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敘述

柯西-施瓦茨不等式敘述，對(duì)于一個(gè)內(nèi)積空間所有向量 x 和 y ，

其中 ? ? --> ? ? --> , ? ? --> ? ? --> {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 表示內(nèi)積，也叫點(diǎn)積。等價(jià)地，將兩邊開(kāi)方，引用向量的范數(shù)，不等式可寫(xiě)為

另外，等式成立當(dāng)且僅當(dāng) x 和 y 線性相關(guān)（或者在幾何上，它們是平行的，或其中一個(gè)向量的模為0）。

若 x 1 , … … --> , x n ∈ ∈ --> C {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {C} } 和 y 1 , … … --> , y n ∈ ∈ --> C {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {C} } 有虛部，內(nèi)積即為標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積，用拔標(biāo)記共軛復(fù)數(shù)那么這個(gè)不等式可以更明確的表述為

柯西—施瓦茨不等式的一個(gè)重要結(jié)果，是內(nèi)積為連續(xù)函數(shù)，甚至是滿足1階利普希茨條件的函數(shù)。

特例

對(duì)歐幾里得空間 R ，有

等式成立時(shí)：

也可以表示成

( x 1 2 + x 2 2 + ? ? --> + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ? ? --> + y n 2 ) ≥ ≥ --> ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ? ? --> + x n y n ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}

證明則須考慮一個(gè)關(guān)于 t {\displaystyle t} 的一個(gè)一元二次方程式 ( x 1 t + y 1 ) 2 + ? ? --> + ( x n t + y n ) 2 = 0 {\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}

很明顯的，此方程式無(wú)實(shí)數(shù)解或有重根，故其判別式 D ≤ ≤ --> 0 {\displaystyle D\leq 0}

注意到

( x 1 t + y 1 ) 2 + ? ? --> + ( x n t + y n ) 2 ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}\geq 0}

? ( x 1 2 + x 2 2 + ? ? --> + x n 2 ) t 2 + 2 ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ? ? --> + x n y n ) t + ( y 1 2 + y 2 2 + ? ? --> + y n 2 ) ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq 0}

則

D = 4 ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ? ? --> + x n y n ) 2 ? ? --> 4 ( x 1 2 + x 2 2 + ? ? --> + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ? ? --> + y n 2 ) ≤ ≤ --> 0 {\displaystyle D=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\leq 0}

即

( x 1 2 + x 2 2 + ? ? --> + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ? ? --> + y n 2 ) ≥ ≥ --> ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ? ? --> + x n y n ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}

( x 1 t + y 1 ) 2 + ? ? --> + ( x n t + y n ) 2 = 0 {\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}

( x 1 2 + x 2 2 + ? ? --> + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + ? ? --> + y n 2 ) ≥ ≥ --> ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + ? ? --> + x n y n ) 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}

而等號(hào)成立于判別式 D = 0 {\displaystyle D=0} 時(shí)

也就是此時(shí)方程式有重根，故

x 1 y 1 = x 2 y 2 = ? ? --> = x n y n . {\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}

對(duì)平方可積的復(fù)值函數(shù)，有

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

在3維空間，有一個(gè)較強(qiáng)結(jié)果值得注意：原不等式可以增強(qiáng)至拉格朗日恒等式

矩陣不等式

設(shè) x , y {\displaystyle x,y} 為列向量，則 | x ? ? --> y | 2 ≤ ≤ --> x ? ? --> x ? ? --> y ? ? --> y {\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}x\cdot y^{*}y}

設(shè) A {\displaystyle A} 為 n × × --> n {\displaystyle n\times n} Hermite陣，且 A ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle A\geq 0} ，則 | x ? ? --> A y | 2 ≤ ≤ --> x ? ? --> A x ? ? --> y ? ? --> A y {\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}

設(shè) A {\displaystyle A} 為 n × × --> n {\displaystyle n\times n} Hermite陣，且 A > 0 {\displaystyle A>0} ，則 | x ? ? --> y | 2 ≤ ≤ --> x ? ? --> A x ? ? --> y ? ? --> A ? ? --> 1 y {\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}

若 q i ≥ ≥ --> 0 , ∑ ∑ --> i q i = 1 {\displaystyle \displaystyle q_{i}\geq 0,\sum _{i}q_{i}=1} ，則 ( x ? ? --> A ∑ ∑ --> i a i q i x ) ≤ ≤ --> ∏ ∏ --> i ( x ? ? --> A a i x ) q i {\displaystyle \displaystyle (x^{*}A^{\sum _{i}a_{i}q_{i}}x)\leq \prod _{i}(x^{*}A^{a_{i}}x)^{q_{i}}}

復(fù)變函數(shù)中的柯西不等式

設(shè) f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在區(qū)域D及其邊界上解析， a {\displaystyle a} 為D內(nèi)一點(diǎn)，以 a {\displaystyle a} 為圓心做圓周 C R : | z ? ? --> a | = R {\displaystyle C_{R}:|z-a|=R} ，只要 C R {\displaystyle C_{R}} 及其內(nèi)部G均被D包含，則有：

| f ( n ) ( z 0 ) | ≤ ≤ --> n ! M R n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) {\displaystyle \left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}}\qquad (n=1,2,3,...)}

其中，M是 | f ( z ) | {\displaystyle |f(z)|} 的最大值， M = max | x ? ? --> a | ∈ ∈ --> R | f ( x ) | {\displaystyle M=\max \limits _{|x-a|\in R}|f(x)|} 。

其它推廣

∑ ∑ --> i = 1 n ( ∑ ∑ --> j = 1 m a i j ) 2 ≤ ≤ --> ∑ ∑ --> j = 1 m ∑ ∑ --> i = 1 n a i j 2 {\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{m}a_{ij})^{2}}}\leq \sum _{j=1}^{m}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{2}}}}

m ≥ ≥ --> α α --> > 0 , ( ∑ ∑ --> i = 1 n ∏ ∏ --> j = 1 m a i j ) α α --> ≤ ≤ --> ∏ ∏ --> j = 1 m ∑ ∑ --> i = 1 n a i j α α --> {\displaystyle m\geq \alpha >0,(\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{ij})^{\alpha }\leq \prod _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{\alpha }}

參見(jiàn)

三角不等式

內(nèi)積空間

注釋

^ x ? ? --> {\displaystyle x^{*}} 表示x的共軛轉(zhuǎn)置。

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