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定理

設(shè)閉區(qū)域 D 由分段光滑的簡(jiǎn)單曲線?L?圍成，函數(shù)P(x,y)及?Q(x,y)在?D?上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

其中L是D的取正向的邊界曲線。

此公式叫做格林公式，它給出了沿著閉曲線C的曲線積分與C所包圍的區(qū)域D上的二重積分之間的關(guān)系。另見格林恒等式。格林公式還可以用來計(jì)算平面圖形的面積。

D 為一個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域時(shí)的證明

以下是特殊情況下定理的一個(gè)證明，其中D是一種I型的區(qū)域，C2和C4是豎直的直線。對(duì)于II型的區(qū)域D，其中C1和C3是水平的直線。

如果我們可以證明

以及

那么就證明了格林公式是正確的。

把右圖中I型的區(qū)域D定義為：

其中g(shù)1和g2是區(qū)間[a, b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。計(jì)算(1)式中的二重積分：

現(xiàn)在計(jì)算(1)式中的曲線積分。C可以寫成四條曲線C1、C2、C3和C4的并集。

對(duì)于C1，使用參數(shù)方程：x = x，y = g1(x)，a ≤ x ≤ b。那么：

對(duì)于C3，使用參數(shù)方程：x = x，y = g2(x)，a ≤ x ≤ b。那么：

沿著C3的積分是負(fù)數(shù)，因?yàn)樗茄刂捶较驈腷到a。在C2和C4上，x是常數(shù)，因此：

所以：

(3)和(4)相加，便得到(1)。類似地，也可以得到(2)。

應(yīng)用

計(jì)算區(qū)域面積

使用格林公式，可以用線積分計(jì)算區(qū)域的面積。因?yàn)閰^(qū)域D的面積等于A=? ? -->DdA{\displaystyle A=\iint _{D}dA}，所以只要我們選取適當(dāng)?shù)腖與M使得? ? -->M? ? -->x? ? -->? ? -->L? ? -->y=1{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}，就可以通過A=∮C(Ldx+Mdy){\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)}來計(jì)算面積。

一種可能的取值是A=∮Cxdy=? ? -->∮Cydx=12∮C(? ? -->ydx+xdy){\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy)}。

參見

高斯公式

斯托克斯公式

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