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定義

N點(diǎn)的離散傅里葉變換可以用一個n× × -->m{\displaystyle n\times m}的矩陣乘法來表示，即X=Wx{\displaystyle X=Wx}，其中x{\displaystyle x}是原始的輸入信號，X{\displaystyle X}是經(jīng)過離散傅里葉變換得到的輸出信號。 一個n× × -->n{\displaystyle n\times n}的變換矩陣W{\displaystyle W}可以定義成W=(ω ω -->ij)i,j=0,… … -->,N? ? -->1/N{\displaystyle W=(\omega ^{ij})_{i,j=0,\ldots ,N-1}/{\sqrt {N}}}，或等效如下：

其中ω ω -->{\displaystyle \omega }是1{\displaystyle 1}的n{\displaystyle n}次方根的主值（primitive nth root of unity）,大小為e? ? -->2π π -->iN{\displaystyle e^{\frac {-2\pi i}{N}}}。需要注意的是在總和前面的正規(guī)化因數(shù)1N{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}，還有ω ω -->{\displaystyle \omega }中指數(shù)的正負(fù)號是依據(jù)慣例，并且會因?yàn)樘幚淼姆椒ㄓ兴煌?。以下所有的討論考慮到大多數(shù)的細(xì)節(jié)變動且不論是否為一般慣例均適用之。唯一重要的是，正變換和逆變換有相反的指數(shù)正負(fù)號標(biāo)志，而其正規(guī)化因數(shù)乘積為1N{\displaystyle {\frac {1}{N}}}。然而，這里為了使得最后的離散傅里葉變換矩陣結(jié)果正規(guī)化所選擇的因數(shù) ，在許多情況下都是通用的。

快速傅里葉變換算法利用矩陣的對稱性與W的周期性，以減少乘法所需要的時間（把計(jì)算復(fù)雜度從O(N2){\displaystyle O(N^{2})}降為O(Nlog? ? -->N){\displaystyle O(N\log N)}）。類似的方法也可適用于其他矩陣乘法如阿達(dá)馬矩陣和Walsh matrix（英語：Walsh matrix）。

特殊情況

3點(diǎn)的離散傅里葉變換具有特殊的意義。例如：Charles Legeyt Fortescue于1918 所發(fā)表的對稱分量變換（Symmetrical Components Transform, SCT），它定義了三相平衡（three phase balance），即3點(diǎn)離散傅里葉變換可分解成一個直流成分，以及兩個交流成分（一個是順時針相位，另一個為逆時針相位）。

例子

兩點(diǎn)離散傅里葉變換矩陣

兩點(diǎn)的離散傅里葉變換是一個很簡單的例子，其第一列代表是直流成分（總和）和第二列是交流成分（差異）。

第一列處理總和的部分，第二列處理相差的部分。 因數(shù)1/2{\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}致使整個矩陣規(guī)一化（見下文）。

四點(diǎn)離散傅里葉變換矩陣

四點(diǎn)的離散傅里葉變換矩陣如下：

八點(diǎn)離散傅里葉變換矩陣

八點(diǎn)的離散傅里葉變換矩陣如下：

其中

以下用圖片來解說離散傅里葉變換的矩陣乘法概念：

圖中實(shí)部（余弦波）是由實(shí)線代表，虛部（正弦波）由虛線代表。 最上面一行全為1，（透過乘上1/8{\displaystyle 1/{\sqrt {8}}}來規(guī)一化），因此這個部分代表輸入信號的直流分量。下一行是8個負(fù)一次循環(huán)的復(fù)指數(shù)取樣（samples of negative one cycle of complex exponential），即分頻（fractional frequency）為?1/8倍頻率的信號。因此，這一行代表在分頻+1/8的信號強(qiáng)度。再下一行是8個負(fù)二次循環(huán)的復(fù)指數(shù)取樣，所以它代表-1/4倍的分頻。因此，這一行代表在分頻+1/4的信號強(qiáng)度。 以下總結(jié)了八點(diǎn)離散傅里葉變換代表的意義，依行排序，以分頻表示：

0代表直流信號成分

-1/8代表分頻為+1/8 的信號強(qiáng)度

-1/4代表分頻為+1/4 的信號強(qiáng)度

-3/8代表分頻為+3/8 的信號強(qiáng)度

-1/2代表分頻為+1/2 的信號強(qiáng)度

-5/8代表分頻為+5/8 的信號強(qiáng)度

-3/4代表分頻為+3/4 的信號強(qiáng)度

-7/8代表分頻為+7/8 的信號強(qiáng)度

等效上最后一行，可以當(dāng)作是分頻為+1/8即代表分頻-1/8的信號強(qiáng)度。如此一來，則可以說這個矩陣的上面列是信號的正頻率部分的強(qiáng)度而下面列是信號負(fù)頻率部分的強(qiáng)度。

規(guī)一化變換（unitary transform）

離散傅里葉變換（或可能是透過適當(dāng)?shù)某叨冗x擇）是一個規(guī)一化的變換，即符合能量保留（preserves energy）?？梢赃_(dá)到規(guī)一化的合適尺度是1/N{\displaystyle 1/{\sqrt {N}}}，這使得能量物理意義上跟在傅里葉定義上是一樣的，即滿足Parseval定理（Parseval"s theorem）。（其他未規(guī)一化的尺度，也普遍被使用以方便計(jì)算；例如，折積定理（convolution theorem）需較簡單的形式與尺度選擇，詳述于離散傅里葉變換條目中） 。

其他性質(zhì)

其他離散傅里葉變換矩陣的性質(zhì)，包括其特征值（特征向量），與折積的關(guān)系，應(yīng)用等，請參見離散傅里葉變換條目。

限制：傅里葉運(yùn)算（Fourier operator）

如果我們作出一個非常大的矩陣，其中列元素為復(fù)指數(shù)（即，余弦實(shí)部和正弦虛部），并增加分辨率而不考慮邊界，我們可近似第二型Fredholm積分方程（由傅里葉運(yùn)算定義連續(xù)傅里葉變換）的”核”（kernal）。此連續(xù)傅里葉變換的一部分類似于離散傅里葉變換矩陣，如圖所示。其中灰階像素值的數(shù)值是指數(shù)量。

參考

The Transform and Data Compression Handbook by P. C. Yip, K. Ramamohan Rao- See chapter 2 for a treatment of the DFT based largely on the DFT matrix

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