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備注

在赫爾德共軛的定義中，1/∞意味著零。

如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能無窮的）表達式：

如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上確界，||g||∞也類似。

在赫爾德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味著 0。把a > 0乘以∞，則得出 ∞。

證明

赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式。

如果||f ||p = 0，那么fμ-幾乎處處為零，且乘積fgμ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||q = 0也是這樣。因此，我們可以假設||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端為無窮大。因此，我們可以假設||f ||p和||g||q位于(0,∞)內。

如果p = ∞且q = 1，那么幾乎處處有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對于p = 1和q = ∞，情況也類似。因此，我們還可以假設p, q ∈ (1,∞)。

分別用f和g除||f ||p||g||q，我們可以假設：

我們現(xiàn)在使用楊氏不等式：

對于所有非負的a和b，當且僅當a = b時等式成立。因此：

兩邊積分，得：

這便證明了赫爾德不等式。

在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假設下，等式成立當且僅當幾乎處處有|f | = |g|。更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)內，那么赫爾德不等式變?yōu)榈仁?，當且僅當存在α, β > 0（即α = ||g||q且β = ||f ||p），使得：

||f ||p = 0的情況對應于(*)中的β = 0。||g||q = 的情況對應于(*)中的α = 0。

參考文獻

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