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定義

一組離散的實數(shù)或復數(shù)： x [ n ]（ n 為所有整數(shù)）的離散時間傅里葉變換是產(chǎn)生以頻率為變量的周期函數(shù)的一個傅里葉級數(shù)。當頻率變量 ω 的單位是歸一化的 弧度/樣本 時，周期為 2π，而傅里葉級數(shù)為：

此頻率域函數(shù)的性質(zhì)源于 泊松求和公式 （ 英語 ： Poisson summation formula ） 。令 X(f) 為任意函數(shù) x(t) 的傅里葉變換，采樣間隔為 T（ 秒 ），等價于序列 x[n]（或與之成正比），即 T ? ? --> x ( n T ) = x [ n ] {\displaystyle T\cdot x(nT)=x[n]} 。則以傅里葉級數(shù)表示的周期函數(shù)是 X(f) 的周期求和。赫茲以赫茲（ 周期/秒 ）為單位的頻率 f {\displaystyle \textstyle f} 的話就會是：

圖一. 傅立葉變換（左上）和左下的其周期求和（DTFT）的圖示。右下角顯示了用離散傅里葉變換（DFT）計算DTFT的采樣。

整數(shù) k 的單位為 轉(zhuǎn)/樣本 ，采樣頻率是 1/ T ， f s （ 樣本/秒 ）。因而 X 1/ T ( f ) 含有移位 f s 倍數(shù)赫茲了的 X ( f ) 的精確副本，并加和在一起。對于足夠大的 f s ，可以在區(qū)間 [? f s /2, f s /2] 有很少或沒有失真（混疊）地觀察到 k = 0 項。在圖1中，該左上角分布的末端在左下圖中被周期求和的混疊遮蓋住了。

我們還注意到 e ? ? --> i 2 π π --> f T n {\displaystyle e^{-i2\pi fTn}} 是 δ δ --> ( t ? ? --> n T ) {\displaystyle \textstyle \delta (t-nT)} 的傅里葉變換。因此，DTFT的另一個定義為：

調(diào)制的 狄拉克梳狀函數(shù) （ 英語 ： Dirac comb ） 是一個數(shù)學抽象，有時被稱為 脈沖采樣 。

頻譜的周期性與混疊

頻譜周期性

F D T F T ( e i ω ω --> T ) {\displaystyle F_{DTFT}(e^{i\omega T})} 具有周期性：

顯然有: F D T F T ( e i ω ω --> T ) = F D T F T ( e i ( ω ω --> + 2 π π --> / T ) T ) {\displaystyle F_{DTFT}(e^{i\omega T})\,\!=F_{DTFT}(e^{i(\omega +2\pi /T)T})}

頻譜混疊

根據(jù)DTFT的定義，有

即， f(nT) 的DTFT是 f(t) 的傅里葉變換以Ω為周期的延拓，這也從另一個角度證明了DTFT的周期性。很顯然，如果 f(t) 的頻譜帶不限于Nyquist間隔（[-Ω/2, Ω/2]）， f(nT) 的DTFT必然發(fā)生混疊（aliasing）,如右圖所示?；殳B使得信號的低頻部分被高頻部分“污染”，造成信號的失真。為避免這種情況，通常在進行進一步的數(shù)字信號處理之前要對采樣序列進行抗混疊濾波（anti-aliasing filtering），這一處理通常是由低通濾波器除去高頻分量實現(xiàn)的。

DTFT與DFT

DFT（離散傅里葉變換）是對離散周期信號的一種傅里葉變換，對于有限長信號，則相當于對其周期延拓進行變換。在頻域上，DFT的離散譜是對DTFT連續(xù)譜的等間隔采樣。

DTFT與DFT頻率分辨率

圖2 DTFT與DFT。上圖為10點DFT，下圖為補零到12點的DFT。

N 點序列 f(n) （n=0, ... ,N-1）的DFT離散譜對應于對 f(nT) 連續(xù)譜（即DTFT）的N點采樣，因此DFT的頻率分辨率 Δ Δ --> ω ω --> = 2 π π --> / N {\displaystyle \Delta \omega =2\pi /N} 。為了提高頻率分辨率，可以考慮增加在DTFT頻域上的采樣點數(shù)，對偶在時域就是增加對時域信號 f(n) 的采樣數(shù)。對于有限長信號 f(n) ，在時刻 0 至 N-1 以外的值實際上是已知的——都為 0 。因此，只要在序列 f(n) 前后 補零 就增加了在時域的采樣，假設在f(n)前后補上 M-N （其中 M>N ）個零，則補零之后序列的DFT的頻率分辨率就相應提高到 Δ Δ --> ω ω --> = 2 π π --> / M {\displaystyle \Delta \omega =2\pi /M} 。相關證明如下：

File:DFT 20 points.jpg 圖3 20點采樣的DFT能夠分辨 f 1 與 f 2

通過上式可以清楚的看到， f(n) 補零之后的DFT增加了在 f(nT) 連續(xù)頻域譜上的采樣。采樣點數(shù)從N增加到M，從而提高了DFT頻譜的分辨率。另一方面，補零之后在頻域采樣的位置發(fā)生了變化，因此可以觀察到其他的頻點。

如圖2所示，對信號 f ( t ) = 0.5 cos ? ? --> ( 2 π π --> f 1 t ) + cos ? ? --> ( 2 π π --> f 2 t ) {\displaystyle f(t)=0.5\cos(2\pi f_{1}t)+\cos(2\pi f_{2}t)} （其中 f 1 = 300 H z {\displaystyle f_{1}=300Hz} ， f 2 = 250 H z {\displaystyle f_{2}=250Hz} ）按照 f s = 1000 H z {\displaystyle f_{s}=1000Hz} 采樣。 f 1 {\displaystyle f_{1}} 與 f 2 {\displaystyle f_{2}} 對應的數(shù)字角頻率分別為 ω ω --> 1 = 0.6 π π --> {\displaystyle \omega _{1}=0.6\pi } ， ω ω --> 2 = 0.5 π π --> {\displaystyle \omega _{2}=0.5\pi } 。上圖為取10個采樣點作DFT，可在0.6π處看到對應的頻率分量，然而由于采樣點少，看不到0.5π處的分量。下圖為補2個零之后的DFT離散譜，可以見到離散譜的分辨率提高到了π/6，而且能夠觀察到10點DFT無法看到的0.5π頻率分量。另外，虛線為DTFT連續(xù)譜，可見，DFT確實是在頻域?qū)TFT的采樣。

但是我們可以看到，即使是10點DTFT的連續(xù)譜也不能分辨 f 1 {\displaystyle f_{1}} 與 f 2 {\displaystyle f_{2}} （只有一個峰）。這是因為10點DTFT的分辨率為 f s /10 = 100Hz ，大于 f 1 - f 2 = 50 Hz 。所以，只有采樣的點數(shù)超過20（即分辨率小于50Hz），才能分辨出 f 1 {\displaystyle f_{1}} 與 f 2 {\displaystyle f_{2}} 這兩個頻率分量（如圖3所示）。而前面提到的對有限長信號補零作DFT以提高頻譜分辨率的說法，也只是針對在DTFT連續(xù)譜上采樣而言，只有增加采樣點數(shù)和提高采樣頻率才能真正提高離散譜的分辨率。

以DFT近似DTFT

前面提到，在時間序列前后補零之后作DFT可以增加在DTFT上的采樣點數(shù)。可以想見，如果補上無窮多個零，則可以得到無窮多個DTFT連續(xù)譜上的采樣點，從而以DFT逼近DTFT。即，使得離散譜的分辨率足夠小，即為連續(xù)譜。

這種想法顯然是錯誤的，首先應該注意到，DFT的周期型，雖然進行DFT的序列x(k)是有限長序列，但是DFT隱含對x(k)的周期延拓，x(k)是信號序列，周期延拓后還是原來的信號，如果對x(k)進行補零后，1.補零后序列長度不是原信號序列長度的整數(shù)倍，那么補零后的序列就不再是原信號的序列，已經(jīng)破壞了原信號的信息。2.補零后序列長度是原信號序列的整數(shù)倍，原信號信息沒有被破壞，仍能通過DFT后獲得原信號信息，但是補零后序列的DFT雖然頻率步長小了，可以觀察的頻譜信息更豐富了，但是這些額外的頻譜并不是原信號的頻譜，而是窗函數(shù)的頻譜信息，也就是包絡線是窗函數(shù)的形狀。所以補零并沒有給出關于原信號頻譜的更多信息。補零并不能使補零后的DFT結果的包絡線和原信號頻譜的包絡線一致。

DTFT與Z變換

離散時間傅里葉變換可以被看作Z變換的特例。Z變換被定義為：

如果在z平面的單位圓（ z = e i ω ω --> {\displaystyle z=e^{i\omega }} ）上對信號 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 做Z變換：

此即為 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 的離散時間傅里葉變換。因此通常用 F ( e i ω ω --> ) {\displaystyle F(e^{i\omega })} ，而不是 F ( ω ω --> ) {\displaystyle F(\omega )} 表示DTFT。

參看

離散傅里葉變換

Z變換

傅里葉級數(shù)

采樣定理

參考文獻

Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer : Discrete-Time Signal Processing , Prentice Hall Signal Processing Series, ISBN 978-0-13-754920-7

Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing , pp. 27-29, pp. 104-105, John Wiley and Sons, ISBN 978-0-471-14961-3

Sophocles J. Orfanidis : Introduction to Signal Processing , Prentice Hall International, Inc., ISBN 7-32-03059-6

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