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性質(zhì)

面的圖形：等邊三角形 頂點數(shù)目：4 邊數(shù)目：6 面數(shù)目：4 二面角角度： arccos ? ? --> ( 1 3 ) = arctan ? ? --> ( 2 2 ) {\displaystyle \arccos \left({1 \over 3}\right)=\arctan(2{\sqrt {2}})\,} ≈ 70.5288° 面棱夾角： arccos ? ? --> ( 1 3 ) = arctan ? ? --> ( 2 ) {\displaystyle \arccos \left({1 \over {\sqrt {3}}}\right)=\arctan({\sqrt {2}})\,} ≈ 54.7356° 中心-頂點連線之間夾角： arccos ? ? --> ( ? ? --> 1 3 ) = 2 arctan ? ? --> ( 2 ) {\displaystyle \arccos \left({-1 \over 3}\right)=2\arctan({\sqrt {2}})立體角 ≈ 109.4712° 面所對立體角： arccos ? ? --> ( 23 27 ) {\displaystyle \arccos \left({23 \over 27}\right)} ≈ 0.55129sr對于棱長為a的正四面體： 底面積： A 0 = 3 4 a 2 {\displaystyle A_{0}={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}\,} 高： H = 6 3 a = 2 3 a {\displaystyle H={{\sqrt {6}} \over 3}a={\sqrt {2 \over 3}}\,a\,} 表面積： S = 4 A 0 = 3 a 2 {\displaystyle S=4A_{0}={\sqrt {3}}a^{2}} 體積： V = 1 12 2 a 3 {\displaystyle V={1 \over 12}{\sqrt {2}}a^{3}} 外接球半徑： 6 4 a {\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{4}}a} 內(nèi)切球半徑： 6 12 a {\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{12}}a} 中交球半徑： r M = r R = 2 a 4 {\displaystyle r_{M}={\sqrt {rR}}={{\sqrt {2}}a \over 4}\,} 旁切球半徑： r E = 6 a 6 {\displaystyle r_{E}={{\sqrt {6}}a \over 6}\,} 旁切球到頂點距離： d V E = 6 2 a = 3 2 a {\displaystyle d_{VE}={{\sqrt {6}} \over 2}a={\sqr多面體3 \over 2}}\,a\,} 對偶多面體：正四面體 注意到相對于底面，面的斜率（2√2）是棱的斜率（√2）的兩倍，這意味著由于從底面沿棱到頂點的水平距離是沿側(cè)面中線到頂點水平距離的2倍，而這是由于從底面重心到底面頂點的距離是到底面邊距離的2倍，這由中心分中線為2:1或是30°直角三角形的三邊關(guān)系即刻可得出。

坐標(biāo)系

如果我們以正四面體的中心作為原點建立三維直角坐標(biāo)系的話，棱長a=2的正四面體的頂點坐標(biāo)可以表示為：

另一種表示方法把正四面體看作是半立方體，它有立方體一半的頂點：（如果原正方體棱長為1的話，正四面體棱長為√2） (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) 另外，被交錯舍棄掉的那四個頂點構(gòu)成了與原來正四面體對偶的另一個正四面體： (-1,-1,-1), (-1,1,1), (1,-1,1), (1,1,-1) 它們一起構(gòu)成了星形八面體。

正交投影

正四面體有2個特殊角度的正交投影，即一下列表中的兩個。第一個投影對應(yīng)著正四面體的A 3 考克斯特平面 （ 英語 ： Coxeter plane ） 。

具有其它對稱形式的正四面體

正四面體是所有四面體中對稱性最高的，而然它也可被看作是更低對稱性四面體的特殊形式，例如正四面體是特殊的復(fù)正方鍥形體，這種四面體擁有4個全等的等腰三角形（對于正四面體，這些等腰三角形的底和腰相等了，成為了等邊三角形），可以被描述為正四棱柱的交錯（對于正四面體，這個正四棱柱是正方形），一種能夠密鋪空間的四面體就是復(fù)正方鍥形體。另外還有復(fù)斜方鍥形體和二面體鍥形體，它們分別是長方體和任意四角六面體的交錯。

此外，由于正四面體具有高度的對稱性，它還是其它一些四面體的特例，例如： 垂心四面體 （ 英語 ： Orthocentric tetrahedron ） ，因為其3組相對的邊互相垂直；等力四面體，因為其所有4條頂點到對面內(nèi)心連線（一種 塞瓦線 （ 英語 ： Cevian ） ）是共點的；等角四面體，因為其所有頂點到對面與內(nèi)切球切點的連線是共點的。

等距同構(gòu)下的對稱性

正四面體等距同構(gòu)對稱變換群

嚴(yán)格旋轉(zhuǎn)—頂點對面120°（3階）旋轉(zhuǎn)、邊對邊180°（2階）旋轉(zhuǎn)；及鏡面對稱（沿一條邊、穿過兩面即一邊）

正四面體子對稱群之間的關(guān)系

立方體的8個頂點可以交錯著被分成2組，每一組都能組成一個正四面體，這意味著正四面體擁有立方體一半的對稱性，即那些能將立方體內(nèi)部的正四面體變換到自身而不是對方的對稱性。而由于立方體的所有中心對稱都會將內(nèi)接正四面體變換到對方，因此正四面體是柏拉圖立體中唯一一個沒有中心對稱性的。 正四面體有24個不同的等距同構(gòu)的對稱變換，形成了對稱群 T d ，[3,3]，(*332)，與對稱群 S 4 同構(gòu)。它可以用如下方式分類：

T ，[3,3]+，(332)，與交錯群 A 4 （包括單位元和11個嚴(yán)格旋轉(zhuǎn)）同構(gòu)，再加上下述共軛類。（在括號內(nèi)給出的是頂點排列，或者說是相對應(yīng)的面和單位四元數(shù)表示。）

關(guān)于垂直于邊的平面的鏡面對稱：6個。

關(guān)于平面的鏡面對稱加上關(guān)于垂直于該平面的直線的90°旋轉(zhuǎn)的混合。三條軸，每條軸對應(yīng)2個旋轉(zhuǎn)，共6個。另外，還有90°旋轉(zhuǎn)加上中心對稱變換，旋轉(zhuǎn)軸對應(yīng)著立方體的面對面旋轉(zhuǎn)軸。

正四面體的非正四面體子對稱變換群

7種非正四面體（無標(biāo)記）的對稱性取決于它的幾何特征。任何一種非正對稱變換組都能組成一個三維點群，另外兩種對稱性（ C 3 , [3] ）和( S 4 , [2 ,4 ])要求面和棱標(biāo)記是被允許的。

幾何關(guān)聯(lián)

星形八面體

復(fù)鍥形體堆砌

正四面體是三維的單純形，這個家族在所有維度的成員都是凸的多面體。它們都具有類似的幾何性質(zhì)，比如它們n維元素都符合一個相同的規(guī)律（楊輝三角形），以及它們都是該維最簡單的多胞形（這也是單純形英文“simplex”—“簡單的復(fù)雜”的來源）。

正四面體是一種特殊的正三棱錐，正四面體是自身對偶的。

正四面體可以以兩種中心對稱的方式內(nèi)含于立方體，使得正四面體的頂點交錯著與立方體頂點重和，而正四面體的棱成為立方體6個面的對角線，對應(yīng)坐標(biāo)已在上部分給出。這意味著正四面體就是三維的半立方體。這兩個正四面體的任意一個都占據(jù)了立方體體積的 / 3 。這樣得到的兩個正四面體是以互相對偶的方式部分重合的其頂點占據(jù)了立方體所有的頂點，它們一起組成了正復(fù)合多面體星形八面體，也叫做二復(fù)合正四面體，這星形八面體應(yīng)此是立方體的第一個也是唯一一個 小面化 （ 英語 ： faceting ） （Faceting），而星形八面體兩正四面體的交集是正八面體，應(yīng)此它也是正八面體唯一的 星形化 （ 英語 ： stellation ） （Stellation）。

從這里我們還可以看出來，正八面體是正四面體從各邊中點處截下4個包括原頂點在內(nèi)的線性大小為原正四面體一半的正四面體得到的結(jié)果。（這種操作叫“截半”，得到的正八面體是作為“截半四面體”出現(xiàn)的，只具有正四面體的對稱性）

從立方體得到正四面體的操作叫“交錯”，這種操作將正方體分成5個四面體，其中一個是正的，另外4個是有一個正方體立體角（即從一個頂點發(fā)出的3條棱互相正交）的 直角四面體 （ 英語 ： trirectangular tetrahedron ） 。

事實上，我們至少需要5個四面體來堆積一個正方體。

利用內(nèi)接于五復(fù)合立方體中立方體的正四面體，我們還可以構(gòu)造出另外兩個基于正四面體的正復(fù)合多面體—五復(fù)合正四面體（每個立方體只利用一個）和十復(fù)合正四面體（每個立方體利用兩個）?？紤]到五復(fù)合立方體中立方體都是內(nèi)接與正十二面體的，這兩種復(fù)合多面體中的正四面體實際上是正十二面體內(nèi)接的正四面體。事實上，正十二面體的對偶——正二十面體可以被看作是半正的扭棱正四面體，擁有正四面體部分對稱性。 正四面體是不能獨立密鋪三維歐氏空間的，盡管它看上去可能以至于亞里士多德聲稱它的確是可能的。但是，我們可以將一個正四面體面對面粘到正八面體上得到一個能獨立密鋪空間的菱面體，或者我們可以直接利用正四面體和正八面體兩種多面體去完成一個半正堆砌，即 正四面體—正八面體堆砌 （ 英語 ： demcubic honeycomb ） 。但是，一些非正的四面體卻可以勝任，比如 復(fù)鍥形體堆砌 （ 英語 ： Disphenoid tetrahedral honeycomb ） ，完整的列表還有待研究。如果我們不要求參與堆砌的正四面體都是全等的話，可能性會更豐富一些。比如說。我們可以將正八面體沿一條對角線劈開分成4個全等的鍥形體，然后再拿兩個正的與它們堆砌。（事實上這樣做后鍥形體與正四面體體積相等）。 正四面體是柏拉圖立體中唯一一個不存在互相平行的面的。

相關(guān)多面體

正四面體是特殊的棱錐，所以它與其它棱錐相關(guān)聯(lián)：

正四面體屬于正四面體家族（該家族都具有相同的或更高的對稱性）。這些與正四面體相關(guān)的半正多面體都是通過3種不同的截形操作（截頂、截棱、截半）和交錯，及其組合構(gòu)造出來的，其中截半正四面體（正八面體）和全截正四面體（截頂正八面體）擁有更高的正八面體對稱性，而扭棱正四面體（正二十面體）擁有更高的正二十面體對稱性。正四面體的二次截半將其面截成了頂點，使其成為與原來對偶的正四面體。

正四面體在拓?fù)渖详P(guān)聯(lián)與一組一直延伸到雙曲鑲嵌的正三角形鑲嵌{3,n}。

正四面體在拓?fù)渖详P(guān)聯(lián)與一組一直延伸到雙曲鑲嵌的三階正鑲嵌{3,n}。

與正四面體有關(guān)的復(fù)合正多面體

二復(fù)合四面體

五復(fù)合四面體

十復(fù)合四面體

其中五復(fù)合四面體是個有手征性的復(fù)合多面體（在折紙藝術(shù)中，該復(fù)合多面體經(jīng)常出現(xiàn)）。五復(fù)合和十復(fù)合四面體都是內(nèi)接于正十二面體的。

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