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吸引不動(dòng)點(diǎn)

不動(dòng)點(diǎn)迭代 xn+1 = cos xn 帶有初始值 x1 = -1。

函數(shù) f 的吸引不動(dòng)點(diǎn)是 f 的不動(dòng)點(diǎn) x0 使得，對(duì)在足夠接近 x0 的定義域中的任何 x 值而言，迭代函數(shù)序列

收斂于 x0。如何接近才是“足夠接近”有時(shí)是個(gè)微妙的問(wèn)題。

自然余弦函數(shù)（自然意味著使用弧度而非角度）有精確的一個(gè)吸引不動(dòng)點(diǎn)。在這種情況下，“足夠接近”根本不是嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn) -- 為了展示這個(gè)情況，在計(jì)算器上開(kāi)始于任何實(shí)數(shù)并重復(fù)按“cos”鍵。它會(huì)快速的收斂于大約 0.73908513，這就是不動(dòng)點(diǎn)。這是余弦函數(shù)和線(xiàn) y=x{\displaystyle y=x} 在圖上的交叉點(diǎn)。

不是所有不動(dòng)點(diǎn)都是吸引的：例如，x=0{\displaystyle x=0} 是函數(shù) f(x)=2x{\displaystyle f(x)=2x} 的不動(dòng)點(diǎn)，但是這個(gè)函數(shù)對(duì)非零任意值的迭代快速的發(fā)散。

吸引不動(dòng)點(diǎn)是更廣泛的數(shù)學(xué)概念吸引子的特殊情況。

吸引不動(dòng)點(diǎn)被稱(chēng)為穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)如果它也是李雅普諾夫穩(wěn)定性的。

一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)被稱(chēng)為是中立穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)如果它是李雅普諾夫穩(wěn)定性的但不是吸引的。二階齊次線(xiàn)性微分方程的中心點(diǎn)是中立穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)的例子。

保證不動(dòng)點(diǎn)存在的定理

在數(shù)學(xué)的不同部分有很多定理保證函數(shù)、在一定的條件下，必定有一個(gè)或者更多的不動(dòng)點(diǎn)。這些在最基本的定性結(jié)果當(dāng)中，那些普遍性應(yīng)用的不動(dòng)點(diǎn)定理是非常具有價(jià)值的洞察。

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