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簡史

幾何 一詞源于《幾何原本》的翻譯?！稁缀卧尽肥鞘澜鐢?shù)學(xué)史上影響最為久遠(yuǎn)，最大的一部數(shù)學(xué)教科書?！稁缀卧尽穫魅胫袊?，首先應(yīng)歸功于明末科學(xué)家徐光啟。徐光啟和利瑪竇《幾何原本》中譯本的一個偉大貢獻(xiàn)是確定了研究圖形的這一學(xué)科中文名稱為“幾何”，并確定了幾何學(xué)中一些基本術(shù)語的譯名。“幾何”的原文是“geometria”（英文geometry），徐光啟和利瑪竇在翻譯時，取“geo”的音為“幾何”（明朝音：gi-ho），而“幾何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“幾何”譯“geometria”（英文geometry），音義兼顧，確是神來之筆。幾何學(xué)中最基本的一些術(shù)語，如點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名，都是這個譯本定下來的。這些譯名一直流傳到今天，且東渡到漢字文化圈的日本、朝鮮等國（越南語則使用獨自翻譯的越制漢語“ 形學(xué) （ hình h?c ）”一詞），影響深遠(yuǎn)。

幾何學(xué)開始的最早記錄可以追蹤到公元前2世紀(jì)的古代埃及和美索不達(dá)米亞。 早期的幾何學(xué)是有關(guān)長度、角度、面積和體積的經(jīng)驗性定律的收集，這些都是因為實際需要（比如勘探、建筑、天文和一些手工業(yè)）而發(fā)展的。最早的已知有關(guān)幾何學(xué)的文本是埃及的萊因德紙草書 （公元前2000-1800年）和 莫斯科數(shù)學(xué)紙草書 （ 英語 ： Moscow Mathematical Papyrus ） （Moscow Mathematical Papyrus） （約公元前1890年），以及古巴比倫的泥石板（比如“普林頓 322”（公元前1900年）)。比如，莫斯科紙草書上給出了如何計算棱臺體積的公式。 埃及南部的古代努比亞人曾經(jīng)建立了一套幾何學(xué)系統(tǒng)，包括有太陽鐘的早期版本。

幾何學(xué)有悠久的歷史。最古老的歐氏幾何基于一組公設(shè)和定義，人們在公設(shè)的基礎(chǔ)上運用基本的邏輯推理構(gòu)做出一系列的命題?？梢哉f，《幾何原本》是公理化系統(tǒng)的第一個范例，對西方數(shù)學(xué)思想的發(fā)展影響深遠(yuǎn)。

一千年后，笛卡兒在《方法論》的附錄《幾何》中，將坐標(biāo)引入幾何，帶來革命性進(jìn)步。從此幾何問題能以解析式的形式來表達(dá)。

歐幾里得幾何學(xué)的第五公設(shè)，由于并不自明，引起了歷代數(shù)學(xué)家的關(guān)注。最終，由羅巴切夫斯基和黎曼建立起兩種非歐幾何 。

幾何學(xué)的現(xiàn)代化則歸功于克萊因、希爾伯特等人?？巳R因在普呂克的影響下，應(yīng)用群論的觀點將幾何變換視為特定不變量約束下的變換群。而希爾比特為幾何奠定了真正的科學(xué)的公理化基礎(chǔ)。應(yīng)該指出幾何學(xué)的公理化，影響是極其深遠(yuǎn)的，它對整個數(shù)學(xué)的嚴(yán)密化具有極其重要的先導(dǎo)作用。它對數(shù)理邏輯學(xué)家的啟發(fā)也是相當(dāng)深刻的。

古代幾何學(xué)

幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及（參看古埃及數(shù)學(xué)），古印度（參看古印度數(shù)學(xué)），和古巴比倫（參看古巴比倫數(shù)學(xué)），其年代大約始于前3000年。早期的幾何學(xué)是關(guān)于長度，角度，面積和體積的經(jīng)驗原理，被用于滿足在測繪，建筑，天文，和各種工藝制作中的實際需要。在它們中間，有令人驚訝的復(fù)雜的原理，以至于現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家很難不用微積分來推導(dǎo)它們。例如，埃及和巴比倫人都在畢達(dá)哥拉斯之前1500年就知道了畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐臺（截頭金字塔形）的體積的正確公式；而巴比倫有一個三角函數(shù)表。

名稱的來歷

幾何這個詞最早來自于希臘語“ γεωμετρ?α ”，由“ γ?α （ 希臘語 ： γ?α ） ”（土地）和“ μετρε?ν （ 希臘語 ： μετρε?ν ） ”（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術(shù)。后來拉丁語化為“geometria”。中文中的“幾何”一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創(chuàng)。當(dāng)時并未給出所依根據(jù)，后世多認(rèn)為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另一方面由于《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數(shù)論的內(nèi)容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認(rèn)為幾何是geometria的音、意并譯。用“幾何”的音來表達(dá)，關(guān)于數(shù)與量的，用“幾何”的義來表達(dá)。換句話說，徐光啟心目中的“幾何”，可能就是今天我們所謂的“數(shù)學(xué)”。所以他為譯本所取的名字，以今日用語再翻譯一次，就是：《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》。所以如果了解《幾何原本》為《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》，它當(dāng)然會包含像輾轉(zhuǎn)相除法這樣的課題。希臘語GEO+METRY按照字源意思是“地理測算”的意思，所以依照字面意思對照現(xiàn)代分類相當(dāng)于測算學(xué)，分平面測算學(xué)與立體測算學(xué)。

1607年出版的《幾何原本》中關(guān)于幾何的譯法在當(dāng)時并未通行，同時代也存在著另一種譯名——“ 形學(xué) ”，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學(xué)備旨》，在當(dāng)時也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續(xù)譯的《幾何原本》后9卷出版后，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀(jì)初的時候才有了較明顯的取代形學(xué)一詞的趨勢，如1910年《形學(xué)備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勛就將其改名為《續(xù)幾何》。直至20世紀(jì)中期，已鮮有“形學(xué)”一詞的使用出現(xiàn)。

分類

實務(wù)幾何學(xué)

畢氏定理(3, 4, 5)三角形的圖像化證明，記載在公元前500-200年的《周髀算經(jīng)》中

幾何學(xué)起源于一些實務(wù)上有關(guān)量測、面積及體積的科學(xué)。在許多方面都已找到相當(dāng)?shù)墓剑绠吺隙ɡ?、圓的周長及面積、三角形的面積、圓柱、球及四角錐的體積等。泰勒斯發(fā)展了以幾何物件的相似為基礎(chǔ)，計算一些無法直接量測的高度或距離的方法。天文學(xué)的發(fā)展也帶來三角學(xué)及球面三角學(xué)的誕生，也有一些對應(yīng)的計算技巧。

公理化幾何學(xué)

歐幾里德平行公設(shè)的說明

歐幾里德在所著的《幾何原本》中作了更抽象化的處理。歐幾里德引入了一些公理來說明點、線和面一些基本的或是可自證的性質(zhì)。接著再用數(shù)學(xué)的思考再去推導(dǎo)其他的性質(zhì)。幾何原本中的推導(dǎo)以其嚴(yán)謹(jǐn)性著稱，稱為公理化幾何。在十九世紀(jì)初時，尼古拉·羅巴切夫斯基（1792–1856）、鮑耶·亞諾什（1802–1860）及卡爾·弗里德里?！じ咚梗?777–1855）發(fā)展了非歐幾何，其他數(shù)學(xué)家開始再度對此一領(lǐng)域有興趣。二十世紀(jì)的大衛(wèi)·希爾伯特試圖用公理化的理解為幾何學(xué)提供現(xiàn)代的基礎(chǔ)。

幾何建構(gòu)

古典的幾何學(xué)家花了許多心力要繪制定理中繪述的幾何物件。傳統(tǒng)上，可以使用的工具是圓規(guī)及沒有刻度的直尺，需要在有限次數(shù)的繪制內(nèi)完成圖形。有些圖形很難（甚至無法）單純用尺規(guī)作圖求得，需要配合拋物線、其他曲線或是機(jī)械工具才能完成。

幾何中的數(shù)

畢達(dá)格拉斯發(fā)現(xiàn)三角形的三邊可能會有不可通約性

古希臘的畢達(dá)格拉斯就已考慮過數(shù)字在幾何中的角色。不過因為不可通約長度的出現(xiàn)，不符合他的哲學(xué)觀點，因此他們放棄抽象的幾何量，改用實際上的幾何量，例如圖案的長及面積。后來勒內(nèi)·笛卡兒利用坐標(biāo)系再讓數(shù)字和幾何連結(jié)，笛卡兒也發(fā)現(xiàn)根據(jù)一圖示的代數(shù)表現(xiàn)可以知道此形狀，后來笛卡兒用的坐標(biāo)系就稱為笛卡兒坐標(biāo)系。

當(dāng)代的幾何學(xué)

歐幾里德幾何

4 21 多胞形 （ 英語 ： 4 21 polytope ） 在 E 8 （ 英語 ： E8 (mathematics) ） 李群 考克斯特元素 （ 英語 ： Coxeter plane ） 下的正交投影

歐幾里德幾何和計算幾何、計算機(jī)圖形、 凸幾何 （ 英語 ： convex geometry ） 、關(guān)聯(lián)幾何、有限幾何學(xué)、 離散幾何學(xué) （ 英語 ： discrete geometry ） ，以及組合數(shù)學(xué)中的部分領(lǐng)域都有密切關(guān)系。歐幾里德幾何和歐幾里德群在晶體學(xué)上的進(jìn)展和哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特的研究已受到注意，可以在考克斯特群及多胞形的理論中看到。 幾何群論 （ 英語 ： Geometric group theory ） 是將幾何學(xué)延伸到離散群中，有關(guān)其幾何結(jié)構(gòu)及代數(shù)技術(shù)的研究。

微分幾何

微分幾何因著愛因斯坦的廣義相對論假設(shè)有曲率的宇宙，因此逐漸受到數(shù)學(xué)物理的重視。現(xiàn)代的微分幾何是本質(zhì)性的，將空間視為是微分流形，其幾何結(jié)構(gòu)則由黎曼流形處理，包括如何量測二點之間的距離等。不再只是歐幾里德幾何中先驗的一部分。

拓?fù)鋵W(xué)和幾何學(xué)

較粗的三葉結(jié)

拓?fù)鋵W(xué)是 轉(zhuǎn)換幾何 （ 英語 ： transformation geometry ） 中的一部分，專注在同胚的轉(zhuǎn)換，拓?fù)鋵W(xué)在二十世紀(jì)有顯著的進(jìn)展，簡單來說，拓?fù)鋵W(xué)可以說是“橡皮下的幾何學(xué)”。當(dāng)代的幾何拓?fù)鋵W(xué)、微分拓?fù)洌约跋衲獱査估碚摰茸宇I(lǐng)域，被大部分?jǐn)?shù)學(xué)家視為是幾何學(xué)的一部分。代數(shù)拓?fù)浜忘c集拓?fù)鋵W(xué)則被視為是另一個新的領(lǐng)域。

解析幾何

五維卡拉比－丘流形

解析幾何是歐幾里德幾何的現(xiàn)代版本，從1950年代末到1970年代中有大幅的進(jìn)展，主要是因為讓-皮埃爾·塞爾及亞歷山大·格羅森迪克的貢獻(xiàn)，這也產(chǎn)生了概形以及代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)一些方法的重視，包括許多的 上同調(diào)理論 （ 英語 ： cohomology theory ） 。千禧年大獎難題中的霍奇猜想就是解析幾何學(xué)的問題。

低維度代數(shù)簇、代數(shù)曲線及 代數(shù)曲面 （ 英語 ： algebraic surface ） 的研究以及三維代數(shù)簇（algebraic threefolds）的研究都有很多進(jìn)展。 Gr?bner基 （ 英語 ： en:Gr?bner basis ） 理論及 實代數(shù)幾何 （ 英語 ： real algebraic geometry ） 應(yīng)用在現(xiàn)在解析幾何的一些子領(lǐng)域中。算術(shù)幾何（Arithmetic geometry）是結(jié)合了解析幾何及數(shù)論的一個新的領(lǐng)域。另外一個研究方向是?？臻g及 復(fù)幾何 （ 英語 ： Complex geometry ） 。代數(shù)幾何的方法廣泛的用在弦理論及膜宇宙理論中。

分支學(xué)科

平面幾何

立體幾何

非歐幾何

解析幾何

射影幾何

仿射幾何

代數(shù)幾何

微分幾何

計算幾何

拓?fù)鋵W(xué)

分形幾何，又稱碎形幾何

相關(guān)條目

畫法幾何

平面國，埃德溫·A·艾勃特的小說，有提到二維空間及三維空間

動態(tài)幾何軟件

三角學(xué)

幾何學(xué)家列表

數(shù)學(xué)著作列表

其他領(lǐng)域

分子結(jié)構(gòu)

參考文獻(xiàn)

《世界數(shù)學(xué)史簡編》，梁宗巨，1981年，遼寧人民出版社，第90頁~第92頁

卡爾·本杰明·波耶 （ 英語 ： Carl Benjamin Boyer ） （Carl Benjamin Boyer） A History of Mathematics , 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989 ISBN 978-0-471-09763-1 (1991 pbk ed. ISBN 978-0-471-54397-8).

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