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敘述

經(jīng)典形式

設(shè)p是一個大于等于1的實數(shù)，n是一個正整數(shù)。Ω Ω -->{\displaystyle \Omega } 是n維歐幾里得空間Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}上的一個子集開子集，并且其邊界是滿足利普希茲條件的區(qū)域（也就是說它的邊界是一個利連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù)的圖像）。在這種情況下，存在一個只與Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }常數(shù)p有關(guān)的常數(shù)C，使得對索伯列夫空間W1,p(Ω Ω -->){\displaystyle \mathbb {W} ^{1,p}(\Omega )} 中所有的函數(shù)u，都有：

其中的∥ ∥ -->? ? -->∥ ∥ -->Lp{\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}}} 指的是Lp空間之中的范數(shù)，

是函數(shù)u在定義域Ω Ω -->{\displaystyle \Omega } 上的平均值，而|Ω Ω -->|{\displaystyle |\Omega |}指的是區(qū)域Ω Ω -->{\displaystyle \勒貝格測度 } 的勒貝格測度。

推廣

在其他的索伯列夫空間上也有與龐加萊不等式類似的結(jié)果。比如說，定義空間H(T)是單位環(huán)面T上的Lp空間中傅里葉變換?滿足

[u]H1/2(T2)2=∑ ∑ -->k∈ ∈ -->Z2|k||u^ ^ -->(k)|2:{\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}

的函數(shù)u所構(gòu)成的空間，那么存在一個常數(shù)C，使得對于每個H(T)中的函數(shù)u，如果它在單位環(huán)面T的某個開子集上恒等于零，那么就有

∫ ∫ -->T2|u(x)|2dx≤ ≤ -->C(1+1cap(E× × -->{0}))[u]H1/2(T2)2,{\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm adwozrm x\leq C\left(1+{\frac {1}{\mathrm {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},}

其中的cap(E× × -->{0}){\displaystyle \mathrm {cap} (E\times \{0\})} 指的是E× × -->{0}{\displaystyle E\times \{0\}}作為一個R中的子集的調(diào)和容度。

龐加萊常數(shù)

以上不等式中的常數(shù)C的最優(yōu)值被稱為區(qū)域Ω Ω -->{\displaystyle \Omega } 中的龐加萊常數(shù)。確定一個區(qū)域的龐加萊常數(shù)通常是一個困難的工作，與常數(shù)p的值以及區(qū)域Ω Ω -->{\displaystyle \Omega } 的幾何性質(zhì)有關(guān)。在某些特定的條件下，比如已知區(qū)域Ω Ω -->{\displaystyle \Omega } 是一個直徑的凸區(qū)域，并且直徑是d，那么當p=1的時候，龐加萊常數(shù)至多等于d2{\displaystyle \scriptstyle {\frac vzaya7j{2}}}。而當p=2的時候，龐加萊常數(shù)至多等于dπ π -->{\displaystyle \scriptstyle {\frac 6tmqrzp{\pi }}}。這是只包含直徑d的最佳估計。在維數(shù)是一維的時候，有沃廷格函數(shù)不等式。

然而，在特殊情況下，龐加萊常數(shù)C可以被完全確定。例如，當p=2，區(qū)域是單位等腰直角三角形的時候，可以得出龐加萊常數(shù)C=1π π -->{\displaystyle \scriptstyle C={\frac {1}{\pi }}}，這個值嚴格小于估計dπ π -->{\displaystyle \scriptstyle {\frac 7aefyib{\pi }}}，因為這時d=2{\displaystyle \scriptstyle {d={\sqrt {2}}}}。

參見

索博列夫不等式

參考來源

Evans, Lawrence C., Partial differential equations, Providence, RI: American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 

Fumio, Kikuchi; Xuefeng, Liu, Estimation of interpolation error constants for the P0 and P1 triangular finite elements, Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg., 2007, 196: 3750–3758, doi:10.1016/j.cma.2006.10.029 MR2340000

Payne, L. E.; Weinberger, H. F., An optimal Poincaré inequality for convex domains, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1960: 286–292, ISSN 0003-9527 

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