是垂直于孔徑平面的法矢量與 R {\displaystyle \mathbf {R} } 之間的夾角。

古斯塔夫·基爾霍夫給出了傾斜因子 K ( χ χ --> ) {\displaystyle K(\chi )} 的表達(dá)式：

除了最簡(jiǎn)單的衍射案例以外，幾乎不可能找到這積分式的解析解。通常，必須使用數(shù)值分析方法來(lái)解析這積分式。

菲涅耳近似

為了要計(jì)算這積分式的解答，必須先使積分項(xiàng)目更簡(jiǎn)單化。設(shè)定

( x ′ , y ′ , 0 ) {\displaystyle (x",y",0)} 與 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 之間的距離 R {\displaystyle R} 可以以泰勒級(jí)數(shù)表示為

假若保留所有項(xiàng)目，則這級(jí)數(shù)式為精確解。 將這 R {\displaystyle R} 的級(jí)數(shù)式代入被積函數(shù)的相位。菲涅耳近似的要點(diǎn)是在假定級(jí)數(shù)式的第三個(gè)項(xiàng)目非常微小，可以被忽略。為了達(dá)到這目的，第三個(gè)項(xiàng)目必須超小于相位的周期 2 π π --> {\displaystyle 2\pi } ：

改換以波長(zhǎng) λ λ --> = 2 π π --> / k {\displaystyle \lambda =2\pi /k} 來(lái)表達(dá)，

將先前 ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 的表達(dá)式代入，

假若，對(duì)于所有 ( x ′ , y ′ , 0 ) {\displaystyle (x",y",0)} 與 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 的可能值，這條件成立，則泰勒級(jí)數(shù)式的第三個(gè)項(xiàng)目和更高階項(xiàng)目都可以忽略。

從這些論述， R {\displaystyle R} 可以近似為

這方程稱為“菲涅耳近似”。這近似成立的條件是上述不等式。

例如，對(duì)于半徑為1mm的圓孔，假設(shè)觀察屏區(qū)域的直徑也是1mm，入射波的波長(zhǎng)為500nm，則近似成立的條件為

圓孔與觀察屏之間的距離 z {\displaystyle z} 必須超大于16mm。實(shí)際而言，這條件太過(guò)嚴(yán)苛，從數(shù)值分析的結(jié)果，只要圓孔與觀察屏之間的距離 z {\displaystyle z} 大于16mm就行了。

菲涅耳衍射積分式

假設(shè)孔徑尺寸超小于傳播路徑長(zhǎng)度，則 K ( χ χ --> ) ≈ ≈ --> 1 {\displaystyle K(\chi )\approx 1} 。特別是在z-軸附近的小范圍區(qū)域， x , y ? ? --> z {\displaystyle x,y\ll z} ，分母的 R {\displaystyle R} ，可以近似為 R ≈ ≈ --> z {\displaystyle R\approx z} ，只取至線性項(xiàng)目?，F(xiàn)在，采用菲涅耳近似，則在位置 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 的波擾為

這就是“菲涅耳衍射積分式”。仔細(xì)推敲這積分式的含意，假設(shè)菲涅耳近似成立，則位于孔徑的次波源發(fā)射出的圓球面次波，會(huì)沿著z-軸方向，傳播到觀察屏。整個(gè)積分調(diào)制圓球面波的波幅與相位。只有對(duì)于少數(shù)案例，這方程存在分析解答。

更進(jìn)一步近似，將 e i k R {\displaystyle e^{ikR}} 近似為 e i k z {\displaystyle e^{ikz}} ，相位部分僅取至線性項(xiàng)目，這只有當(dāng)觀察屏與孔徑之間的距離超遠(yuǎn)時(shí)才成立，請(qǐng)參閱條目夫朗和斐衍射。菲涅耳衍射與夫瑯禾費(fèi)衍射不同的地方，主要是菲涅耳衍射將波前的曲率納入考量，這是為了要精確計(jì)算相互干涉的波擾彼此之間的相對(duì)相位。

圓孔衍射

輻照度比率對(duì)無(wú)量綱距離圖。

照射光波于開有孔徑的擋板，會(huì)在擋板后方區(qū)域產(chǎn)生菲涅耳衍射，因此在觀察屏?xí)霈F(xiàn)光斑。注意到在光斑的中心有一個(gè)黑點(diǎn)，這里的輻照度等于零，夫朗和斐衍射不會(huì)在光斑的中心產(chǎn)生這黑點(diǎn)。

假設(shè)孔徑是半徑為 a {\displaystyle a} 的圓孔，首先計(jì)算沿著中心軸的波擾， x , y = 0 {\displaystyle x,y=0} ，又假設(shè)入射波是波幅為 ψ ψ --> 0 {\displaystyle \psi _{0}} 、朝著z-軸傳播的平面波。

根據(jù)菲涅耳衍射積分式，

改采極坐標(biāo) ( ρ ρ --> ′ , θ θ --> ′ ) {\displaystyle (\rho ",\theta ")} ，

輻照度 I ( z ) {\displaystyle I(z)} 為

從這函數(shù)繪制的輻照度比率對(duì)無(wú)量綱距離圖展示出，離孔徑越近，震蕩越劇烈。這區(qū)域是菲涅耳衍射區(qū)域。在這區(qū)域里，輻照度的極值點(diǎn)分別為

極大值：當(dāng) z = a 2 2 n λ λ --> , n = 1 , 2 , 3 , … … --> {\displaystyle z={\frac {a^{2}}{2n\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots } 。

極小值：當(dāng) z = a 2 ( 2 n ? ? --> 1 ) λ λ --> , n = 1 , 2 , 3 , … … --> {\displaystyle z={\frac {a^{2}}{(2n-1)\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots } 。

離孔徑越遠(yuǎn)，兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)之間的間隔越大， z = a 2 / λ λ --> {\displaystyle z=a^{2}/\lambda } 是最后一個(gè)極值點(diǎn)。遠(yuǎn)于這距離，輻照度呈單調(diào)遞減。通常，物理學(xué)者規(guī)定菲涅耳衍射區(qū)域的菲涅耳數(shù)大于或等于1，這對(duì)應(yīng)于 Z F = a 2 / λ λ --> {\displaystyle Z_{F}=a^{2}/\lambda } 為分界點(diǎn)；超遠(yuǎn)于這分界點(diǎn)，是夫朗和斐衍射區(qū)域，可以使用夫朗和斐近似，數(shù)學(xué)計(jì)算比較簡(jiǎn)單很多。

例如，對(duì)于半徑為1mm的圓孔，假設(shè)入射波的波長(zhǎng)為500nm，則 Z F {\displaystyle Z_{F}} 為

總結(jié)，孔徑與觀察屏之間的距離在2m以內(nèi)是菲涅耳衍射區(qū)域，以外是夫朗和斐衍射區(qū)域。

通過(guò)隆梅爾函數(shù)計(jì)算的菲涅耳圓孔衍射圖 中心可能是黑班或白斑，此圖為黑斑

I = ( V 0 ? ? --> c o s ( u 2 + v 2 2 ? ? --> u ) ) 2 + ( V 1 ? ? --> s i n ( u 2 + v 2 2 ? ? --> u ) ) 2 {\displaystyle I=(V0-cos({\frac {u^{2}+v^{2}}{2*u}}))^{2}+(V1-sin({\frac {u^{2}+v^{2}}{2*u}}))^{2}}

其中 V m {\displaystyle V_{m}} 是二元隆梅爾函數(shù)(Lommel function)

V m = ∑ ∑ --> n = 0 ∞ ∞ --> ? ? --> ( ( ? ? --> 1 ) n ? ? --> ( v u ) 2 ? ? --> n + m ? ? --> J 2 n + m ( v ) ) {\displaystyle V_{m}=\sum _{n=0}^{\infty }*((-1)^{n}*({\frac {v}{u}})^{2*n+m}*J_{2n+m}(v))}

J 2 n + m ( v ) {\displaystyle J_{2n+m}(v)} 為 第一類 2 n + m {\displaystyle 2n+m} 階貝塞爾函數(shù)

圓盤衍射

泊松光斑

圓盤衍射在軸上的強(qiáng)度為

I = I 0 ? ? --> λ λ --> 2 / 4 {\displaystyle I=I_{0}*\lambda ^{2}/4}

因此圓盤衍射的軸上強(qiáng)度，和波長(zhǎng)的平方成正比，而與圓盤的直徑、與圓盤的距離無(wú)關(guān)，所以衍射圖形的中心一定是個(gè)亮點(diǎn)。這個(gè)亮點(diǎn)稱為泊松光斑 。菲涅耳圓孔衍射圖形的中心點(diǎn)，根據(jù)圓孔直徑和距離之不同，可以是亮點(diǎn)，也可以是暗點(diǎn)。

單縫衍射

菲涅爾單縫衍射

菲涅耳單縫衍射的強(qiáng)度分布為： .

I = ( C p ( Y ) ? ? --> C q ( Y ) ) 2 + ( S p ( Y ) ? ? --> S q ( Y ) ) 2 {\displaystyle I=(Cp(Y)-Cq(Y))^{2}+(Sp(Y)-Sq(Y))^{2}}

其中 Cp,Cq 為余弦菲涅耳積分：

C p ( Y ) := ∫ ∫ --> 0 p ( cos ? ? --> ( ( 1 / 2 ) ? ? --> π π --> ? ? --> t 2 ) d t {\displaystyle Cp(Y):=\int _{0}^{p}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}

C q ( Y ) = ∫ ∫ --> 0 q ( cos ? ? --> ( ( 1 / 2 ) ? ? --> π π --> ? ? --> t 2 ) d t {\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt} ;

Sp,Sq 為正弦菲涅耳積分：

S p ( Y ) := ∫ ∫ --> 0 p ( sin ? ? --> ( ( 1 / 2 ) ? ? --> π π --> ? ? --> t 2 ) d t {\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}

S q ( Y ) = ∫ ∫ --> 0 q ( sin ? ? --> ( ( 1 / 2 ) ? ? --> π π --> ? ? --> t 2 ) d t {\displaystyle Sq(Y)=\int _{0}^{q}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt} ;

菲涅耳單縫衍射圖形與夫瑯禾費(fèi)單縫衍射明顯不同之處在于前者的第一個(gè)極小值不等于0（如圖），而后者為0。

直邊衍射

菲涅爾直邊衍射

菲涅耳直邊衍射

一個(gè)平面波通過(guò)與光線傳播方向垂直的不透明直邊，

其菲涅耳直邊衍射的強(qiáng)度分布為： .

I = ( C p ( Y ) + 0.5 ) 2 + ( S p ( Y ) + 0.5 ) ) 2 {\displaystyle I=(Cp(Y)+0.5)^{2}+(Sp(Y)+0.5))^{2}}

其中 Cq 為余弦菲涅耳積分：

C q ( Y ) = ∫ ∫ --> 0 q ( cos ? ? --> ( ( 1 / 2 ) ? ? --> π π --> ? ? --> t 2 ) d t {\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt} ;

Sp 為正弦菲涅耳積分：

S p ( Y ) := ∫ ∫ --> 0 p ( sin ? ? --> ( ( 1 / 2 ) ? ? --> π π --> ? ? --> t 2 ) d t {\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}

菲涅爾直邊衍射圖樣在幾何陰影區(qū)附近強(qiáng)度不為零，在明亮區(qū)間，光強(qiáng)以阻尼振動(dòng)形式逐漸衰減至一個(gè)穩(wěn)定數(shù)值

進(jìn)階理論

卷積

設(shè)定函數(shù) h ( x , y , z ) {\displaystyle h(x,y,z)} 為

波擾 ψ ψ --> ( x , y , z ) {\displaystyle \psi (x,y,z)} 可以寫為卷積形式：

或者，由于z-坐標(biāo)與積分無(wú)關(guān)，可以將z-坐標(biāo)信息提出，

這卷積又可以標(biāo)記為

根據(jù)卷積定理，函數(shù)卷積的傅里葉變換是函數(shù)傅里葉變換的乘積，以方程表達(dá)，

其中， F { f ( x , y ) } {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(x,y)\}} 是函數(shù) f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 的傅里葉變換。

假設(shè)這光學(xué)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，滿足空間不變性，即改變波源的位置只會(huì)改變衍射圖樣的位置，不會(huì)改變衍射圖樣的形狀。這樣，一個(gè)有限尺寸波源所產(chǎn)生的衍射圖樣，可以視為是由其每一個(gè)點(diǎn)波源所產(chǎn)生的衍射圖樣共同線性疊加而形成。

假設(shè)這線性系統(tǒng)的線性算子為 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 、輸入函數(shù)為 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 、輸出函數(shù)為 G ( X , Y ) {\displaystyle G(X,Y)} ，則這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系可以表達(dá)為

應(yīng)用狄拉克δ函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，

將 f ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle f(x",y")} 視為函數(shù) δ δ --> ( x ? ? --> x ′ ) δ δ --> ( y ? ? --> y ′ ) {\displaystyle \delta (x-x")\de權(quán)重a (y-y")} 權(quán)重系數(shù)，應(yīng)用線性系統(tǒng)的性質(zhì)，可以將積分式寫為

由此推論，表現(xiàn)觀察屏輻照?qǐng)D案的函數(shù) h z ( x , y ) {\displaystyle h_{z}(x,y)} 是線性系統(tǒng)對(duì)于在孔徑位置 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x",y")} 的狄拉克δ函數(shù)所做出的響應(yīng)，因此稱為脈沖響應(yīng)。

傅里葉變換

定義空間頻率 K x , K y {\displaystyle K_{x},K_{y}} 為

將橫向位移的每一個(gè)分量展開，

則菲涅耳衍射積分式可以以二維傅里葉變換來(lái)表達(dá)。設(shè)定函數(shù) G ( K x , K y ) {\displaystyle G(K_{x},K_{y})} 為函數(shù) g ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle g(x",y")} 的傅里葉變換，那么，根據(jù)定義，函數(shù) G ( K x , K y ) {\displaystyle G(K_{x},K_{y})} 為

設(shè)定函數(shù) g ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle g(x",y")} 為

菲涅耳衍射積分式表達(dá)為

其中，函數(shù) h z ( x , y ) = ? ? -->   i e i k z λ λ --> z e i k ( x 2 + y 2 ) / 2 z {\displaystyle h_{z}(x,y)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}} 。

在做實(shí)例計(jì)算時(shí)，先計(jì)算 g ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle g(x",y")} 的傅里葉變換，然后將空間頻率 K x , K y {\displaystyle K_{x},K_{y}} 替換回原來(lái)的變量，最后再乘以 h z ( x , y ) {\displaystyle h_{z}(x,y)} ，就可以得到 ψ ψ --> z ( x , y ) {\displaystyle \psi _{z}(x,y)} 。假若 g ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle g(x",y")} 是個(gè)常見函數(shù)，而且已知道 g ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle g(x",y")} 的傅里葉變換，則這是一種比較精致的理論方法。更多相關(guān)內(nèi)容，請(qǐng)參閱條目線性標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換。

原子反射鏡

原子反射鏡示意圖，波矢為 k {\displaystyle \mathbf {k} } 的入射波被相隔距離為 L {\displaystyle L} 的凸脊散射。

由于菲涅耳衍射機(jī)制，原子波入射于由物質(zhì)形成的相互平行凸脊陣列，會(huì)被鏡面反射。這效應(yīng)可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)原子反射鏡。

參閱

菲涅耳積分

菲涅耳波帶（Fresnel zone）

基爾霍夫積分定理

基爾霍夫衍射公式

參考文獻(xiàn)

Goodman, Joseph W. Introduction to Fourier optics. New York: McGraw-Hill. 1996. ISBN 0-07-024254-2.

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