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與正十二面體的關(guān)系

在平面上，正多邊形內(nèi)接到圓時，邊數(shù)越多，占圓面積的百分比就越高；而在三維空間中，這個規(guī)則卻不可推廣——當(dāng)正十二面體和正二十面體內(nèi)接到一個球時，前者約占66.4909%，后者僅占60.5461%。

體積與表面積

若有一個邊長為 a 的正二十面體，則它的外接球（同時過該正二十面體所有頂點(diǎn)的球）的半徑為：

則有內(nèi)切球（同時和該正二十面體所有面相切的球）的半徑為：

另外，若有一個球同時過該正二十面體所有邊的中點(diǎn)，那它的半徑為：

其中 φ （也稱作 τ ）為黃金比例。

體積與表面積

若用 A 表示表面積、 V 表示體積，而 a 是正二十面體的邊長，則有：

后者 F=20 約為正四面體的20倍，因為20面體以外接球球新為中心可以切割出20個四面體，其中的四面體的體積是底面積的三分之一倍， r i 是高的 √3a /4 倍。

的外接球體的體積填充率是：

直角坐標(biāo)系

正二十面體的頂點(diǎn)能共同分成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形。

在直角坐標(biāo)系中，一個邊長為二、重心在圓點(diǎn)的正二十面體的坐標(biāo)分別為：

其中 φ = 1 + √ 5 / 2 是黃金比例（或記為 τ ）。值得注意的是，這些頂點(diǎn)能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形，其邊形成 博羅梅安環(huán) （ 英語 ： Borromean rings ） ，其中，前者是因為正二十面體與黃金比例有密切的關(guān)系。 如果原始的二十面體的邊長為1，那么它的對偶——正十二面體的邊長就是 √ 5 ? 1 / 2 ，正好是一個黃金比例。

一個由塑膠棒和磁鐵與金屬球連接的正二十面體模型

12條邊的一個正八面體可以被細(xì)分在黃金比例，使所得到的頂點(diǎn)可構(gòu)成一個正二十面體。這首先要使沿著八面體邊的向量連成一個有界的環(huán)，再沿著向量的方向以黃金比例作分割。

球面坐標(biāo)

正二十面體是一個D 5d 二面體對稱對稱的一個雙五角錐反角柱，且頂點(diǎn)可以定義在球面坐標(biāo)系上，其中兩個頂點(diǎn)在球的兩極，其余在緯度±arctan(1/2)的位置。可以發(fā)現(xiàn)剩余的10頂點(diǎn)屬于反棱柱對稱，從一個定點(diǎn)，經(jīng)度每36°做一次極軸與赤道鏡射，直到回到原始點(diǎn)。

與黃金分割的關(guān)系

若以正二十面體的中心為原點(diǎn)，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 {(0,±1,±Φ), (±1,±Φ,0), (±Φ,0,±1) }，在此 Φ = √ 5 ? 1 / 2 ，即黃金分割數(shù)。因此，這些頂點(diǎn)能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形。

正交投影

正二十面體有3種特殊的正交投影，分別正對著一個面、一條棱、一個頂點(diǎn)。

其它事實

正二十面體有43,380種不同的展開圖。

若要將正二十面體的表面涂色而相鄰的面的顏色不同，則至少需要3種顏色。

內(nèi)接與同一球的正二十面體和正十二面體，正二十面體所占球的體積（60.54%）要小于正十二面體所占的體積（66.49%）。

通過一系列等夾角線段構(gòu)造正二十面體

以下構(gòu)建正二十面體的方法避免了使用更基礎(chǔ)的方法時必要的在數(shù)域 Q [ 5 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]} 中的復(fù)雜計算。 正二十面體的存在性依賴于 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 中6條等夾角線的存在性。事實上，我們很容易便可以發(fā)現(xiàn)，這樣一組等夾角線與歐幾里得空間中的球心在等夾角線所共的交點(diǎn)的球相交，得出的交點(diǎn)即是一個正二十面體的12個頂點(diǎn)。從相反方向考慮，假設(shè)這里存在一個正二十面體，它的6對相對頂點(diǎn)的連線（對角線）就形成了那樣一個等夾角線系統(tǒng)。 為了構(gòu)建這樣一個等夾角線系統(tǒng)，我們開始于一個6×6方形矩陣。

通過直接的計算，我們可以得出 A =5 I （在這里 I 是6×6單位矩陣）。這表明矩陣 I 的特征值是√5和-√5，并且它們的復(fù)雜性都是3，因為 A 是對稱的，并且它的跡是0。 矩陣 A + 5 I {\displaystyle \scriptstyle A+{\sqrt {5}}I} 在商空間 R 6 / ker ? ? --> ( A + 5 I ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)} 中引出同構(gòu)個同構(gòu)于 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 的歐幾里得結(jié)構(gòu)因為它的核 ker ? ? --> ( A + 5 I ) {\displaystyle \ker(A+{\sqrt {5}}I)} 是三維的。在 R 6 {\displaystyle \mathbb {R} ^{6}} 中，它的六條坐標(biāo)軸線 R v 1 , … … --> , R v 6 {\displaystyle \mathbb {R} v_{1},\dots ,\mathbb {R} v_{6}} 在投影 π π --> : R 6 ? ? --> R 6 / ker ? ? --> ( A + 5 I ) {\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)} 下的圖像形成了這樣一個在 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 中由六條等夾角線組成的系統(tǒng)，它們都相交于一點(diǎn)，兩兩之間都夾著銳角 arccos 1 5 {\displaystyle \scriptstyle {\arccos }{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}} ?！?v 1 ，...，± v 6 向 A 的√5-特征空間的正交投影形成了正二十面體的12個頂點(diǎn)。 正二十面體另一個直接的構(gòu)造用到了交錯群 A 5 的群表示論方法，它直接利用了正二十面體的等距同構(gòu)。

半正涂色和子對稱群

正二十面體作為扭棱四面體，可以通過旋轉(zhuǎn)正四面體的正三角形面，并在4個頂點(diǎn)處插入新的三角形，在原來的6條棱處插入新的一對三角形來構(gòu)造

作為正多面體之一，正二十面體擁有較高的對稱性，它的所有面在幾何上都是相同的，不可區(qū)分的?？墒俏覀円部梢韵胂髮⒄骟w的面“涂上”不同的“顏色”，使它其的不同面擁有不同的“幾何意義”，使其擁有不同的次級對稱性。正二十面體有三種不同的半正涂色方法，可以按照一個頂點(diǎn)引出的5個面的涂色來標(biāo)記為11213、11212、11111。正二十面體可以被描述為 扭棱 （ 英語 ： Snub (Geometry) ） 正四面體，具有手征性 正四面體對稱性 （ 英語 ： tetrahedral symmetry ） ；它亦可以被描述成交錯截頂正八面體，有 五角十二面體對稱性 （ 英語 ： pyritohedral symmetry ） 。這個具有五角十二面體對稱的正二十面體也被叫做偽二十面體是五角十二面體的對偶。

與其它幾何圖形的關(guān)系

正二十面體是正二十面體家族的一員：

作為扭棱正四面體和交錯截頂正八面體，正二十面體也是正四面體家族和正八面體家族的一員：

正二十面體在拓?fù)渖吓c其它一系列的正三角形鑲嵌{3,n}和一系列的五階正鑲嵌{n,5}相關(guān)聯(lián)：

正二十面體和三個星形正多面體有著相同的頂點(diǎn)排布。其中與大十二面體還有相同的棱排布：

雖然由于正二十面體的二面角太大（約138.189685°>120°），因此正二十面體不可能密鋪三維歐幾里得空間，但它可以密鋪適當(dāng)?shù)碾p曲空間，稱為 三階正二十面體堆砌 （ 英語 ： Icosahedral honeycomb ） ，每條棱處有三個正二十面體相交，每個頂點(diǎn)處有12個正二十面體相交，應(yīng)此頂點(diǎn)圖是正十二面體，施萊夫利符號{3,5,3}，是四個三維雙曲空間中的正堆砌之一。

應(yīng)用

二十面的骰子

電子顯微鏡下觀察的金原子

γ-硼的結(jié)構(gòu)

由于正二十面體非常均勻，且有20個面，因此適合作成骰子。

在生物學(xué)中

某些病毒，如皰疹病毒科、諾羅病毒，擁有正二十面體的衣殼。 在有些細(xì)菌中還發(fā)現(xiàn)一些具有二十面體形狀的各種細(xì)菌的胞器， 還有二十面體的殼包住的酶使不穩(wěn)定的活化復(fù)合體得以建構(gòu)BMC等不同類型的蛋白質(zhì)。

1904年，恩斯特·海克爾發(fā)表了一些放射蟲的種類，包括Circogonia二十面體（ Circogonia icosahedra ），其骨架的形狀像一個正二十面體。

參考文獻(xiàn)

Klein, Felix,Lectures on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree, 1888, Dover edition ISBN 978-0-486-49528-6.

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