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一般形式

琴生不等式可以用測度論或概率論的語言給出。這兩種方式都表明同一個很一般的結(jié)果。

測度論的版本

假設(shè)μ μ -->{\displaystyle \mu }是集合Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }的正測度，使得μ μ -->(Ω Ω -->)=1{\displaystyle \mu (\Omega )=1}。若g{\displaystyle g}是勒貝格可積的實值函數(shù)，而φ φ -->{\displaystyle \varphi }是在g{\displaystyle g}的值域上定義的凸函數(shù)，則

概率論的版本

以概率論的名詞，μ μ -->{\displaystyle \mu }是個概率測度。函數(shù)g{\displaystyle g}換作實值隨機(jī)變數(shù)X{\displaystyle X}（就純數(shù)學(xué)而言，兩者沒有分別）。在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }空間上，任何函數(shù)相對于概率測度μ μ -->{\displaystyle \mu }的積分就成了期望值。這不等式就說，若φ φ -->{\displaystyle \varphi }是任一凸函數(shù)，則

特例

概率密度函數(shù)的形式

假設(shè)Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是實數(shù)軸上的可測子集，而f(x){\displaystyle f(x)}是非負(fù)函數(shù)，使得

以概率論的語言，f{\displaystyle f}是個概率密度函數(shù)。

琴生不等式變成以下關(guān)于凸積分的命題：

若g{\displaystyle g}是任一實值可測函數(shù)，? ? -->{\displaystyle \phi }在g{\displaystyle g}的值域中是凸函數(shù)，則

若g(x)=x{\displaystyle g(x)=x}，則這形式的不等式簡化成一個常用特例：

有限形式

若Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是有限集合{x1,x2,… … -->,xn}{\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}，而μ μ -->{\displaystyle \mu }是Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上的正規(guī)計數(shù)測度，則不等式的一般形式可以簡單地用和式表示：

其中λ λ -->1+λ λ -->2+? ? -->+λ λ -->n=1,λ λ -->i≥ ≥ -->0{\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}=1,\lambda _{i}\geq 0}。

若? ? -->{\displaystyle \phi }是凹函數(shù)，只需把不等式符號調(diào)轉(zhuǎn)。

假設(shè)x1,x2,… … -->,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}是正實數(shù)，g(x)=x{\displaystyle g(x)=x}，λ λ -->i=1/n{\displaystyle \lambda _{i}=1/n}及φ φ -->(x)=log? ? -->(x){\displaystyle \varphi (x)=\log(x)}。上述和式便成了

兩邊取自然指數(shù)就得出熟悉的均值不等式：

這不等式也有無限項的離散形式。

統(tǒng)計物理學(xué)

統(tǒng)計物理學(xué)中，若凸函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，琴生不等式特別重要：

其中方括號表示期望值，是以隨機(jī)變數(shù)X的某個概率分布算出。這個情形的證明很簡單（參見Chandler, Sec. 5.5）：在以下等式的第三個指數(shù)函數(shù)

套用不等式

即得出所求的不等式。

大學(xué)圖徽

琴生不等式是哥本哈根大學(xué)的數(shù)學(xué)系圖徽。

參考書目

Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1. 

David Chandler. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. 1987. ISBN 0-19-504277-8. 

注釋

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