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歷史

按照惠更斯原理，波的直線傳播與球面?zhèn)鞑ァ?

1678年，惠更斯完成著作《光論》（《Trait? de la Lumiere》）。1690年這本書公開發(fā)行。在這本書中他提出“惠更斯原理”：

借著這原理，他可以給出波的直線傳播與球面?zhèn)鞑サ亩ㄐ越忉專⑶彝茖?dǎo)出反射定律與折射定律；但是他并不能解釋，為什么當(dāng)光波遇到邊緣、孔徑或狹縫時，會偏離了直線傳播，即衍射效應(yīng)?；莞辜俣ù尾ㄖ粫懊娣较騻鞑ィ粫竺娣较騻鞑?。他并沒有解釋為什么會發(fā)生這種物理行為。 惠更斯原理是一種光波動說。這假說是根據(jù)1664年羅伯特·胡克的提議。胡克本人牛頓的光微粒說。兩位大師爭吵不休，直至胡克往生。在那時期，由于艾薩克·牛頓在其它物理領(lǐng)域的成功，他被公認是光本質(zhì)爭論的贏家。

菲涅耳在惠更斯原理的基礎(chǔ)上假設(shè)這些次波會彼此發(fā)生干涉，因此惠更斯－菲涅耳原理是惠更斯原理與干涉原理的結(jié)晶。 用這種觀點來描述波的傳播，可以解釋波的衍射現(xiàn)象。特別地，惠更斯－菲涅耳原理是建立衍射理論的基礎(chǔ)，并指出了衍射的實質(zhì)是所有次波彼此相互干涉的結(jié)果。為了符合實驗結(jié)果，他又添加了一些關(guān)于次波的相位與波幅的假定。這些假定引導(dǎo)出的預(yù)測與許多實驗觀察相符合，包括泊松光斑，也對于為什么波只會朝前面方向傳播，而不會朝后面方向傳播這問題給出一個定量的解釋。

1818年，菲涅耳將他的論文提交給法蘭西學(xué)術(shù)院的評委會。評委會的會員西莫恩·泊松閱讀完畢后認為，假若菲涅耳的理論成立，則將光波照射于一小塊圓形擋板，其形成的陰影的中央必會有一個亮斑，因此，他推斷這理論不正確。但是，評委會的另一位會員，弗朗索瓦·阿拉戈親自動手做這實驗，獲得的結(jié)果與預(yù)測相符合，證實菲涅耳原理正確無誤。真正最先觀察到這現(xiàn)象的是法國-意大利天文學(xué)者吉雅科莫·馬勞地（Giacomo Maraldi），但他于1723年獲得的研究結(jié)果在那時代并沒有得到重視。 這實驗是支持光波動說的強有力的證據(jù)。這實驗與托馬斯·楊的雙縫實驗共同反駁了艾薩克·牛頓主導(dǎo)的光微粒說。

數(shù)學(xué)表述

從點波源Q 0 發(fā)射出的球面波，其波前的任意一點Q可以視為次波的波源，這些次波會各自在點P貢獻出波擾疊加在一起，因此形成總波擾。

如右圖所示，假設(shè)點波源Q 0 發(fā)射出的球面波，其復(fù)值波幅為 ψ ψ --> 0 {\displaystyle \psi _{0}} 、波長為 λ λ --> {\displaystyle \lambda } 、波數(shù)為 k = 2 π π --> / λ λ --> {\displaystyle k=2\pi /\lambda } 。對于球面波，波擾的數(shù)值大小與距離 r ′ {\displaystyle r"} 成反比，相位隨著波數(shù) k {\displaystyle k} 與距離 r ′ {\displaystyle r"} 的乘積而改變。因此，在與點波源Q 0 相離距離為 r ′ {\displaystyle r"} 的點Q，其波擾為

應(yīng)用惠根斯原理與波的疊加原理，將所有與點Q同波前的點波源，其所發(fā)射出的次波對于點P的貢獻疊加在一起，可以得到在點P的總波擾。為了與做實驗獲得的結(jié)果相符合，菲涅耳還發(fā)覺必須將計算結(jié)果乘以常數(shù)因子 ? ? --> i / λ λ --> {\displaystyle -i/\lambda } 與“傾斜因子” K ( χ χ --> ) {\displaystyle K(\chi )} ；其中， χ χ --> {\displaystyle \chi } 是三角形Q 0 PQ在點Q的外角。

第一個修正意謂著次波與主波的相位差為 π π --> / 2 {\displaystyle \pi /2} ，相對于主波，次波的相位超前 π π --> / 2 {\displaystyle \pi /2} ，另外，次波與主波之間的波幅比率為 1 : λ λ --> {\displaystyle 1:\lambda } 。

對于第二個修正，菲涅耳假定，當(dāng) χ χ --> = 0 {\displaystyle \chi =0} 時，傾斜因子 K ( χ χ --> ) {\displaystyle K(\chi )} 是最大值；而當(dāng) π π --> ≤ ≤ --> χ χ --> ≤ ≤ --> π π --> / 2 {\displaystyle \pi \leq \chi \leq \pi /2} 時，傾斜因子 K ( χ χ --> ) {\displaystyle K(\chi )} 等于零。

假若不做這假定，則次波會朝著所有可能方向傳播，這包括了向前傳播與向后傳播；但是，做實驗并沒有觀察到向后傳播的波，為了符合這實驗結(jié)果，必須假定次波朝著各個方向傳播的波幅不一樣，對于前方傳播的波幅很大，對于后方傳播的波幅很微小，甚至等于零。傾斜因子的主要功能就是調(diào)整次波朝著各個方向傳播的波幅。

經(jīng)過修正后，從點波源Q 0 發(fā)射出的波，其波前的微小面元素 d S {\displaystyle \mathrm uwqy0lf S} 部分，對于點P貢獻出的微小復(fù)值波擾 d ψ ψ --> ( r ) {\displaystyle \mathrm gsoi4xh \psi (\mathbf {r} )} 為

其中， R {\displaystyle R} 是點Q與點P之間的距離。

在點P的復(fù)值波擾為

其中， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是積分曲面。

從基爾霍夫衍射公式，可以推導(dǎo)出惠更斯－菲涅耳原理。菲涅耳在惠更斯－菲涅耳原理里憑空提出的假定與修正，在這推導(dǎo)過程中，會自然而然地顯露出來。 惠更斯－菲涅耳方程可以視為基爾霍夫衍射公式的一個近似。古斯塔夫·基爾霍夫給出了傾斜因子 K ( χ χ --> ) {\displaystyle K(\chi )} 的表達式：

注意到根據(jù)這表達式，當(dāng) χ χ --> = 0 {\displaystyle \chi =0} 時，傾斜因子 K ( χ χ --> ) {\displaystyle K(\chi )} 是最大值；而當(dāng) χ χ --> = π π --> / 2 {\displaystyle \chi =\pi /2} 時，傾斜因子 K ( χ χ --> ) {\displaystyle K(\chi )} 不等于零。

量子電動力學(xué)

惠更斯原理可以視為空間的各向同性的后果。“空間的各向同性”指的是，在空間里，對于所有方向，物理性質(zhì)都一樣。在各向同性空間（或各向同性介質(zhì)）里足夠微小的區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的任何波擾，必會從那區(qū)域以徑向傳播。由這波擾產(chǎn)生的波動，又會在其它區(qū)域形成波擾，如此這般繼續(xù)不斷。所有波動的疊加形成了觀察到的波動傳播圖樣。

量子電動力學(xué)的關(guān)鍵基礎(chǔ)之一是空間的各向同性。在這空間里，任意物體的波函數(shù)會沿著所有未被阻礙的可能路徑傳播。當(dāng)對于所有可能路徑做積分計算時，若將波函數(shù)的相位因子正比于路徑距離這因素納入考量，則波函數(shù)與波函數(shù)彼此之間的相互干涉會正確地預(yù)測出實驗觀察到的各種現(xiàn)象。

單縫衍射

圖的右半部分為觀察屏水平方向上的輻照度分布，輻照度曲線在 θ θ --> {\displaystyle \theta } -軸的第一個零點 θ θ --> m i n , 1 {\displaystyle \theta _{min,1}} 被稱為“第一極小值”；圖的左半部分為單縫衍射的示意圖，狹縫處諸點光源發(fā)出的光波以角度 θ θ --> {\displaystyle \theta } 傳播到達第一極小值。這里，我們認為這些光束與狹縫垂直平分線的夾角均為 θ θ --> {\displaystyle \theta } ，是基于 L {\displaystyle L} 遠大于 d {\displaystyle d} 的前提。

惠更斯－菲涅耳原理最常見的應(yīng)用之一，是計算平面波（通常為可見光、無線電波、X射線或電子等）照射到具有任意形狀孔徑的擋板的衍射行為。根據(jù)原理所述，位于孔徑的每一點都是都是點波源，能夠發(fā)射出向各個方向傳播的球面子波。將所有從這些點波源發(fā)射出的球面波通過干涉原理進行疊加，平面波通過孔徑后的在任意時刻的波前。

考慮最簡單的單縫衍射情形，例如在計算出現(xiàn)于觀察屏的衍射圖樣時，先將這條相對較寬的單縫分成無數(shù)更窄的狹縫，然后將它們看作是新的點波源并計算彼此的干涉。如果將單縫分成兩個小狹縫，當(dāng)它們的子波的光程差對應(yīng)著 λ λ --> / 2 {\displaystyle \lambda /2} 時有相消干涉；如果分成三個小狹縫，則這一光程差對應(yīng) λ λ --> / 3 {\displaystyle \lambda /3} 時有相消干涉；以此類推到無數(shù)個小狹縫的情形，則位于兩端的小狹縫的光程差需要恰好為 λ λ --> {\displaystyle \lambda } 時才會得到完全的相消干涉。以方程表達，假設(shè)單縫的寬度為 d {\displaystyle d} ，“第一極小值”的位置與中央軸的夾角為 θ θ --> {\displaystyle \theta } 則

一般孔徑的衍射

一般孔徑衍射數(shù)學(xué)推導(dǎo)示意圖。

上面討論單縫衍射時所用的定性分析難以推廣到一般形狀孔徑的衍射中。而基爾霍夫在惠更斯－菲涅耳原理的基礎(chǔ)上將其數(shù)學(xué)化，認為這個原理可以用一個近似積分來表示。從一個點波源發(fā)射出的進行波在位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 上的振幅 ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 可由頻域下對應(yīng)的波方程（亥姆霍茲方程）的解給出：

其中， δ δ --> ( r ) {\displaystyle \delta ({\mathbf {r}})} 狄拉克狄拉克δ函數(shù)。

由于在這里狄拉克δ函數(shù)僅是徑向 r {\displaystyle {\mathbf {r}}} 的函數(shù)，則在球坐標(biāo)系下可以將拉普拉斯算符分解為

直接代入波方程，得到的方程的解是標(biāo)量的格林函數(shù)，并在球坐標(biāo)系下可表為

這個解的形式是假設(shè)了描述波源的狄拉克函數(shù)位于原點。對于任意位置 r ′ ′ --> {\displaystyle {\mathbf {r}}^{\prime }} 的源點，在場點 r {\displaystyle {\mathbf {r}}} 的標(biāo)量格林函數(shù)可表為

由此，對于入射到孔徑上的電場 E i n c ( x , y ) {\displaystyle E_{\rm {inc}}(x,y)} ，從這一孔徑發(fā)出的電場由入射場和格林函數(shù)對孔徑幾何分布的面積分給出：

其中孔徑上的點源坐標(biāo)由下式給出：

在遠場極限下，光線可認為彼此平行，此時格林函數(shù)

可簡化為

則在遠場區(qū)（夫瑯禾費區(qū)），場的表達式為

并由于

以及

從而，從一個平面孔徑發(fā)出的電場在夫瑯禾費區(qū)的表達式為

令

和

則一個平面孔徑的夫瑯禾費衍射具有傅里葉變換的形式：

這表明在衍射的遠場區(qū)，電場的形式由孔徑的幾何分布在空間上的傅里葉變換給出。也就是說當(dāng)惠更斯－菲涅耳原理應(yīng)用于孔徑時，它表明夫瑯禾費衍射的圖樣是孔徑形狀在空間上的傅里葉變換。這一原理用另一種語言——傅里葉光學(xué)——也可以做出等價的描述。

參見

格林函數(shù)

格林定理

格林恒等式

基爾霍夫積分定理

雙縫實驗

費馬原理

菲涅爾衍射

傅里葉光學(xué)

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