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量子測量的數(shù)學(xué)形式

與經(jīng)典物理中的測量不同，量子測量不是獨(dú)立于所觀測的物理系統(tǒng)而單獨(dú)存在的，相反，測量本身即是物理系統(tǒng)的一部分，所作的測量會對系統(tǒng)的狀態(tài)產(chǎn)生干擾。

一般形式：量子公設(shè)III

量子公設(shè)的第三條是對測量下的定義。量子測量可以通過一個測量算符的集合 { M m } {\displaystyle \{M_{m}\}} 來表示，它作用在系統(tǒng)的狀態(tài)空間上。測量算符 M {\displaystyle M} 的序列號 m {\displaystyle m} 表示測量所得出的不同結(jié)果。如果系統(tǒng)在測量前處于狀態(tài) | ψ ψ --> ? ? --> {\displaystyle |\psi \rangle } ，那么測量后得到結(jié)果m的概率是：

測量后系統(tǒng)的狀態(tài)變?yōu)椋?

測量算符必須滿足以下的完備性條件：

上述完備性條件與下式等價，即完備性條件決定了測量得到各個結(jié)果的概率和為1：

射影測量

射影測量（projective measurement）是一般形式量子測量的一個特例，即測量算子集合是一組射影算子 { P m } {\displaystyle \{P_{m}\}} 的情況，值得注意的是很多介紹量子力學(xué)的書比如Griffiths (2005)只介紹射影測量，這種測量結(jié)合量子系統(tǒng)的演化（evolution）與一般形式測量等價。對于射影測量，可以定義 可觀測量 （observable） M {\displaystyle M} 使得

其中的射影算子 P m {\displaystyle P_{m}} 的定義為：

{ | i ? ? --> } {\displaystyle \{|i\rangle \}} 構(gòu)成被測量子系統(tǒng)狀態(tài)空間的某個子空間 W {\displaystyle W} 的一組基矢量，射影算子 P {\displaystyle P} 可以將一個狀態(tài)矢量投影到該子空間 W {\displaystyle W} ，因此得名射影算子。顯然射影算子有以下性質(zhì)：

于是射影測量測得結(jié)果 m {\displaystyle m} 的概率為：

測量后量子系統(tǒng)的狀態(tài)為

射影測量的結(jié)果的平均值一般計(jì)為：

示例

一個量子比特 | ψ ψ --> ? ? --> = a | 0 ? ? --> + b | 1 ? ? --> {\displaystyle |\psi \rangle =a|0\rangle +b|1\rangle } 被 { M m } = { M 0 , M 1 } {\displaystyle \{M_{m}\}=\{M_{0},M_{1}\}} 測量，所謂量子比特可以認(rèn)為是一個二維量子系統(tǒng)的狀態(tài)，比如一個 光子的極化狀態(tài) （ 英語 ： Photon polarization ） 。

測量得到0和1的概率分別是 | a | 2 {\displaystyle |a|^{2}} 和 | b | 2 {\displaystyle |b|^{2}} ，而

即概率和為1

可以發(fā)現(xiàn)測量后，系統(tǒng)的狀態(tài)要么變成 a | a | | 0 ? ? --> {\displaystyle {\frac {a}{|a|}}|0\rangle } 要么變成 b | b | | 1 ? ? --> {\displaystyle {\frac {|b|}}|1\rangle } ，而對于量子力學(xué)來說，量子狀態(tài)的相位是沒有意義的，因而系統(tǒng)的狀態(tài)在測量之后不是 | 0 ? ? --> {\displaystyle |0\rangle } 就是 | 1 ? ? --> {\displaystyle |1\rangle } ，即投影到了基矢量 | 0 ? ? --> {\displaystyle |0\rangle } 或 | 1 ? ? --> {\displaystyle |1\rangle } 構(gòu)成的狀態(tài)空間中去，顯然 | 0 ? ? --> {\displaystyle {|0\rangle }} 或 | 1 ? ? --> {\displaystyle |1\rangle } 只能構(gòu)成一個一維狀態(tài)空間。

一般來講測量不是幺正算符，而是從系統(tǒng)里獲取信息的一個過程。

可測量的量值（“物理量”）作為算符

量子力學(xué)中，可觀測量在數(shù)學(xué)上常以厄米算符（Hermitian）或自伴算符來表示。此算符的本征值集合代表測量可能結(jié)果的集合。對于每個本征值而言，存在有一個對應(yīng)的本征態(tài)（或本征矢量），其為系統(tǒng)在測量之后的狀態(tài)。這種表征具有一些特質(zhì)：

厄米矩陣的本征值是實(shí)數(shù)。一個測量的可能結(jié)果恰好是給定的可觀測量的本征值。

一個厄米矩陣可以幺正式地對角化（ 參見譜定理（Spectral theorem） ），產(chǎn)生了本征矢量的一組正交歸一基，可以架構(gòu)出系統(tǒng)的態(tài)空間。一般來說，系統(tǒng)的狀態(tài)可以寫為任何厄米算符的線性組合。如此在物理上的意義即為任何狀態(tài)可以表示為一可觀測量其本征態(tài)的疊加。

重要的例子有：

哈密頓算符，代表系統(tǒng)的總能量；非相對論性的特例為： H ^ ^ --> = p ^ ^ --> 2 2 m + V ( x ^ ^ --> ) {\displaystyle {\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+V({\hat {x}})} .

動量算符： p ^ ^ --> = ? ? --> i ? ? --> ? ? --> x {\displaystyle {\hat {p}}={\hbar \over i}{\partial \over \partial x}} （以位置基底表示。）

位置算符： x ^ ^ --> = ? ? --> ? ? --> i ? ? --> ? ? --> p {\displaystyle {\hat {x}}={-\hbar \over i}{\partial \over \partial p}} （以動量基底表示。）

算符可以是非對易性（或稱非交換性）的。在有限維度的例子，如果兩個厄米算符擁有相同的歸一化的本征矢量集合，則它們可以對易。非對易的兩個可觀測量被稱為“不相容”(incompatible）而無法同時測量。比較知名的例子是位置與動量，也可以透過海森堡不確定原理來描述。

本征態(tài)與投影

波函數(shù)坍縮

馮·諾伊曼式測量方案

舉例

量子測量的哲學(xué)議題

什么樣的物理相互作用構(gòu)成測量？

在量子退相干于二十世紀(jì)末出現(xiàn)之前，量子力學(xué)及哥本哈根詮釋一直存在一個重大的觀念性問題。那就是沒有一個明確的判據(jù)來判別怎樣的物理相互作用屬于“測量”并且會造成波函數(shù)崩潰。薛定諤的貓即是最好的例子。現(xiàn)在，對于弱測量的了解以及什么程度的相互作用或測量足以摧毀量子相干性有了定量的分析，因此在量子退相干理論的架構(gòu)下，一些問題已經(jīng)可以被理解。但對于構(gòu)成測量的一些面向，物理學(xué)家仍然沒有一致的認(rèn)同。

測量是否真的決定狀態(tài)？

測量是否決定一個狀態(tài)在不同的量子詮釋下有不同的答案。(這也與對波函數(shù)崩潰的理解有很大的關(guān)聯(lián)。)舉例來說，在哥本哈根詮釋大多數(shù)的版本中，測量會決定一個系統(tǒng)的狀態(tài)，并且在測量后系統(tǒng)的態(tài)一定是測量中得到的。但根據(jù)多世界詮釋，測量在不同的世界有不同的結(jié)果，所以測量后其他的可能狀態(tài)仍然存于不同的世界中。

測量過程是隨機(jī)的或是決定性的？

一般一致認(rèn)為量子力學(xué)的測量顯現(xiàn)出隨機(jī)的特性，但這究竟是本質(zhì)上的隨機(jī)，或只是看似隨機(jī)，則仍然沒有定論。 量子力學(xué)背后可能存在隱變數(shù)理論，以決定性的方式，在特定的安排方式下，使實(shí)驗(yàn)結(jié)果看似隨機(jī)。隱變數(shù)理論如果存在，將會是“非定域性的”。這仍是熱門的研究領(lǐng)域之一。

測量過程是否違反定域性原理?

定域性原理要求任何信息皆不能以超越光速的速度傳遞(詳見狹義相對論)。實(shí)驗(yàn)上我們知道，如果量子力學(xué)是決定性的(借由隱變數(shù)理論)，那么它必須是非定域性的，因此違反定域性原理(詳見貝爾定理、EPR佯謬)。然而，物理學(xué)家對于量子力學(xué)是非決定性、非定域性或著兩者皆是，仍然沒有定論。

量子糾纏（Quantum Entanglement）問題

參見

環(huán)境誘導(dǎo)超選擇

測量相關(guān)問題與佯謬

量子力學(xué)形式

參考文獻(xiàn)

[A. Nielsen]; [L. Chuang].Quantum Computation and Quantum Information [量子計(jì)算與量子信息]. 劍橋大學(xué)出版社. 2010. ISBN 978-1-107-00217-3 （英語） . 改

Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics [量子力學(xué)引論]. 培生普倫蒂斯·霍爾出版社. 2005. ISBN 9780131118928 （英語） . 改

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