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內(nèi)容

如果函數(shù)f(x){\displaystyle f(x)}及g(x){\displaystyle g(x)}滿(mǎn)足

在閉區(qū)間[a,b]{\displaystyle [a,b]}上連續(xù)；

在開(kāi)區(qū)間(a,b){\displaystyle (a,b)}內(nèi)可導(dǎo)，

對(duì)任意x∈ ∈ -->(a,b),g′(x)≠ ≠ -->0{\displaystyle x\in (a,b),g"(x)\neq 0}，那么在(a,b){\displaystyle (a,b)}內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ ξ -->(a<b){\displaystyle \xi (a 使等式

柯西定理的幾何意義

成立。

其幾何意義為：用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。

但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(diǎn)(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切線，因?yàn)榭赡艽嬖谝恍ヽ值使f′(c) = g′(c) = 0,換句話說(shuō)取某個(gè)值時(shí)位于曲線的駐點(diǎn);在這些點(diǎn)似乎曲線根本沒(méi)有切線。下面是這種情形的一個(gè)例子

在區(qū)間[?1,1]上，曲線由(?1,0)到(1,0),卻并無(wú)一個(gè)水平切線;然而它有一個(gè)駐點(diǎn)(實(shí)際上是一個(gè)尖點(diǎn))在t = 0時(shí)。

柯西中值定理可以用來(lái)證明洛必達(dá)法則. (拉格朗日)中值定理是柯西中值定理當(dāng)g(t) = t時(shí)的特殊情況。

證明

首先，如果g(a)=g(b){\displaystyle g(a)=g(b)}，由羅爾定理，存在一點(diǎn)x0∈ ∈ -->(a,b){\displaystyle x_{0}\in (a,b)}使得g′(x0)=0{\displaystyle g"(x_{0})=0}，與條件3矛盾。所以g(a)≠ ≠ -->g(b){\displaystyle g(a)\neq g(b)}。

令h(x)=f(x)? ? -->f(b)? ? -->f(a)g(b)? ? -->g(a)? ? -->g(x){\displaystyle h(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g(x)}。那么

h{\displaystyle h}在[a,b]{\displaystyle [a,b]}上連續(xù)，

h{\displaystyle h}在(a,b){\displaystyle (a,b)}上可導(dǎo)，

h(a)=h(b)=f(a)g(b)? ? -->f(b)g(a)g(b)? ? -->g(a){\displaystyle h(a)=h(b)={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}}。由羅爾定理，存在一點(diǎn)ξ ξ -->∈ ∈ -->(a,b){\displaystyle \xi \in (a,b)}使得h′(ξ ξ -->)=0{\displaystyle h"(\xi )=0}。即f′(ξ ξ -->)=f(b)? ? -->f(a)g(b)? ? -->g(a)? ? -->g′(ξ ξ -->){\displaystyle f"(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g"(\xi )}。命題得證。

參見(jiàn)

拉格朗日中值定理

微分中值定理

羅爾定理

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