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有限平面

有限平面幾何可以分為 仿射 與 射影 兩類。在仿射空間中可以探討線的平行性，射影空間則否。

定義 . 仿射平面 是一個(gè)非空集 X {\displaystyle X} （其成員稱為 點(diǎn) ）及一族 X {\displaystyle X} 的子集 L {\displaystyle L} （其成員稱為 線 ），使之滿足下述條件：

任兩點(diǎn)包含于唯一的一條線。

平行公設(shè)：給定線 ? ? --> {\displaystyle \ell } 及點(diǎn) p ? ? --> ? ? --> {\displaystyle p\notin \ell } ，存在唯一的線 ? ? --> ′ {\displaystyle \ell "} 使之包含 p {\displaystyle p} 且 ? ? --> = ? ? --> ′ {\displaystyle \ell =\ell "} 或 ? ? --> ∩ ∩ --> ? ? --> ′ = ? ? --> {\displaystyle \ell \cap \ell "=\emptyset } 。

存在四個(gè)點(diǎn)，其中任三點(diǎn)不共線。

最后一條公設(shè)保證幾何非空，前兩條公設(shè)確定了幾何的性質(zhì)。

最簡(jiǎn)單的仿射平面由四點(diǎn)構(gòu)成，其中任兩點(diǎn)決定唯一一條線，所以此平面有四條線。這可以設(shè)想為四面體的頂點(diǎn)與邊。

一般而言， n {\displaystyle n} 階仿射平面有 n 2 {\displaystyle n^{2}} 個(gè)點(diǎn)與 n 2 + n {\displaystyle n^{2}+n} 條線；每條線含 n {\displaystyle n} 點(diǎn)，每點(diǎn)落于 n + 1 {\displaystyle n+1} 條線。

定義 . 射影平面 是一個(gè)非空集 X {\displaystyle X} （其成員稱為 點(diǎn) ）及一族 X {\displaystyle X} 的子集 L {\displaystyle L} （其成員稱為 線 ），使之滿足下述條件：

任兩點(diǎn)包含于唯一的一條線。

任兩條相異的線交于唯一一點(diǎn)。

存在四個(gè)點(diǎn)，其中任三點(diǎn)不共線。

Fano 平面的圖解

在上述公理中，我們可以交換點(diǎn)及線的角色，這蘊(yùn)含了射影幾何的 對(duì)偶性 ：若射影幾何的某命題成立，則將命題中的點(diǎn)與線互換后，新命題依然成立。

最簡(jiǎn)單的射影平面稱作 Fano 平面，又稱二階射影平面，由七條線及七個(gè)點(diǎn)構(gòu)成。若除去任一直線（及其上之點(diǎn)），將得到二階仿射平面。

一般而言， n {\displaystyle n} 階射影平面的點(diǎn)、線個(gè)數(shù)均為 n 2 + n + 1 {\displaystyle n^{2}+n+1} ，每條線含 n + 1 {\displaystyle n+1} 個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)落于 n + 1 {\displaystyle n+1} 條線。

對(duì)任意正整數(shù) n {\displaystyle n} ， n {\displaystyle n} 階射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是這種幾何存在當(dāng)且僅當(dāng) n {\displaystyle n} 是素?cái)?shù)冪。

有限幾何的對(duì)稱群

若一映射 f : X → → --> X {\displaystyle f:X\to X} 保存共線關(guān)系，則稱之為 X {\displaystyle X} 的 對(duì)稱 （或 自同構(gòu) ）。Fano 平面的對(duì)稱群同構(gòu)于 P S L ( 2 , F 7 ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {F} _{7})} ，有 168 {\displaystyle 168} 個(gè)元素。

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