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幾何性質(zhì)

正六百胞體的對偶多胞體是正一百二十胞體。 正六百胞體的頂點形是正二十面體。 邊長為a的正六百胞體超體積為 50 + 25 5 4 a 4 {\displaystyle {\frac {50+25{\sqrt {5}}}{4}}a^{4}} ，表體積為50√2a 。

以原點為中心，邊長為 1/φ 的正六百胞體（其中φ = (1+√5)/2是黃金比例），頂點坐標如下：16個頂點形式如下

8個頂點從下列坐標不同排列得出

剩下96個頂點是下列坐標的偶置換

如果一個正六百胞體的棱長為1，則其外接超球半徑為 5 + 1 2 ≈ ≈ --> 1.618 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.618\end{smallmatrix}}} 即黃金分割比；其外中交超球(經(jīng)過正六百胞體每條棱的中點)半徑為 2 5 + 5 2 ≈ ≈ --> 1.538 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {\sqrt {2{\sqrt {5}}+5}}{2}}\approx 1.538\end{smallmatrix}}} ;其內(nèi)中交超球（經(jīng)過正六百胞體每個面的中心）半徑為 15 + 3 3 6 ≈ ≈ --> 1.512 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}}{6}}\approx 1.512\end{smallmatrix}}} ;其內(nèi)切超球半徑為 10 + 2 2 4 ≈ ≈ --> 1.498 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {10}}+2{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1.498\end{smallmatrix}}} 。

注意到首16個頂點構(gòu)成超正方體，次8個構(gòu)成正十六胞體。這24個頂點一起構(gòu)成正二十四胞體，事實上，如果移除這24個頂點，就會得到另一個有意思的半正多胞體扭棱正二十四胞體（Snub Icositetrachoron）。

對稱群構(gòu)造

如果把坐標看作四元數(shù)，正六百胞體的120個頂點以四元數(shù)乘法組成群。這個群通常稱為雙二十面體群，因為它是二十面體群 I 的雙重復(fù)蓋。這個雙十二面體群也可被看作是正六百胞體的旋轉(zhuǎn)（無反射）對稱群，因為單位四元數(shù)的乘法等同于點的旋轉(zhuǎn)，也因此雙十二面體群是H 4 群的一個子群。雙二十面體群同構(gòu)于特殊線性群SL(2,5)。

正六百胞體的對稱群是 H 4 的外爾群，這個群的階是14400。

可視化

正六百胞體的胞眾多，并且這些正四面體胞基本上沒有什么規(guī)律可循，為正六百胞體的可視化帶來了許多困難，但作為正一百二十胞體的對偶，許多正一百二十胞體的性質(zhì)也表現(xiàn)在正六百胞體上。

大圓結(jié)構(gòu)

正一百二十胞體的10個會首尾相連，構(gòu)成“大圓”，這些胞與正六百胞體的頂點對偶，它們也會互相連接形成一個正十邊形，這正十邊形的每一條邊周圍都有5個正四面體共這條邊，這種結(jié)構(gòu)看上去就像有棱有角的飛盤。正十邊形相鄰的兩條棱周圍的兩簇正四面體中間會有空隙，我們可以在填入10個正四面體使其構(gòu)成正二十面體，這樣你就會得到一個涉及150個胞、10條棱、100個裸露的正三角形面的環(huán)形結(jié)構(gòu)，我們還可以在向這些面上填上正四面體，會得到一個涉及250個胞的有50個突出的頂點和100條凹陷的棱的大圓，它與另一條與之正交的250胞環(huán)在頂點處咬合，剩余的棱的空隙是剩余的100個胞?，F(xiàn)在，如果我們?nèi)サ暨@兩條大圓最初的10個頂點，我們就會得到四維唯一的非Wythoff凸半正多胞體——重反棱柱，原來的大圓處留下了各10個正五反棱柱，并剩下了300個正四面體胞。

參考

600-cell逐層剖析了正六百胞體的表分層結(jié)構(gòu)

Regular Convex Four-Dimensional Polytopes提供了正六百胞體的幾何數(shù)據(jù)

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