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一般形式琴生不等式可以用測度論或概率論的語言給出。這兩種方式都表明同一個(gè)很一般的結(jié)果。測度論的版本假設(shè)μμ-->{\displaystyle\mu}是集合ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}的正測度，使得μμ-->(ΩΩ-->)=1{\displaystyle\mu(\Omega)=1}。若g{\displaystyleg}是勒貝格可積的實(shí)值函數(shù)，而φφ-->{\displaystyle\varphi}是在g{\displaystyleg}的值域上定義的凸函數(shù)，則概率論的版本以概率論的名詞，μμ-->{\displaystyle\mu}是個(gè)概率測度。函數(shù)g{\displaystyleg}換作實(shí)值隨機(jī)變數(shù)X{\displaystyleX}（就純數(shù)學(xué)而言，兩者沒有分別）。在ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}空間上，任何...

向量因?yàn)樯鲜降韧琧≤≤-->b+a{\displaystylec\leqb+a}。（其中a,b,c為任意三角形的其中三邊）實(shí)數(shù)|a+b|≤≤-->|a|+|b|{\displaystyle\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|}證明：考慮到實(shí)數(shù)的平方必然是非負(fù)數(shù)，將兩邊平方，使它剩下一套絕對值符號：對于(a0)∨∨-->(b0){\displaystyle(a0)\lor(b0)}(即a,b彼此異號)，2ab<|2ab|{\displaystyle2ab對于(a,b≤≤-->0)∨∨-->(a,b≥≥-->0){\displaystyle(a,b\leq0)\lor(a,b\geq0)}(即a,b彼此同號)，2ab=|2ab|{\displaystyle2ab=\left|2ab\righ...

備注在赫爾德共軛的定義中，1/∞意味著零。如果1≤p，q<∞，那么||f||p和||g||q表示（可能無窮的）表達(dá)式：如果p=∞，那么||f||∞表示|f|的本性上確界，||g||∞也類似。在赫爾德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味著0。把a(bǔ)>0乘以∞，則得出∞。證明赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式。如果||f||p=0，那么fμ-幾乎處處為零，且乘積fgμ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||q=0也是這樣。因此，我們可以假設(shè)||f||p>0且||g||q>0。如果||f||p=∞或||g||q=∞，那么不等式的右端為無窮大。因此，我們可以假設(shè)||f||p和||g||q位于(0,∞)內(nèi)。如果p=∞且q=1，那么幾乎處處有|fg|≤||f||∞|g|，不等式就可以從勒貝格積分的單調(diào)性推出。對于p=1和q=∞，情況也類似。因此，我...

敘述柯西-施瓦茨不等式敘述，對于一個(gè)內(nèi)積空間所有向量x和y，其中??-->??-->,??-->??-->{\displaystyle\langle\cdot,\cdot\rangle}表示內(nèi)積，也叫點(diǎn)積。等價(jià)地，將兩邊開方，引用向量的范數(shù)，不等式可寫為另外，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x和y線性相關(guān)（或者在幾何上，它們是平行的，或其中一個(gè)向量的模為0）。若x1,……-->,xn∈∈-->C{\displaystylex_{1},\ldots,x_{n}\in\mathbb{C}}和y1,……-->,yn∈∈-->C{\displaystyley_{1},\ldots,y_{n}\in\mathbb{C}}有虛部，內(nèi)積即為標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積，用拔標(biāo)記共軛復(fù)數(shù)那么這個(gè)不等式可以更明確的表述為柯西—施瓦茨不等式的一個(gè)重要結(jié)果，是內(nèi)積為連續(xù)函數(shù)，甚至是滿足1階利普希茨條...

敘述經(jīng)典形式設(shè)p是一個(gè)大于等于1的實(shí)數(shù)，n是一個(gè)正整數(shù)。ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}是n維歐幾里得空間Rn{\displaystyle\mathbb{R}^{n}}上的一個(gè)子集開子集，并且其邊界是滿足利普希茲條件的區(qū)域（也就是說它的邊界是一個(gè)利連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù)的圖像）。在這種情況下，存在一個(gè)只與ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}常數(shù)p有關(guān)的常數(shù)C，使得對索伯列夫空間W1,p(ΩΩ-->){\displaystyle\mathbb{W}^{1,p}(\Omega)}中所有的函數(shù)u，都有：其中的∥∥-->??-->∥∥-->Lp{\displaystyle\|\cdot\|_{L^{p}}}指的是Lp空間之中的范數(shù)，是函數(shù)u在定義域ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}上的平均值，而|ΩΩ-->...