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黎曼幾何古典理論

下面給出部分的黎曼幾何古典理論。

一般理論

高斯-博內(nèi)定理 ：緊致二維黎曼流形上高斯曲率的積分等于 2 π π --> χ χ --> ( M ) {\displaystyle 2\pi \chi (M)} 這里的 χ χ --> ( M ) {\displaystyle \chi (M)} 記作 M 的歐拉示性數(shù)。

納什嵌入定理 （兩個）被稱為黎曼幾何的基礎(chǔ)理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間 R .

理論

所有給出的定理中，都將用用空間的局部行為（通常用曲率假設(shè)表述）來推出空間的整體結(jié)構(gòu)的一些信息，包括流形的拓撲類型和"足夠大"距離的點間的關(guān)系。

受限截面曲率

1/4-受限 球定理. 若 M 是完備 n -維黎曼流形，其截面曲率嚴格限制于1和4之間，則 M 同胚于 n -球。

Cheeger"s有限定理. 給定常數(shù) C 和 D ，只有有限個（微分同胚的流形算作一個）緊 n -維黎曼流形，其截面曲率 | K | ≤ ≤ --> C {\displaystyle |K|\leq C} 并且直徑 ≤ ≤ --> D {\displaystyle \leq D} 。

Gromov的幾乎平坦流形. 存在一個 ? ? --> n > 0 {\displaystyle \epsilon _{n}>0} 使得如果一個 n -維黎曼流形其度量的截面曲率 | K | ≤ ≤ --> ? ? --> n {\displaystyle |K|\leq \epsilon _{n}} 且直徑 ≤ ≤ --> 1 {\displaystyle \leq 1} ，則其有限覆蓋微分同胚于一個零流形.

正曲率

正截面曲率

靈魂定理 若 M 是一個不緊的完備正曲率 n -維黎曼流形，則它微分同胚于 R .

Gromov的貝蒂數(shù)定理 有一個常數(shù) C=C(n) 使得若 M 是一個由正截面曲率的緊連通 n -維黎曼流形，則它的貝蒂數(shù)之和不超過 C .

正里奇曲率

Myers定理. 若一個緊黎曼流形有正Ricci曲率則它的基本群有限。

分裂定理. 若一個完備的 n -維黎曼流形有非負Ricci曲率和一條直線（在任何區(qū)間上的距離都極小的測地線）則它等度同胚于一條實直線和一個有非負Ricci曲率的完備( n -1)-維黎曼流形的直積。

Bishop"s不等式. 半徑為 r 的球在一個有正Ricci曲率的完備 n -維黎曼流形中的體積不超過歐幾里得空間中同樣半徑的球的體積。

Gromov"s緊致性定理. 所有正Ricci曲率且直徑不超過 D 的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿緊的。

數(shù)量曲率

n -維環(huán)不存在有正數(shù)量曲率的度量。

若一個緊 n -維黎曼流形的單射半徑 ≥ ≥ --> π π --> {\displaystyle \geq \pi } ，則數(shù)量曲率的平均值不超過 n （ n -1）。

負曲率

負截面曲率

任何有非正截面曲率的單連通黎曼流形的兩點有唯一的測地線連接。

若 M 是一個有負截面曲率的完備黎曼流形，則基本群的任何可交換子群同構(gòu)于整數(shù)群 Z 。

設(shè)V 是一 R {\displaystyle \mathbb {R} } -rank ≥ ≥ --> {\displaystyle \geq } 2的緊致不可對稱部對稱空間，設(shè)V是一截面曲率 K ≤ ≤ --> 0 {\displaystyle K\leq 0} 的緊致 C ∞ ∞ --> {\displaystyle C^{\infty }} 黎曼流形，若 v o l ( V ) = v o l ( V ? ? --> ) {\displaystyle vol(V)=vol(V^{*})} ，且 π π --> 1 ( V ) = π π --> 1 ( V ? ? --> ) {\displaystyle \pi _{1}(V)=\pi _{1}(V^{*})} ，則 V {\displaystyle V} 與 V ? ? --> {\displaystyle V^{*}} 等距。

負里奇曲率

任何有負里奇曲率的緊黎曼流形有一個離散的等距同胚群。

任何光滑流形可以加入有負里奇曲率的黎曼度量。

參考文獻

Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century , (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)

Peter Peterson, Riemannian Geometry , (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)

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