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基本幾何性質(zhì)

正一百二十胞體的頂點圖是正四面體，棱圖是正三角形，若其棱長為a，則其超體積為 15 ( 105 + 47 5 ) a 4 4 {\displaystyle {\cfrac {15(105+47{\sqrt {5}})a^{4}}{4}}} ，表體積是(450+210√5)a 。其二胞角是144°，這意味著它不能獨自完成四維歐幾里得空間的堆砌，但戴維斯首先描述了四維雙曲空間的一種正一百二十胞體堆砌，這種存在于緊湊雙曲流形的堆砌有施萊夫利符號{5,3,3,5}。

若一個正一百二十胞體的棱長為1，則其外接超球的半徑為 10 + 3 2 2 ≈ ≈ --> 3.702459174 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}}{2}}\approx 3.702459174\end{smallmatrix}}} ,其外中交超球（經(jīng)過正一百二十胞體每條棱的中點的三維超球）半徑為 15 + 2 3 2 ≈ ≈ --> 3.668542481 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {{\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}}{2}}\approx 3.668542481\end{smallmatrix}}} ，其內(nèi)中交超球（經(jīng)過正一百二十胞體每個面的中心）半徑為 10 ( 29 5 + 65 ) 10 ≈ ≈ --> 3.603414649 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {\sqrt {10(29{\sqrt {5}}+65)}}{10}}\approx 3.603414649\end{smallmatrix}}} ,其內(nèi)切超球半徑為 3 5 + 7 4 ≈ ≈ --> 3.427050983 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {3{\sqrt {5}}+7}{4}}\approx 3.427050983\end{smallmatrix}}} 。

頂點坐標

如果以其中心為原點，正一百二十胞體600個頂點坐標是以下的全排列： (0, 0, ±2, ±2) (±1, ±1, ±1, ±√5) (±φ-2, ±φ, ±φ, ±φ) (±φ-1, ±φ-1, ±φ-1, ±φ2) 及以下的全偶排列： (0, ±φ-2, ±1, ±φ2) (0, ±φ-1, ±φ, ±√5) (±φ-1, ±1, ±φ, ±2) （φ是黃金分割，(1+√5)/2）

對稱群構造

正一百二十胞體與正六百胞體一樣具有H 4 對稱群構造，對應施萊夫利符號{5,3,3}，Coxeter-Dynkin符號 。擁有H n 對稱群的凸正多胞形屬于正五邊形形家族，這個家族在五維及以后就只有雙曲堆砌成員。

特殊結構

兩個互相“交織”（實是相鄰，交織是四維超球曲率導致的結果）的“大圓”

大圓結構

對于正一百二十胞體來說，其與其三維類比正十二面體的不同之處之一就是構成正一百二十面體的表面——正十二面體的對面是平行的，這意味著如果把正一百二十胞體當作超球面堆砌的話，會有10個胞以平行的對面首尾相接，構成大圓（這種大圓在不同方向上有12個）。（從這點中可以不用解析幾何求導就可以求出二胞角，它等于正十邊形的內(nèi)角144°）。

分層結構

同時，我們也可以把其中一個上文所述的這種大圓當作“赤道”，以“緯度”把正一百二十胞體的胞分成9層，每層分別有1（北極）、12（北極圈）、20、12（北回歸線） 、30（赤道）、12（南回歸線）、20、12（南極圈）、1（南極）個胞，每兩層的仰角相差36°。

其它參考

哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特, Regular Polytopes , 第三版, Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.

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