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能帶結構簡介

固體材料的能帶結構由多條能帶組成，能帶分為傳導帶（簡稱導帶）、價電帶（簡稱價帶）和禁帶等，導帶和價帶間的空隙稱為能隙（即右邊第二副圖中所示的 E g {\displaystyle E_{g}} ）。

能帶結構可以解釋固體中導體、半導體、絕緣體三大類區(qū)別的由來。材料的導電性是由“傳導帶”中含有的電子數量決定。當電子從“價帶”獲得能量而跳躍至“傳導帶”時，電子就可以在帶間任意移動而導電。

一般常見的金屬材料，因為其傳導帶與價帶之間的“能隙”非常小，在室溫下電子很容易獲得能量而跳躍至傳導帶而導電，而絕緣材料則因為能隙很大（通常大于9電子伏特），電子很難跳躍至傳導帶，所以無法導電。一般半導體材料的能隙約為1至3電子伏特，介于導體和絕緣體之間。因此只要給予適當條件的能量激發(fā)，或是改變其能隙之間距，此材料就能導電。

理論基礎

對于理想晶體，其原子服從晶格排列，具有周期性，因而可以認為離子實的勢場也具有周期性。晶體中的電子在一個周期性等效勢場中運動，其波動方程為：

其中 V ( r ) = V ( r + R n ) {\displaystyle V\left(r\right)=V\left(r+\mathbf {R} _{n}\right)} 為周期性等效勢場， ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 為波函數， ? ? --> {\displaystyle \hbar } 為普朗克常數， m {\displaystyle m} 為質量， ? ? --> {\displaystyle \nabla } 為微分算符， E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 為能量

近自由電子模型

能帶理論認為，固體內部的電子，不是被束縛在單個原子周圍，而是在整個固體內部運動，僅僅受到離子實勢場的微擾。本征波函數的主部是動量的本征態(tài)，散射只給出一階修正。這個模型只對少數晶體（如堿金屬）適用。

布洛赫波函數

硅晶格中的布洛赫波

布洛赫波函數是指形如 ψ ψ --> k ( r ) = u k ( r ) exp ? ? --> ( i k ? ? --> r ) {\displaystyle \psi _{k}\left({\boldsymbol {r}}\right)=u_{k}\left({\boldsymbol {r}}\right)\exp {\left(i{\boldsymbol {k}}\cdot r\right)}} 的波函數 ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 。其中 u k ( r ) = u k ( r + T ) {\displaystyle u_{k}\left({\boldsymbol {r}}\right)=u_{k}\left({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {T}}\right)} 具有晶格周期性（ T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} 為晶格平移矢量）。

布洛赫本人證明，對于上述的含周期勢場的薛定諤方程，其解必為布洛赫波函數的形式。這一定理被稱之為 布洛赫定理 。它表明，對于周期勢場中的波動方程而言，其本征函數的形式為一個平面波 exp ? ? --> ( i k ? ? --> r ) {\displaystyle \exp {\left(i{\boldsymbol {k}}\cdot r\right)}} 乘以一個周期性函數 u k ( r ) {\displaystyle u_{k}\left({\boldsymbol {r}}\right)} 。

布洛赫函數可以表示為行波波包的疊加，由于德布羅意提出電子可以表示為波，從而布洛赫波函數可以表示在離子實周期性勢場中自由傳播的電子。

緊束縛近似

緊束縛近似是將在一個原子附近的電子看作受該原子勢場的作用為主，其他原子勢場的作用看作微擾，從而可以得到電子的原子能級和晶體中能帶之間的相互關系。在此近似中，能帶的電子波函數可以寫成布洛赫波函數之和的形式： ψ ψ --> k i = 1 N ∑ ∑ --> n e i k ? ? --> R n ψ ψ --> i ( r ? ? --> R n ) = 1 N ∑ ∑ --> n e i k ? ? --> R n W n ( r ? ? --> R n ) {\displaystyle \psi _{k}^{i}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{n}e^{ik\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}\psi _{i}\left({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n}\right)={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{n}e^{ik\cdot {\boldsymbol {R}}_{n}}{\boldsymbol {W}}_{n}\left({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n}\right)}

其中 W n ( r ? ? --> R n ) {\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{n}\left({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}_{n}\right)} 被稱為瓦尼爾函數。

可以用微擾理論求解該近似模型。求解結果為一個原子能級對應一條能帶。緊束縛適用于計算相當多的晶體能帶。

參考文獻

黃昆, 《固體物理學》, ISBN 7-04-001025-9

Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics , Eighth Edition, ISBN 7-5025-7183-3

Ashcroft/Mermin, Solid State Physics , ISBN 981-243-864-5

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