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性質(zhì)

面的圖形：正五邊形 面的數(shù)目：12 邊的數(shù)目：30 頂點(diǎn)數(shù)目：20 二面角角度： θ θ --> = arccos ? ? --> ( ? ? --> 1 5 ) = 2 arctan ? ? --> φ φ --> ≈ ≈ --> 116.5650512 ° ° --> {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\arccos \left(-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)=2\arctan \varphi \approx 116.5650512^{\circ }} 如果正十二面體棱長(zhǎng)為a： 表面積： A = 3 25 + 10 5 a 2 ≈ ≈ --> 20.645728807 a 2 {\displaystyle A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}\approx 20.645728807a^{2}} 體積： V = 1 4 ( 15 + 7 5 ) a 3 ≈ ≈ --> 7.6631189606 a 3 {\displaystyle V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.6631189606a^{3}} 外接球半徑： r u = a 3 4 ( 1 + 5 ) ≈ ≈ --> 1.401258538 ? ? --> a {\displaystyle r_{u}=a{\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.401258538\cdot a} 內(nèi)切球半徑： r i = a 1 2 5 2 + 11 10 5 ≈ ≈ --> 1.113516364 ? ? --> a {\displaystyle r_{i}=a{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\frac {11}{10}}{\sqrt {5}}}}\approx 1.113516364\cdot a} 中交球半徑： r m = a 1 4 ( 3 + 5 ) ≈ ≈ --> 1.309016994 ? ? --> a {\displaystyle r_{m}=a{\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.309016994\cdot a}

我們亦可以將上述三式寫作：

注意到棱長(zhǎng)為a的正十二面體的外接球同樣外接于棱長(zhǎng)為 φ a的立方體，并且其內(nèi)切球半徑（也即面心距）等于棱長(zhǎng)為 φ a的正五邊形的邊心距。

對(duì)偶多面體：正二十面體

坐標(biāo)系

如果我們以正十二面體的形心為原點(diǎn)建立三維直角坐標(biāo)系，那么其20個(gè)頂點(diǎn)可被描述為： (0,±φ,±1/φ) (±1/φ,0,±φ) (±φ,±1/φ,0) (±1,±1,±1) 其中φ = (1+√5)/2，是黃金分割數(shù)，也被寫作τ，約等于1.618。 該正十二面體棱長(zhǎng)為 / φ =√5–1。其內(nèi)接球半徑正好為√3。

二維投影和對(duì)稱性

正十二面體有兩種特殊的正交投影，分別正對(duì)著其一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)正五邊形面，對(duì)應(yīng)著A 2 和H 2 考克斯特平面 （ 英語(yǔ) ： Coxeter plane ）

在透視投影中，如果如果投影中心正在正十二面體外接球正對(duì)其一面的一點(diǎn)，則你能得到其 施萊格爾圖像 （ 英語(yǔ) ： schlegel diagram ） ，我們亦可以將其視為 球面多面體 （ 英語(yǔ) ： Spherical polyhedron ） 而使用球極投影。這些方法也被用于可視化其四維類比正一百二十胞體，一個(gè)由120個(gè)全等的正十二面體組成的四維凸正多胞體。

幾何關(guān)聯(lián)

正十二面體是一個(gè)無(wú)窮家族——截頂偏方面體的第3個(gè)成員（截頂五偏方面體）。這類多面體可以被看作是將偏方面體在旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸上的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)截去而成。

正十二面體的 星形化體 （ 英語(yǔ) ： Stellation ） 構(gòu)成了4個(gè)星形正多面體中的3個(gè)。

我們可以在正十二面體的20個(gè)頂點(diǎn)中選取5組這樣的頂點(diǎn)，使任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線都是正十二面體正五邊形面的一條對(duì)角線，這樣能構(gòu)成正十二面體的內(nèi)接立方體，5個(gè)內(nèi)接立方體一起構(gòu)成了——復(fù)合多面體——五復(fù)合立方體；我們還可以進(jìn)一步對(duì)內(nèi)接立方體做交錯(cuò)操作，得到正十二面體的內(nèi)接正四面體，如果我們只在內(nèi)接立方體中取一個(gè)正四面體，則5個(gè)正四面體構(gòu)成了有手征性的復(fù)合多面體——五復(fù)合四面體；如果取兩個(gè)，則10個(gè)正四面體構(gòu)成了復(fù)合多面體——十復(fù)合四面體，這三個(gè)復(fù)合多面體都是正十二面體的 小面化體 （ 英語(yǔ) ： faceting ） 。

正十二面體的完全對(duì)稱群是 正二十面體對(duì)稱群 （ 英語(yǔ) ： Icosahedral symmetry ） I h ，考克斯特群[5,3]，群階120，還有一個(gè)抽象群結(jié)構(gòu)A 5×Z 2。

與其對(duì)偶——正二十面體的關(guān)系

當(dāng)正十二面體和正二十面體內(nèi)接于同一球時(shí)，盡管正二十面體有更多的面，但正十二面體占據(jù)球的體積（66.49%）要多于正二十面體占據(jù)的球的體積（60.54%），這一點(diǎn)與二維不同。

棱長(zhǎng)相同為1的正十二面體的體積（7.663...）是正二十面體體積（2.181...）的三倍半多。

相關(guān)多面體

正十二面體在拓?fù)渖吓c一系列三階正鑲嵌（頂點(diǎn)圖為 n ）有關(guān)：

正十二面體在拓?fù)渖线€和其它階的正五邊形正鑲嵌{5,n}(n≥3)有關(guān)：

正十二面體可以通過(guò)不同類型的截取操作來(lái)得到一系列不同的半正多面體及其對(duì)偶，正二十面體，構(gòu)成了正二十面體家族：

頂點(diǎn)分布

正十二面體與4個(gè) 星形半正多面體 （ 英語(yǔ) ： nonconvex uniform polyhedron ） 和上述3個(gè)復(fù)合半正多面體有同樣的頂點(diǎn)分布：

星形化體

正十二面體的3個(gè) 星形化體 （ 英語(yǔ) ： stellation ） 都是星形正多面體（開普勒-普索多面體）：

倒角多面體

相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題

哈密頓路徑的理論就是源自一個(gè)和正十二面體有關(guān)的問(wèn)題：試求一條路徑，沿正十二面體的棱經(jīng)過(guò)它所有的頂點(diǎn)。

真實(shí)世界

因?yàn)橐荒暧?2個(gè)月，正十二面體正好用來(lái)制作月歷。

Pariacoto virus的形狀結(jié)構(gòu)是正十二面體。

在英國(guó)到匈牙利，至到意大利東部等地，找到過(guò)百個(gè)形狀接近十二面體、以銅或石頭制造的空心物件。它們被稱為Dodecaeder，用途不明。

五魔方（Megaminx）就是正十二面體制作出來(lái)的魔方。

正十二面烷

化學(xué)：

硫化鐵結(jié)晶體有時(shí)會(huì)出現(xiàn)接近正十二面體的形狀。

最小的富勒烯C 20 結(jié)構(gòu)如正十二面體。

正十二面體烷C 20 H 20 是個(gè)人工合成的碳?xì)浠衔?/span>

參考文獻(xiàn)

^12 sided calendarii.uib.no

^Roman Dodecahedrageorgehart.com

^Dodecaedermuseums.ncl.ac.uk

^Dodecahedrane—The chemical transliteration of Plato"s universepubmedcentral.nih.gov

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