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性質(zhì)

因?yàn)橥負(fù)淙菏驱R次的，你只需要查看一個(gè)單一的點(diǎn)就能確定這個(gè)群是否為離散的。特別是，拓?fù)淙菏请x散的，當(dāng)且僅當(dāng)包含單位元的單元素集合是開(kāi)集。

離散群是和零維李群同樣的東西(不可數(shù)離散群不是第二可數(shù)的，所以要求李群滿足這個(gè)公理的作者不把這些群認(rèn)做李群)。離散群的單位元單元就是平凡子群而單元的群同構(gòu)于這個(gè)群自身。

因?yàn)橹挥性谟邢藜仙系暮浪苟喾蛲負(fù)涫请x散拓?fù)?，有限豪斯多夫拓?fù)淙罕厝皇请x散群。可得出所有的豪斯多夫群的有限子群是離散群。

G 的離散子群 H 是馀緊致(cocompact)的，如果有 G 的緊子集K 使得 HK = G。

離散正規(guī)子群在覆蓋群和局部同構(gòu)群的理論中扮演重要角色。連通群 G 的離散正規(guī)子群必然位于 G 的中心并因此是阿貝爾群。

其他性質(zhì):

所有離散群的子群都是離散群。

所有離散群的商群都是離散群。

有限個(gè)離散群的乘積是離散群。

離散群是緊群當(dāng)且僅當(dāng)它是有限的。

所有離散群都是局部緊群。

所有豪斯多夫群的離散子群都是閉合的。

所有緊致豪斯多夫群的離散子群都是有限的。

例子

卷結(jié)群和壁紙群是歐幾里德平面的等距同構(gòu)群的離散子群。壁紙群是馀緊致的，但卷結(jié)群不是。

空間群是某維度的歐幾里德空間的等距同構(gòu)群的離散子群。

結(jié)晶群通常意味著馀緊致的、某個(gè)歐幾里德空間的等距同構(gòu)的離散子群。但是有時(shí)結(jié)晶群可以是冪零或可解李群的馀緊致離散子群。

所有三角群 T 是球面(在 T 是有限的時(shí)候)、歐幾里德平面(在 T 有有限指標(biāo)的 Z + Z 子群的時(shí)候)或雙曲面的等距同構(gòu)群的離散子群。

富克斯群通過(guò)定義是雙曲面的等距同構(gòu)群的離散子群。

克萊因群通過(guò)定義是雙曲3-空間的等距同構(gòu)群的離散子群。這包括準(zhǔn)-富克斯群。

在李群中的格是使得商群的哈爾測(cè)度為有限的離散子群。

參見(jiàn)

幾何群論

計(jì)算群論

自由正則集合

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