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定理

設(shè)Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是復(fù)平面C{\displaystyle \mathbb {C} }的一個(gè)單連通的開(kāi)子集。f:Ω Ω -->→ → -->C{\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }是一個(gè)Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上的全純函數(shù)。設(shè)γ γ -->{\displaystyle \gamma }是Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }內(nèi)的一個(gè)分段可求長(zhǎng)的簡(jiǎn)單閉曲線（即連續(xù)而不自交并且能定義長(zhǎng)度的閉合曲線），那么：

單連通條件的必要性

Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是單連通表示Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }中沒(méi)有“洞”，例如任何一個(gè)開(kāi)圓盤(pán)D={z:|z? ? -->z0|<r}{\displaystyle D=\{z:|z-z_{0}|都符合條件，這個(gè)條件是很重要的，考慮中央有“洞”的圓盤(pán)：Dh={z:0z0|<2}{\displaystyle D_單位圓=\{z:0 ，在其中取逆時(shí)針?lè)较虻膯挝粓A路徑：

考慮函數(shù)f:z? ? -->1/z{\displaystyle f\;:\;z\;\mapsto \;1/z}，它在Dh{\displaystyle D_{h}}中是全純函數(shù)，但它的路徑積分：

不等于零。這是因?yàn)楹瘮?shù)f{\displaystyle f}在“洞”中有奇點(diǎn)。如果考慮整個(gè)圓盤(pán)Ds={z:|z? ? -->z0|<2}{\displaystyle D_{s}=\{z:|z-z_{0}|<2\}}，就會(huì)發(fā)現(xiàn)f{\displaystyle f}在圓盤(pán)中央的點(diǎn)上沒(méi)有定義，不是全純函數(shù)。

等價(jià)敘述

柯西積分定理有若干個(gè)等價(jià)的敘述。例如： 設(shè)Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是復(fù)平面C{\displaystyle \mathbb {C} }的一個(gè)開(kāi)子集。f:Ω Ω -->→ → -->C{\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }是一個(gè)定義在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上的函數(shù)。設(shè)γ γ -->1:[0,1]→ → -->Ω Ω -->{\displaystyle \gamma _{1}\;:\;[0,1]\;\rightarrow \Omega }與γ γ -->2:[0,1]→ → -->Ω Ω -->{\displaystyle \gamma _{2}\;:\;[0,1]\;\rightarrow \Omega }是Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }內(nèi)的兩條可求長(zhǎng)的簡(jiǎn)單曲線，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)都重合：

并且函數(shù)f{\displaystyle f}在γ γ -->1{\displaystyle \gamma _{1}}與γ γ -->2{\displaystyle \gamma _{2}}圍成的閉合區(qū)域D{\displaystyle D}內(nèi)是全純函數(shù)，那么函數(shù)f{\displaystyle f}沿這兩條曲線的路徑積分相同：

推廣

除了對(duì)分段可求長(zhǎng)的簡(jiǎn)單閉合曲線成立以外，柯西積分定理對(duì)于某些更復(fù)雜的曲線也適用。設(shè)Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是復(fù)平面C{\displaystyle \mathbb {C} }的一個(gè)開(kāi)子集。f:Ω Ω -->→ → -->C{\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }是定義在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上的全純函數(shù)。無(wú)論Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }內(nèi)的曲線γ γ -->{\displaystyle \gamma }是自交還是卷繞數(shù)多于1（圍著某一點(diǎn)轉(zhuǎn)了不止一圈），只要γ γ -->{\displaystyle \gamma }能夠通過(guò)連續(xù)形變收縮為Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }內(nèi)的一點(diǎn)，就有：

證明

以下的證明對(duì)函數(shù)有較為嚴(yán)格的要求，但對(duì)物理學(xué)中的應(yīng)用來(lái)說(shuō)已經(jīng)足夠。設(shè)Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是復(fù)平面C{\displaystyle \mathbb {C} }的一個(gè)開(kāi)子集。f:Ω Ω -->→ → -->C{\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }是定義在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上的全純函數(shù)，γ γ -->{\displaystyle \gamma }是Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }內(nèi)的可求長(zhǎng)的簡(jiǎn)單閉合曲線。假設(shè)f{\偏導(dǎo)數(shù)playstyle f}的一階偏導(dǎo)數(shù)也在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上連續(xù)，那么可以根據(jù)格林定理作出證明。具體如下：

為了便于表達(dá)，將函數(shù)f{\displaystyle f}寫(xiě)為實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)：f(z)=f(x+yi)=u(x+yi)+iv(x+yi).{\displaystyle f(z)=f(x+yi)=u(x+yi)+i\,v(x+yi).} 由于dz=dx+idy{\displaystyle \displaystyle dz=dx+i\,dy}，積分

依據(jù)格林定理，右端的兩個(gè)環(huán)路積分都可以變形為γ γ -->{\displaystyle \gamma }圍成的區(qū)域Dγ γ -->{\displaystyle D_{\gamma }}上的面積分。

另一方面，由于f{\displaystyle f}是全純函數(shù)，所以它的實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)滿足柯西－黎曼方程：

所以以上的兩個(gè)積分中的被積函數(shù)都是0，

因而積分也是0：

推論

該定理的一個(gè)直接推論，是在單連通域內(nèi)全純函數(shù)的路徑積分可以用類似于微積分基本定理的方法來(lái)計(jì)算：設(shè)Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }是復(fù)平面C{\displaystyle \mathbb {C} }的一個(gè)開(kāi)子集。f:Ω Ω -->→ → -->C{\displaystyle f\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }是一個(gè)Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }上的全純函數(shù)。函數(shù)f{\displaystyle f}在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }內(nèi)的路徑積分，只與積分的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，與中間經(jīng)歷的路徑無(wú)關(guān)。假設(shè)，起點(diǎn)為a，則可以定義一個(gè)函數(shù)F:Ω Ω -->→ → -->C{\displaystyle F\;:\;\Omega \;\rightarrow \;\mathbb {C} }

其中的γ γ -->ab{\displaystyle \gamma _{a}^}可以是任何以a為起點(diǎn)，b為終點(diǎn)的分段可求長(zhǎng)簡(jiǎn)單曲線。函數(shù)F{\displaystyle F}被稱為f{\displaystyle f}的（復(fù)）原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)函數(shù)。

柯西積分定理與柯西積分公式是等價(jià)的。從柯西積分定理可以推導(dǎo)出柯西積分公式和留數(shù)定理。

參見(jiàn)

柯西－黎曼方程

柯西積分公式

留數(shù)

參考來(lái)源

參考文獻(xiàn)

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