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化簡后的行階梯形矩陣

化簡后的行階梯形矩陣（reduced row echelon form），也稱作行規(guī)范形矩陣（row canonical form），如果滿足額外的條件：

每個首項(xiàng)系數(shù)是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如：

[10a10b10100b20001b3]{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&0&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}

注意，這并不意味著化簡后的行階梯形矩陣的左部總是單位陣。例如，如下的矩陣是化簡后的行階梯形矩陣：

[101/20b101? ? -->1/30b20001b3]{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&1/2&0&b_{1}\\0&1&-1/3&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}

因?yàn)榈?列并不包含任何行的首項(xiàng)系數(shù)。

矩陣變換到列階梯形

通過有限步的行初等變換，任何矩陣可以變換為列階梯形。由于行初等變換保持了矩陣的行空間，因此列階梯形矩陣的列空間與變換前的原矩陣的列空間相同。

列階梯形的結(jié)果并不是唯一的。例如，列階梯形乘以一個標(biāo)量系數(shù)仍然是列階梯形。但是，可以證明一個矩陣的化簡后的列階梯形是唯一的。

線性方程組

一個線性方程組是列階梯形，如果其增廣矩陣是列階梯形。類似的，一個線性方程組是簡化后的列階梯形或"規(guī)范形，如果其增廣矩陣是化簡后的列階梯形。

一些示例

定義： [1a1a2a301a4a5001a6]{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&1&a_{4}&a_{5}\\0&0&1&a_{6}\end{array}}\right]}

例子： [189012001][1? ? -->633010000]{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&8&9\\0&1&2\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}1&-6&33\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]}

錯誤示例： [100? ? -->8010004126][1? ? -->293000001][012167001]{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&-8\\0&1&0&0\\0&4&1&26\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&-29&3\\0&0&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&6&7\\0&0&1\end{array}}\right]}

注：

矩陣1：第二列的第一非零項(xiàng)1的下方的列項(xiàng)不全為零（有非零項(xiàng)4），見定義第二條，所以不是階梯型矩陣。

矩陣2：全為零的行應(yīng)該在非全為零行的下方，見定義第三條，所以不是階梯型矩陣。

矩陣3：k+1行比k行的第一個非零項(xiàng)之前的0少，見定義第三條，所以不是階梯型矩陣。

簡化后的行階梯形矩陣的例子： [100010001][190501700100? ? -->30000132000000][0000]{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccccc}1&9&0&5&0&17\\0&0&1&0&0&-3\\0&0&0&0&1&32\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&0\\\end{array}}\right]}

參見

高斯消元法

高斯-若爾當(dāng)消元法

初等變換

參考來源

矩陣的初等行變換、階梯形矩陣與矩陣的秩

Interactive Row Echelon Form with rational output

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