亚洲国产区中文,国产精品91高清,亚洲精品中文字幕久久久久,亚洲欧美另类久久久精品能播放

歷史

1935年，在普林斯頓高等研究院，愛因斯坦、博士后羅森、研究員波多爾斯基合作完成論文《物理實在的量子力學描述能否被認為是完備的？》，并且將這篇論文發(fā)表于5月份的《物理評論》 。這是最早探討量子力學理論對于強關聯(lián)系統(tǒng)所做的反直覺預測的一篇論文。在這篇論文里，他們詳細表述EPR佯謬，試圖借著一個思想實驗來論述量子力學的不完備性質 。他們并沒有更進一步研究量子糾纏的特性。

薛定諤閱讀完畢EPR論文之后，有很多心得感想，他用德文寫了一封信給愛因斯坦，在這封信里，他最先使用了術語 Verschr?nkung （他自己將之翻譯為“糾纏”），這是為了要形容在EPR思想實驗里，兩個暫時耦合的粒子，不再耦合之后彼此之間仍舊維持的關聯(lián) 。不久之后，薛定諤發(fā)表了一篇重要論文，對于“量子糾纏”這術語給予定義，并且研究探索相關概念。薛定諤體會到這概念的重要性，他表明，量子糾纏不只是量子力學的某個很有意思的性質，而是量子力學的特征性質；量子糾纏在量子力學與經典思路之間做了一個完全切割 。如同愛因斯坦一樣，薛定諤對于量子糾纏的概念并不滿意，因為量子糾纏似乎違反在相對論中對于信息傳遞所設定的速度極限 。后來，愛因斯坦更譏諷量子糾纏為鬼魅般的超距作用 。

EPR論文很顯然地引起了眾多物理學者的興趣，啟發(fā)他們探討量子力學的基礎理論。但是除了這方面以外，物理學者認為這論題與現(xiàn)代量子力學并沒有什么牽扯，在之后很長一段時間，物理學術界并沒有特別重視這論題，也沒有發(fā)現(xiàn)EPR論文可能有什么重大瑕疵 。EPR論文試圖建立定域性隱變量理論來替代量子力學理論。1964年，約翰·貝爾提出論文表明，對于EPR思想實驗，量子力學的預測明顯地不同于定域性隱變量理論。概略而言，假若測量兩個粒子分別沿著不同軸向的自旋，則量子力學得到的統(tǒng)計關聯(lián)性結果比定域性隱變量理論要強很多，貝爾不等式定性地給出這差別，做實驗應該可以偵測出這差別 。因此，物理學者做了很多檢試貝爾不等式的實驗。

1972年，約翰·克勞澤與史達特·弗利曼（Stuart Freedman）首先完成這種檢試實驗 。1982年，阿蘭·阿斯佩的博士論文是以這種檢試實驗為題目 。他們得到的實驗結果符合量子力學的預測，不符合定域性隱變量理論的預測，因此證實定域性隱變量理論不成立。但是，至今為止，每一個相關實驗都存在有漏洞，這造成了實驗的正確性遭到質疑，在作總結之前，還需要完成更多精確的實驗 。

這些年來，眾多的卓越研究結果促成了應用這些超強關聯(lián)來傳遞信息的可能性，從而導致了量子密碼學的成功發(fā)展，最著名的有查理斯·貝內特（Charles Bennett）與吉勒·布拉薩（Gilles Brassard）發(fā)明的BB84協(xié)議、阿圖爾·艾克特（Artur Eckert）發(fā)明的E91協(xié)議。

基本概念

  EPR佯謬的思想實驗： 假設一個零自旋中性π介子衰變成一個電子與一個正電子，這兩個衰變產物各自朝著相反方向移動至區(qū)域A、B。由于量子糾纏，假若位于區(qū)域A的愛麗絲與位于區(qū)域B的鮑勃分別測量粒子沿著同樣軸向的自旋，則愛麗絲會測得上旋若且為若鮑勃會測得下旋，愛麗絲會測得下旋若且為若鮑勃會測得上旋。

假設一個零自旋中性π介子衰變成一個電子與一個正電子 。這兩個衰變產物各自朝著相反方向移動。電子移動到區(qū)域A，在那里的觀察者“愛麗絲”會觀測電子沿著某特定軸向的自旋；正電子移動到區(qū)域B，在那里的觀察者“鮑勃”也會觀測正電子沿著同樣軸向的自旋。在測量之前，這兩個糾纏粒子共同形成了零自旋的“糾纏態(tài)” | ψ ψ --> ? {\displaystyle \left|\psi \right\rangle } ，是兩個直積態(tài)（product state）的疊狄拉克狄拉克標記表示為

其中， | ↑ ↑ --> ? {\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle } 、 | ↓ ↓ --> ? {\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle } 分別表示粒子的自旋為上旋或下旋。

在圓括弧內的第一項 | ↑ ↑ --> ? ? ? --> | ↓ ↓ --> ? {\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle \otimes \left|\downarrow \right\rangle } 表明，電子的自旋為上旋當且僅當正電子的自旋為下旋；第二項 | ↓ ↓ --> ? ? ? --> | ↑ ↑ --> ? {\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle \otimes \left|\uparrow \right\rangle } 表明，電子的自旋為下旋當且僅當正電子的自旋為上旋。兩種狀況疊加在一起，每一種狀況都有可能發(fā)生，不能確定到底哪種狀況會發(fā)生，因此，電子與正電子糾纏在一起，形成糾纏態(tài)。假若不做測量，則無法知道這兩個粒子中任何一個粒子的自旋，根據哥本哈根詮釋，這性質并不存在。這單態(tài)的兩個粒子相互反關聯(lián)，對于兩個粒子的自旋分別做測量，假若電子的自旋為上旋，則正電子的自旋為下旋，反之亦然；假若電子的自旋下旋，則正電子自旋為上旋，反之亦然。量子力學不能預測到底是哪一組數值，但是量子力學可以預言，獲得任何一組數值的概率為50% 。

愛麗絲測量電子的自旋，她可能會得到兩種結果：上旋或下旋，假若她得到上旋，則根據哥本哈根詮釋，糾纏態(tài)坍縮為第一個項目所代表的量子態(tài) | ↑ ↑ --> ? ? ? --> | ↓ ↓ --> ? {\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle \otimes \left|\downarrow \right\rangle } ，隨后，鮑勃測量正電子的自旋，他會得到下旋的概率為100%；類似地，假若愛麗絲測量的結果為下旋，則糾纏態(tài)坍縮為第二個項目所代表的量子態(tài) | ↓ ↓ --> ? ? ? --> | ↑ ↑ --> ? {\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle \otimes \left|\uparrow \right\rangle } ，隨后鮑勃會測量得到上旋。

設想一個類比的經典統(tǒng)計學實驗，將一枚硬幣沿著圓周切成兩半，每一半幣不是頭幣就是尾幣，將這兩枚半幣分別置入兩個信封，然后隨機交給愛麗絲與鮑勃。假若愛麗絲打開信封，查看她得到的是哪種硬幣，她將無法預測這結果，因為得到頭幣或尾幣的概率各為50%。鮑勃也會遇到同樣的狀況?？梢源_定的是，假若愛麗絲得到頭幣，則鮑勃會得到尾幣；假若愛麗絲得到尾幣，則鮑勃會得到頭幣。這兩個事件完全地反關聯(lián) 。

在先前的量子糾纏實驗里，愛麗絲與鮑勃分別測量粒子沿著同樣軸向的自旋，雖然這涉及到量子關聯(lián)，他們仍舊會得到與經典關聯(lián)實驗同樣的結果。怎樣區(qū)分量子關聯(lián)與經典關聯(lián)？假若愛麗絲與鮑勃分別測量粒子沿著不同軸向的自旋，而不是沿著同樣軸向，然后檢驗實驗數據是否遵守貝爾不等式，則他們會發(fā)覺，量子糾纏系統(tǒng)必定違反貝爾不等式，而經典物理系統(tǒng)必定遵守貝爾不等式。因此，貝爾不等式乃是一種很靈敏的偵測量子糾纏的工具。量子糾纏實驗所涉及的量子關聯(lián)現(xiàn)象無法用經典統(tǒng)計物理學概念來解釋，在經典統(tǒng)計物理學里，找不到類似案例 。

粒子沿著不同軸向的自旋彼此之間是不相容可觀察量，對于這些不相容可觀察量作測量必定不能同時得到明確結果，這是量子力學的一個基礎理論。在經典力學里，這基礎理論毫無意義，理論而言，任何粒子性質都可以被測量至任意準確度。貝爾定理意味著一個事實，一個已被實驗檢試的事實，即對兩個不相容可觀察量做測量得到的結果不遵守貝爾不等式 。因此，基礎而言，量子糾纏是個非經典現(xiàn)象。

不確定性原理的維持必須倚賴量子糾纏機制。例如，設想先前的一個零自旋中性π介子衰變案例，兩個衰變產物各自朝著相反方向移動，現(xiàn)在分別測量電子的位置與正電子的動量，假若量子糾纏機制不存在，則可借著守恒定律預測兩個粒子各自的位置與動量，這違反了不確定性原理。由于量子糾纏機制，粒子的位置與動量遵守不確定性原理。

從以相對論性速度移動的兩個參考系分別測量兩個糾纏粒子的物理性質，盡管在每一個參考系，測量兩個粒子的時間順序不同，獲得的實驗數據仍舊違反貝爾不等式，仍舊能夠可靠地復制出兩個糾纏粒子的量子關聯(lián) 。

數學表述

以下各小節(jié)是為那些具有量子力學正式的數學描述的一個良好的工作知識的讀者而寫，包括文章推導中熟悉的形式和理論框架：狄拉克符號(BRA-KET符號)和量子力學的數學表述。本章節(jié)涉及到密度算符概念，若不熟悉密度算符相關概念，請先閱讀條目密度算符。

嚴格定義

假設一個復合系統(tǒng)是由兩個子系統(tǒng)A、B所組成 ，這兩個子系統(tǒng)A、B的希爾伯特空間分別為 H A {\displaystyle H_{A}} 、 H B {\displaystyle H_{B}} ，則復合系統(tǒng)的希爾伯特空間 H A B {\displaystyle H_{AB}} 為張量積

設定子系統(tǒng)A、B的量子態(tài)分別為 | α α --> ? ? --> A {\displaystyle |\alpha \rangle _{A}} 、 | β β --> ? ? --> B {\displaystyle |\beta \rangle _{B}} ，假若復合系統(tǒng)的量子態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} 不能寫為張量積 | α α --> ? ? --> A ? ? --> | β β --> ? ? --> B {\displaystyle |\alpha \rangle _{A}\otimes |\beta \rangle _{B}} ，則稱這復合系統(tǒng)為子系統(tǒng)A、B的糾纏系統(tǒng)，兩個子系統(tǒng)A、B相互糾纏。

純態(tài)

假設一個復合系統(tǒng)是由兩個不相互作用的子系統(tǒng)A、B所組成，子系統(tǒng)A、B的量子態(tài)分別為 | α α --> ? ? --> A {\displaystyle |\alpha \rangle _{A}} 、 | β β --> ? ? --> B {\displaystyle |\beta \rangle _{B}} ，則復合系統(tǒng)的量子態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} 為

這種形式的量子態(tài)稱為直積態(tài)（product state）。量子態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} 具有可分性（separability），是“可分態(tài)”。對于子系統(tǒng)A做測量，必定不會影響到子系統(tǒng)B；反之亦然。因此，對于這種復合系統(tǒng)，測量任意子系統(tǒng)的可觀察量時，不必考慮到另外一個子系統(tǒng)。

假設子系統(tǒng)A、B相互耦合，則復合系統(tǒng)的量子態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} 不能用單獨一項直積態(tài)表示，必須用多項直積態(tài)的量子疊加表示。量子態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} 不具有可分性，是“糾纏態(tài)”。假設 { | a i ? ? --> A } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}} 、 { | b j ? ? --> B } {\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}} 分別為希爾伯特空間 H A {\displaystyle H_{A}} 、 H B {\displaystyle H_{B}} 的規(guī)范正交基。在希爾伯特空間 H A ? ? --> H B {\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}} 里，這復合系統(tǒng)的量子態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} 可以表示為

其中， c i j {\displaystyle c_{ij}} 是復系數。

例如，假設 | 0 ? ? --> A {\displaystyle |0\rangle _{A}} 、 | 1 ? ? --> A {\displaystyle |1\rangle _{A}} 分別為規(guī)范正交基 { | a i ? ? --> A } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}} 的基底矢量， | 0 ? ? --> B {\displaystyle |0\rangle _{B}} 、 | 1 ? ? --> B {\displaystyle |1\rangle _{B}} 分別為規(guī)范正交基 { | b j ? ? --> B } {\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}} 的基底矢量。以下形式的量子態(tài)是一個糾纏態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} ：

現(xiàn)在假設愛麗絲、鮑勃分別是子系統(tǒng)A、B的觀察者，規(guī)范正交基 { | a i ? ? --> A } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}} 的基底矢量 | 0 ? ? --> A {\displaystyle |0\rangle _{A}} 、 | 1 ? ? --> A {\displaystyle |1\rangle _{A}} 為可觀察量 O A {\displaystyle O_{A}} 的本征態(tài)矢量，對應的本征值分別為 0 {\displaystyle 0} 、 1 {\displaystyle 1} 。規(guī)范正交基 { | b j ? ? --> B } {\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}} 的基底矢量 | 0 ? ? --> B {\displaystyle |0\rangle _{B}} 、 | 1 ? ? --> B {\displaystyle |1\rangle _{B}} 為可觀察量 O B {\displaystyle O_{B}} 的本征態(tài)矢量，對應的本征值分別為 0 {\displaystyle 0} 、 1 {\displaystyle 1} 。假設愛麗絲測量可觀察量 O A {\displaystyle O_{A}} ，則結果可能有兩種結果，每一種結果發(fā)生的概率相同，都是50%：

愛麗絲測量可觀察量 O A {\displaystyle O_{A}} 的結果為0，量子態(tài)坍縮為 | 0 ? ? --> A | 1 ? ? --> B {\displaystyle |0\rangle _{A}|1\rangle _{B}} ，那么，鮑勃在之后測量可觀察量 O B {\displaystyle O_{B}} 的結果為1。

愛麗絲測量可觀察量 O A {\displaystyle O_{A}} 的結果為1，量子態(tài)坍縮為 | 1 ? ? --> A | 0 ? ? --> B {\displaystyle |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}} ，那么，鮑勃在之后測量可觀察量 O B {\displaystyle O_{B}} 的結果為0。

由此可見，愛麗絲對子系統(tǒng)A測量可觀察量 O A {\displaystyle O_{A}} 這定域動作改變了子系統(tǒng)B，盡管子系統(tǒng)A、B之間可能相隔很長一段距離，這就是兩個子系統(tǒng)量子糾纏的現(xiàn)象。更詳盡內容，請參閱EPR佯謬。

由于愛麗絲測量得到的結果具有隨機性，愛麗絲不知道復合系統(tǒng)會怎樣坍縮，她不能夠以超光速傳遞這信息給鮑勃，因此，沒有違反因果性（causality）。更詳盡內容，請參閱不可通訊定理（no-communication theorem）。

混合態(tài)

混合態(tài)是由幾種純態(tài)依照統(tǒng)計概率組成的量子態(tài)。假設一個量子系統(tǒng)處于純態(tài) | ψ ψ --> 1 ? ? --> {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ ψ --> 2 ? ? --> {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、 | ψ ψ --> 3 ? ? --> {\displaystyle |\psi _{3}\rangle } 、……的概率分別為 w 1 {\displaystyle w_{1}} 、 w 2 {\displaystyle w_{2}} 、 w 3 {\displaystyle w_{3}} 、……，則這混合態(tài)量子系統(tǒng)的密度算符 ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 定義為

注意到所有概率的總和為1：

將先前對于純態(tài)的可分性所做的定義加以延伸，具有可分性的兩體混合態(tài)，其密度算符可以寫為

其中， w i {\displaystyle w_{i}} 是正實值系數，可以詮釋為概率， ρ ρ --> i , A {\displaystyle \rho _{i,A}} 是子系統(tǒng)A的一組密度算符， ρ ρ --> i , B {\displaystyle \rho _{i,B}} 是子系統(tǒng)B的一組密度算符。

假若兩體混合態(tài)可以以上述方程表示，則這混合態(tài)具有可分性，其量子系統(tǒng)遵守貝爾不等式，不被量子糾纏；否則，這混合態(tài)具有不可分性，是糾纏態(tài)，其量子系統(tǒng)被量子糾纏，但并不一定會違反貝爾不等式 。

一般而言，很不容易辨識任意混合態(tài)量子系統(tǒng)到底是否被量子糾纏。一般兩體案例已被證明為困難 。對于 2 × × --> 2 {\displaystyle 2\times 2} 與 2 × × --> 3 {\displaystyle 2\times 3} 案例，佩雷斯-霍羅德基判據（Peres-Horodecki criterion）是可分性的充要條件 。

怎樣做實驗制成混合態(tài)？試想非偏振態(tài)光子是怎樣制成的。一種方法是利用處于動力學平衡的系統(tǒng)，這系統(tǒng)擁有很多個微觀態(tài)（microstate），伴隨每一個微觀態(tài)都有其發(fā)生的概率（玻爾茲曼因子），它們會因熱力學漲落（thermal fluctuation）從一個微觀態(tài)變換到另一個微觀態(tài)。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發(fā)射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性于系統(tǒng)的制備程序，例如，將光束通過表面粗糙的雙折射晶體，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制，有些放射性衰變會發(fā)射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統(tǒng)的量子態(tài)為 ( | R , L ? ? --> + | L , R ? ? --> ) / 2 {\displaystyle (|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}}} ；其中， | R ? ? --> {\displaystyle |R\rangle } 、 | L ? ? --> {\displaystyle |L\rangle } 分別為右旋圓偏振態(tài)、左旋圓偏振態(tài)。整個系統(tǒng)是處于純態(tài)，但是每一個光子子系統(tǒng)的物理行為如同非偏振態(tài)光子，從分析光子子系統(tǒng)的約化密度算符，可以得到這結論。

約化密度算符

約化密度算符的點子最先由保羅·狄拉克于1930年提出 。假設由兩個子系統(tǒng)A、B所組成的復合系統(tǒng)，其量子態(tài)為純態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> {\displaystyle |\psi \rangle } ，其密度算符 ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 為

這密度算符也是投影算符，能夠將復合系統(tǒng)的希爾伯特空間 H A B {\displaystyle H_{AB}} 里的任意量子態(tài) | ? ? --> ? ? --> {\displaystyle |\phi \rangle } 投影到量子態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> {\displaystyle |\psi \rangle } ：

取密度算符 ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 對于子系統(tǒng)B的偏跡數，可以得到子系統(tǒng)A的約化密度算符 ρ ρ --> A {\displaystyle \rho _{A}} ：

例如，先前提到的糾纏態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> A B = ( | 0 ? ? --> A ? ? --> | 1 ? ? --> B ? ? --> | 1 ? ? --> A ? ? --> | 0 ? ? --> B ) / 2 {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})/{\sqrt {2}}} ，其子系統(tǒng)A的約化密度算符 ρ ρ --> A {\displaystyle \rho _{A}} 為

如同預想，這公式演示出，子系統(tǒng)A的約化密度算符 ρ ρ --> A {\displaystyle \rho _{A}} 為混合態(tài)。

馮諾伊曼熵

在量子統(tǒng)計力學（quantum statistical mechanics）里，馮諾伊曼熵（von Neumann entropy）是經典統(tǒng)計力學關于熵概念的延伸。對于密度矩陣為 ? ? --> {\displaystyle \varrho } 的混合態(tài)，馮諾伊曼熵定義為

這公式涉及到矩陣對數（logarithm of a matrix），似乎很難計算 ，但密度算符 ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 是自伴算符，具有譜表示

其中， | a i ? ? --> {\displaystyle |a_{i}\rangle } 是本征值為 a i {\displaystyle a_{i}} 的本征態(tài)，所有 | a i ? ? --> {\displaystyle |a_{i}\rangle } 形成一個規(guī)范正交基。

因此，可以將密度算符 ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 的密度矩陣對角化，將馮諾伊曼熵更簡單地以對角化后的密度矩陣 ? ? --> {\displaystyle \varrho } 定義為

其中， ? ? --> i i {\displaystyle \varrho _{ii}} 是密度矩陣 ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 的第 i {\displaystyle i} 個對角元素。

馮諾伊曼熵 σ σ --> {\displaystyle \sigma } 又可以寫為

從這形式可以推論馮諾伊曼熵與經典信息論里的夏農熵相關 。

在這里，視每一個本征值 a i {\displaystyle a_{i}} 為處于本征態(tài) | a i ? ? --> {\displaystyle |a_{i}\rangle } 的概率。假若某事件的發(fā)生概率為零，則這事件不應貢獻出絲毫馮諾伊曼熵。從數學而言，以下極限為零：

因此，可以采用約定

純態(tài)的馮諾伊曼熵為零，因為其對角化之后的密度矩陣，每一個對角元素 a i {\displaystyle a_{i}} 必定滿足 a i = 0 {\displaystyle a_{i}=0} 或 ln ? ? --> a i = 0 {\displaystyle \ln a_{i}=0} 。

完全隨機混合態(tài)的 N × × --> N {\displaystyle N\times N} 密度矩陣，其馮諾伊曼熵 σ σ --> {\displaystyle \sigma } 為

馮諾伊曼熵可以被視為量子系統(tǒng)失序現(xiàn)象的一種度量，純態(tài)的馮諾伊曼熵最小，數值為 0 {\displaystyle 0} ，而完全隨機混合態(tài)則的馮諾伊曼熵最大，數值為 ln ? ? --> N {\displaystyle \ln N} 。

量子糾纏度量

  對于兩體純態(tài)系統(tǒng)，糾纏度量 E ( ρ ρ --> ) {\displaystyle E(\rho )} （豎軸）與任意本征值 a i {\displaystyle a_{i}} （橫軸）的關系曲線。當本征值為0.5時，糾纏度量最大，這純態(tài)是最大糾纏態(tài)。

量子糾纏與量子系統(tǒng)失序現(xiàn)象、量子信息喪失程度密切相關。量子糾纏越大，則子系統(tǒng)越失序，量子信息喪失越多；反之，量子糾纏越小，子系統(tǒng)越有序，量子信息喪失越少。因此，馮諾伊曼熵可以用來定量地描述量子糾纏，另外，還有其它種度量也可以定量地描述量子糾纏。對于兩體復合系統(tǒng)，這些糾纏度量較常遵守的幾個規(guī)則為

糾纏度量必須映射從密度算符至正實數。

假若整個復合系統(tǒng)不處于糾纏態(tài)，則糾纏度量必須為零。

對于純態(tài)復合系統(tǒng)，糾纏度量必需約化為馮諾伊曼熵。

對于命定性的定域運算與經典通訊（local operation and classical communication）變換，糾纏度量不會增加。

對于兩體純態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} ，根據施密特分解（Schimidt decomposition）

其中， σ σ --> A {\displaystyle \sigma _{A}} 、 σ σ --> B {\displaystyle \sigma _{B}} 分別為子系統(tǒng)A、B的馮諾伊曼熵， a i {\displaystyle a_{i}} 是先前提到的子系統(tǒng)A約化密度算符的幾個本征值之一。

所以，整個復合系統(tǒng)的糾纏度量 E ( ρ ρ --> ) {\displaystyle E(\rho )} 可以設定為任意子系統(tǒng)A或B的馮諾伊曼熵：

對于兩體純態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> A B {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}} ，假若子系統(tǒng)的約化密度矩陣是對角矩陣

則這兩體純態(tài)具有最大可能的糾纏度量 E ( ρ ρ --> ) = ln ? ? --> N {\displaystyle E(\rho )=\ln N} ，但是它的子系統(tǒng)也完全失序，并且無法預測對于子系統(tǒng)做測量得到的結果，只能預測兩個子系統(tǒng)之間的量子關聯(lián)。

對于兩體純態(tài)，只有馮諾伊曼熵能夠量度量子糾纏，因為只有它能夠滿足某些量度量子糾纏必須遵守的判據。對于混合態(tài)，使用馮諾伊曼熵并不是唯一能夠量度量子糾纏的方法。

量子糾纏與不可分性

假設一個量子系統(tǒng)是由幾個處于量子糾纏的子系統(tǒng)組成，而整體系統(tǒng)所具有的某種物理性質，子系統(tǒng)不能私自具有，這時，不能夠對子系統(tǒng)給定這種物理性質，只能對整體系統(tǒng)給定這種物理性質，它具有“不可分性”。不可分性不一定與空間有關，處于同一區(qū)域的幾個物理系統(tǒng)，只要彼此之間沒有任何糾纏，則它們各自可擁有自己的物理性質。物理學者艾雪·佩雷斯（Asher Peres）給出不可分性的數學定義式，可以計算出整體系統(tǒng)到底具有可分性還是不可分性。假設整體系統(tǒng)具有不可分性，并且這不可分性與空間無關，則可將它的幾個子系統(tǒng)分離至兩個相隔遙遠的區(qū)域，這動作凸顯出不可分性與定域性的不同──雖然幾個子系統(tǒng)分別處于兩個相隔遙遠的區(qū)域，仍舊不可將它們個別處理。在EPR佯謬里，由于兩個粒子分別處于兩個相隔遙遠的區(qū)域，整體系統(tǒng)被認為具有可分性，但因量子糾纏，整體系統(tǒng)實際具有不可分性，整體系統(tǒng)所具有明確的自旋z分量，兩個粒子各自都不具有 。

應用

量子糾纏是一種物理資源，如同時間、能量、動量等等，能夠萃取與轉換。應用量子糾纏的機制于量子信息學，很多平常不可行的事務都可以達成：

量子密鑰分發(fā)能夠使通信雙方共同擁有一個隨機、安全的密鑰，來加密和解密信息，從而保證通信安全。在量子密鑰分發(fā)機制里，給定兩個處于量子糾纏的粒子，假設通信雙方各自接受到其中一個粒子，由于測量其中任意一個粒子會摧毀這對粒子的量子糾纏，任何竊聽動作都會被通信雙方偵測發(fā)覺。

密集編碼（superdense coding）應用量子糾纏機制來傳送信息，每兩個經典位元的信息，只需要用到一個量子位元，這科技可以使傳送效率加倍。

量子隱形傳態(tài)應用先前發(fā)送點與接收點分享的兩個量子糾纏子系統(tǒng)與一些經典通訊技術來傳送量子態(tài)或量子信息（編碼為量子態(tài)）從發(fā)送點至相隔遙遠距離的接收點 。

量子算法（quantum algorithm）的速度時常會勝過對應的經典算法很多。但是，在量子算法里，量子糾纏所扮演的角色，物理學者尚未達成共識。有些物理學者認為，量子糾纏對于量子算法的快速運算貢獻很大，但是，只倚賴量子糾纏并無法達成快速運算 。

在量子計算機體系結構里，量子糾纏扮演了很重要的角色。例如，在一次性量子計算機（one-way quantum computer）的方法里，必須先制備出一個多體糾纏態(tài)，通常是圖形態(tài)（graph state）或簇態(tài)（cluster state），然后借著一系列的測量來計算出結果。

不同種類的糾纏態(tài)

以下列出一些常遇到的糾纏態(tài)：

貝爾態(tài)（Bell state）有兩個量子位元 | ? ? --> A {\displaystyle |\ \rangle _{A}} 、 | ? ? --> B {\displaystyle |\ \rangle _{B}} ：

這四個純態(tài)都是最大糾纏態(tài)（根據馮諾伊曼熵計算），它們共同形成規(guī)范正交基在兩個量子位元的希爾伯特空間里。貝爾定理主要使用貝爾態(tài)來做出重要論述。

GHZ態(tài)（GHZ state）的量子位元數 M {\displaystyle M} 大于2，以方程表示為

假若 M = 2 {\displaystyle M=2} ，這方程約化為貝爾態(tài) | Φ Φ --> + ? ? --> {\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle } 的方程。通常，GHZ態(tài)的量子位元數為 M = 3 {\displaystyle M=3} ，三體種特別的三體系統(tǒng)。量子三元（qutrit）是量子位元的推廣。量子三元的三個基態(tài)分別為 | 0 ? ? --> {\displaystyle |0\rangle } 、 | 1 ? ? --> {\displaystyle |1\rangle } 、 | 2 ? ? --> {\displaystyle |2\rangle } 。自旋為1的粒子，其自旋自由度有三，所對應的本征值為+1, 0, -1，此種粒子可用來制備量子三元。

NOON態(tài)（NOON state）是兩個項目的量子疊加，一個項目是 N {\displaystyle N} 個粒子處于量子態(tài) a {\displaystyle a} 與 0 {\displaystyle 0} 個粒子處于量子態(tài) b {\displaystyle b} ，另一個項目是 0 {\displaystyle 0} 個粒子處于量子態(tài) a {\displaystyle a} 與 N {\displaystyle N} 個粒子處于量子態(tài) b {\displaystyle b} ：

在量子計量學（quantum metrology）里，光學干涉儀利用NOON態(tài)來準確地量度相位 。

糾纏系統(tǒng)的制備

  Ca 激發(fā)態(tài)的兩種衰變路徑，其分別對應的兩個量子態(tài)由于量子疊加，衰變過程中發(fā)射的兩個光子被糾纏在一起。在此圖中，淡綠色、淡藍色波形線分別表示551.3nm波長與422.7nm波長的光子， j {\displaystyle j} 是總角量子數， m {\displaystyle m} 是磁量子數。

量子糾纏通常是因為亞原子粒子直接耦合而產生的。早期， 原子級聯(lián) （ 英語 ： Collision cascade ） 就是用來制備糾纏態(tài)的一種方法。例如，處于激發(fā)態(tài)的鈣原子，會先后發(fā)射出兩個光子，因此衰變至基態(tài)。假若第一個光子具有左旋圓偏振，則第二個光子具有左旋圓偏振；假若第一個光子具有右旋圓偏振，則第二個光子具有右旋圓偏振。假若不做測量，則不能知道到底哪個光子具有左旋圓偏振，哪個光子具有右旋圓偏振。因此這兩個光子被糾纏在一起，糾纏態(tài)為分別描述這兩種組合的兩個直積態(tài)的疊加： ( | L ? ? --> 1 | L ? ? --> 2 + | R ? ? --> 1 | R ? ? --> 2 ) / 2 {\displaystyle (|L\rangle _{1}|L\rangle _{2}+|R\rangle _{1}|R\rangle _{2})/{\sqrt {2}}} ；其中， | L ? ? --> {\displaystyle |L\rangle } 、 | R ? ? --> {\displaystyle |R\rangle } 分別是左旋圓偏振態(tài)、右旋圓偏振態(tài)，下標 1 {\displaystyle 1} 、 2 {\displaystyle 2} 分別標示第一個、第二個光子 。

現(xiàn)今最常用的方法之一是自發(fā)參量下轉換。這自發(fā)參量下轉換方法的一種實現(xiàn)是照射激光束于偏硼酸鋇晶體（beta-barium borate crystal，一種非線性晶體），大多數光子會穿透過晶體，只有少數光子，會因第二型自發(fā)參量下轉換，生成一對一對的孿生光子。這些孿生光子對的直線軌道分別包含于兩個圓錐面，如引言段落的繪圖所示，一個圓錐面包含水平偏振軌道，另一個圓錐面包含垂直偏振軌道，而兩個圓錐面的交集是兩條直線，軌道為這兩條直線的兩個光子可以具有水平偏振或垂直偏振，假若一個具有水平偏振，則另一個具有垂直偏振；假若一個具有垂直偏振，則另一個具有水平偏振。假若不做測量，則不能知道到底哪個光子具有水平偏振，哪個光子具有垂直偏振，因此，這兩個偏振相互垂直的光子糾纏在一起，糾纏態(tài)為 ( | H ? ? --> 1 | V ? ? --> 2 + | V ? ? --> 1 | H ? ? --> 2 ) / 2 {\displaystyle (|H\rangle _{1}|V\rangle _{2}+|V\rangle _{1}|H\rangle _{2})/{\sqrt {2}}} ；其中， | H ? ? --> {\displaystyle |H\rangle } 是水平偏振， | V ? ? --> {\displaystyle |V\rangle } 是垂直偏振 。

在凝聚態(tài)量子計算機里，最具有潛力的候選之一是量子點科技。量子點是一種半導體奈米晶體，能夠束縛激子于微小三維空間內。激子是一對電子與空穴因靜電庫侖作用相互吸引而構成的束縛態(tài)。假若電子與空穴復合，造成激子衰變，過剩能量會以光子形式發(fā)射釋出。在量子點里，也可能找到雙激子（biexciton），這是由兩個電子與兩個空穴組成的束縛態(tài)。雙激子會先發(fā)射一個光子，衰變成一個激子，然后再發(fā)射一個光子，衰變至基態(tài)。假若第一個光子具有水平偏振，則第二個光子也具有水平偏振，否則，兩個光子都具有垂直偏振。這兩種過程疊加而生成一對偏振糾纏的光子，其糾纏態(tài)為 ( | H ? ? --> 1 | H ? ? --> 2 + | V ? ? --> 1 | V ? ? --> 2 ) / 2 {\displaystyle (|H\rangle _{1}|H\rangle _{2}+|V\rangle _{1}|V\rangle _{2})/{\sqrt {2}}} 。

在 光學諧振腔 （ 英語 ： optical cavity ） 內，里德伯原子會因拉比振動發(fā)射或吸收光子的機制，應用這機制來交換光子，兩個或三個里德伯原子可以形成糾纏態(tài) 。

幾個囚禁在離子阱內的囚禁離子可以被糾纏在一起。給定離子的兩個內態(tài)分別為基態(tài) | g ? ? --> {\displaystyle |g\rangle } 與激發(fā)態(tài) | e ? ? --> {\displaystyle |e\rangle } ，每一種內態(tài)都有其特定的內能。囚禁在諧振子位勢內的離子會擁有離散的振動能級 n {\displaystyle n} 與對應的振動能態(tài) | n ? ? --> {\displaystyle |n\rangle } 。照射邊帶頻率（sandband frequency） Ω Ω --> ± ± --> ω ω --> n {\displaystyle \Omega \pm \omega _{n}} 激光于離子，可以將內態(tài)與振動能級態(tài)糾纏在一起，糾纏態(tài)為 | g , n ? ? --> + | e , n ± ± --> 1 ? ? --> {\displaystyle |g,n\rangle +|e,n\pm 1\rangle } ；其中， Ω Ω --> {\displaystyle \Omega } 是 | g ? ? --> {\displaystyle |g\rangle } 與 | e ? ? --> {\displaystyle |e\rangle } 之間的拉比頻率， ω ω --> n {\displaystyle \omega _{n}} 是振動能級 n {\displaystyle n} 與 n ± ± --> 1 {\displaystyle n\pm 1} 之間的頻率差 。

時間奧秘

亞瑟·愛丁頓認為，能量的緩慢散布是時間流向不可逆反的證據。但是，從基本的物理定律，并無法觀測到時間流向；順著時間流向或逆著時間流向，這些物理定律都能同樣成立，這引起物理學者極大的困惑，他們只能從熱力學的統(tǒng)計分布給出時間流向的理論論述。物理學者賽斯·勞埃德（Seth Lloyd）在1988年博士論文里猜想，量子糾纏是時間流向的源頭；時間的流向是關聯(lián)遞加的方向，這機制源自于量子糾纏。起初，這點子并未受到學術界重視。后來，越來越多物理學者在這方面有所突破，他們發(fā)現(xiàn)了時間流向的更基礎源頭，微觀粒子彼此相互作用產生量子糾纏，因此形成能量散布與平衡的現(xiàn)象，關于微觀粒子的信息通過量子糾纏機制，從一至十、從十至百，逐步泄露到整個環(huán)境，因此顯示出時間流向 。

有些物理學者主張，時間是一種從量子糾纏衍生出來的凸顯現(xiàn)象 。于1960年代提出的惠勒－德維特方程嘗試將量子力學與廣義相對論連結在一起，但是，這方程并沒有將時間納入考量，因此引發(fā)了時間問題（problem of time）。直到1983年為止，這是學術界一大難題。在那年，檔恩·佩吉（Don Page）與威廉·烏特斯（William Wooters）找到一個建基于量子糾纏現(xiàn)象的解答，說明怎樣用量子糾纏來測量時間 。

2013年，意大利都靈的國立計量研究院（Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica）實驗團隊完成實驗檢試佩吉與烏特斯的點子，證實這點子值得進一步研究 。

蟲洞

  洛倫茲蟲洞（史瓦西蟲洞）的電腦繪圖。

將兩個黑洞糾纏在一起，然后再將它們分離，就可制成一個蟲洞連結在它們之間 。將這論述加以延伸，物理學者質疑，蟲洞的連結與量子糾纏的連結是同一種現(xiàn)象，只有系統(tǒng)的尺寸如同天壤之別 。

類似地從弦理論來檢視，糾纏兩個夸克也會有同樣的作用 。

這些理論結果為一些新理論提供支持。這些新理論表明，引力與它的物理性質不是基礎的，而是來自于量子糾纏。雖然量子力學正確地描述在微觀層次的相互作用，它尚未能夠解釋引力。量子引力理論應該能夠演示出經典引力不是基礎的，就如同阿爾伯特·愛因斯坦所提議，而是從更基礎的量子現(xiàn)象產生 。

施溫格效應（Schwinger effect）從真空生成的糾纏粒子對，處于電場的作用下，可以被捕獲，不讓它們湮滅回真空。這些被捕獲的粒子相互糾纏，可以映射到四維空間（一種時空的表現(xiàn)）。與之不同，物理學者認為，引力存在于第五維，按照愛因斯坦的定律，將時空彎曲與變形 。

根據全息原理（holographic principle），所有在第五維的事件可以變換為在其它四維的事件 ，因此，在糾纏粒子被生成的同時，蟲洞也被生成。更基礎地，這論述建議，引力與它彎曲時空的能力來自于量子糾纏 。

案例

以兩顆向相反方向移動但速率相同的電子為例，即使一顆行至太陽邊，一顆行至冥王星邊，在如此遙遠的距離下，它們仍保有關聯(lián)性（correlation）；亦即當其中一顆被操作（例如量子測量）而狀態(tài)發(fā)生變化，另一顆也會即時發(fā)生相應的狀態(tài)變化。如此現(xiàn)象導致了鬼魅似的超距作用之猜疑，仿佛兩顆電子擁有超光速的秘密通信一般，似與狹義相對論中所謂的定域性原理相違背。這也是當初阿爾伯特·愛因斯坦與同僚玻理斯·波多斯基、納森·羅森于1935年提出的EPR佯謬來質疑量子力學完備性的理由。

具有量子糾纏的兩顆電子——電子1和電子2，其自旋性質之糾纏態(tài)可以下面式子為例：

無法寫成 | ψ ψ --> ? ? --> 1 ? ? --> | ? ? --> ? ? --> 2 {\displaystyle |\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}} ，即兩個量子態(tài)的張量積。 下標1和2表示這是電子1和電子2的量子態(tài)，采取 | 0 ? ? --> {\displaystyle |0\rangle } 表示自旋的 z {\displaystyle z} 方向分量向上， | 1 ? ? --> {\displaystyle |1\rangle } 表示自旋的 z {\displaystyle z} 方向分量向下。

太陽邊的科學家決定對電子1做投影式量子測量，其測到的隨機性結果不是 | 0 ? ? --> {\displaystyle |0\rangle } 就是 | 1 ? ? --> {\displaystyle |1\rangle } 。當其測量結果顯示為狀態(tài) | 0 ? ? --> {\displaystyle |0\rangle } ，則冥王星的科學家在此之后，或很近、或較遠的時間點對電子2做測量，必定會測到 | 0 ? ? --> {\displaystyle |0\rangle } 的狀態(tài)。因為投影式量子測量已經將原先量子態(tài) ( | 00 ? ? --> 12 + | 11 ? ? --> 12 ) / 2 {\displaystyle (|00\rangle _{12}+|11\rangle _{12})/{\sqrt {2}}} 選擇性地坍縮到 | 00 ? ? --> 12 {\displaystyle |00\rangle _{12}} ，也可寫成 | 0 ? ? --> 1 | 0 ? ? --> 2 {\displaystyle |0\rangle _{1}|0\rangle _{2}} 或 | 0 ? ? --> 1 ? ? --> | 0 ? ? --> 2 {\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}} 。這樣，可以從電子1狀態(tài)是 | 0 ? ? --> {\displaystyle |0\rangle } 知道選擇到 | 00 ? ? --> {\displaystyle |00\rangle } 這一邊。

注意到： | 0 ? ? --> 1 ? ? --> | 0 ? ? --> 2 {\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}} 已經是兩個成員系統(tǒng)各自量子態(tài)的張量積，所以測量后狀態(tài)已非糾纏態(tài)。

參閱

量子隱形傳態(tài)

愛因斯坦-波多爾斯基-羅森佯謬

相關不蘊涵因果

觀測者效應

光子糾纏

量子相變

注釋

^ 經典關聯(lián)通常出自于某種守恒定律，例如，當零自旋π介子衰變成一個電子與一個正電子時，它們會遵守自旋守恒定律，從沿著同樣軸向測量到的電子自旋可以預言正電子自旋 。

^ 假設愛麗絲先做測量電子的自旋，然后鮑勃再做測量，則當愛麗絲做測量之時刻，兩個粒子彼此之間的量子關聯(lián)也會變?yōu)榻浀潢P聯(lián) 。

^ 復合系統(tǒng)是由多個粒子組成的系統(tǒng)。在粒子物理學里，除了基本粒子以外，其它所有的粒子都是復合系統(tǒng)；在多世界詮釋里，整個宇宙是一個特大的波函數。所以，在區(qū)分復合系統(tǒng)與非復合系統(tǒng)方面，必須就各個案例而論。例如，在雙縫實驗里，照射粒子束于擋板的兩條狹縫，移動通過狹縫的粒子內部結構并沒有因此改變，并不是實驗參數，只有整個粒子的位置、動量等等是實驗參數，因此可以視粒子為非復合系統(tǒng)。但是，假設照射光子束于粒子，想要知道粒子是通過兩條狹縫中的哪一條狹縫，這偵測動作會造成光子與粒子短暫時間耦合，因此必須將這粒子與光子視為一個復合系統(tǒng)。

^ 矩陣對數（logarithm of a matrix）也是矩陣；后者的矩陣指數等于前者。這是純對數的推廣。這運算是矩陣指數的反函數。并不是所有矩陣都有對數，有些矩陣有很多個對數。

免責聲明：以上內容版權歸原作者所有，如有侵犯您的原創(chuàng)版權請告知，我們將盡快刪除相關內容。感謝每一位辛勤著寫的作者，感謝每一位的分享。