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幾何性質(zhì)

正五胞體作為一個單純形，是自身對偶的。當它穿過三維空間時其截體積最大時，其截體是一個半正的正三棱柱。它的二胞角度數(shù)是cos (1/4)，約等于75.52°。對于一個邊長為a的正五胞體，其超體積是 5 a 4 96 {\displaystyle {\cfrac {{\sqrt {5}}a^{4}}{96}}} ,表體積是 5 2 a 3 12 {\displaystyle {\cfrac {5{\sqrt {2}}a^{3}}{12}}} 。

若一個正五胞體的棱長為1，則其外接超球的半徑為 10 5 ≈ ≈ --> 0.632455532 {\displaystyle {\frac {\sqrt {10}}{5}}\approx 0.632455532} ,外中交超球(經(jīng)過正五胞體各棱中點的三維超球)半徑為 15 10 ≈ ≈ --> 0.3872983346 {\displaystyle {\frac {\sqrt {15}}{10}}\approx 0.3872983346} ，內(nèi)中交超球(經(jīng)過正五胞體各面中心的三維超球)半徑為 15 15 ≈ ≈ --> 0.2581988897 {\displaystyle {\frac {\sqrt {15}}{15}}\approx 0.2581988897} ，內(nèi)切超球半徑為 10 20 ≈ ≈ --> 0.158113883 {\displaystyle {\frac {\sqrt {10}}{20}}\approx 0.158113883} 。

頂點坐標

對于一個邊長為2，中心在四維直角坐標系原點上的正五胞體，它的5個頂點坐標分別是

如果把正五胞體作為一個五維直角坐標系中的四維平面，則它的頂點坐標會簡單得多，為(0,0,0,0,1)或(0,1,1,1,1)的全排列（其中正五胞體棱長為 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ），分別對應(yīng)五維正軸形（正三十二超胞體）或五維半正方體。

對稱群結(jié)構(gòu)

正五胞體屬于四維單純形，它有著A 4 對稱結(jié)構(gòu)，對應(yīng)施萊夫利符號{3,3,3}，考斯特符號 ，該群的群階為120。

可視化

相關(guān)多胞體和堆砌

正五胞體是由考克斯特群[3,3,3]構(gòu)造出來的9個半正多胞體中最簡單的一個。

參考

Regular Convex Four-Dimensional Polytopesby David Fontaine,提供了部分關(guān)于正五胞體的幾何數(shù)據(jù)。

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