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定理

假設(shè) I = [ a , b ] {\displaystyle I=[a,b]} 是一個(gè)實(shí)數(shù)里的閉區(qū)間，而 f : : --> I → → --> R {\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R連續(xù)函數(shù) 是連續(xù)函數(shù)，那么其像集 f ( I ) {\displaystyle f(I)} 也是區(qū)間。它或者包含 [ f ( a ) , f ( b ) ] {\displaystyle [f(a),f(b)]} （如果 f ( a ) ≤ ≤ --> f ( b ) {\displaystyle f(a)\leq f(b)} ），或者包含 [ f ( b ) , f ( a ) ] {\displaystyle [f(b),f(a)]} （如果 f ( b ) ≤ ≤ --> f ( a ) {\displaystyle f(b)\leq f(a)} ）。換言之：

f ( I ) ? ? --> [ f ( a ) , f ( b ) ] {\displaystyle \displaystyle f(I)\supseteq [f(a),f(b)]} ,

或

f ( I ) ? ? --> [ f ( b ) , f ( a ) ] {\displaystyle \displaystyle f(I)\supseteq [f(b),f(a)]} .

介值定理通常以下述等價(jià)的形式表述：假設(shè) f : : --> I → → --> R {\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} } 是連續(xù)函數(shù)，且實(shí)數(shù) u {\displaystyle u} 滿足 f ( a ) < u u > f ( b ) {\displaystyle f(a)>u>f(b)} ，則存在 c ∈ ∈ --> ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 使得 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 。

證明

先證明第一種情況 f ( a ) < u < f ( b ) {\displaystyle f(a) ；第二種情況也類似。

設(shè) S {\displaystyle S} 為 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 內(nèi)所有 x {\displaystyle x} 的集合，使得 f ( x ) ? ? --> u {\displaystyle f(x)\leqslant u} 。那么 S {\displaystyle S} 是非空的，因?yàn)?a {\displaystyle a} 是 S {\displaystyle S} 的一個(gè)元素，且 S {\displaystyle S} 是上有界的，其上界為 b {\displaystyle b} 。于是，根據(jù)完備性完最小上界小上界 c = s u p {\displaystyle c=\mathrm {sup} } S {\displaystyle S} 一定存在。我們來(lái)證明 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 。

假設(shè) f ( c ) > u {\displaystyle f(c)>u} 。那么 f ( c ) ? ? --> u > 0 {\displaystyle f(c)-u>0} ，因此存在 δ δ --> > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得當(dāng) | x ? ? --> c | {\displaystyle \left|x-c\right| 時(shí)，就有 | f ( x ) ? ? --> f ( c ) | u {\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right| ，因?yàn)?f {\displaystyle f} 是連續(xù)函數(shù)。但是，這樣一來(lái)，當(dāng) | x ? ? --> c | {\displaystyle \left|x-c\right| 時(shí)，就有 f ( x ) > f ( c ) ? ? --> ( f ( c ) ? ? --> u ) = u {\displaystyle f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u} （也就是說，對(duì)于 ( c ? ? --> δ δ --> , c + δ δ --> ) {\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )} 內(nèi)的 x {\displaystyle x} ，都有 f ( x ) > u {\displaystyle f(x)>u} ）。因此 c ? ? --> δ δ --> {\displaystyle c-\delta } 是 S {\displaystyle S} 的一個(gè)上界，與我們假設(shè) c {\displaystyle c} 是最小上界以及 c ? ? --> δ δ --> < c {\displaystyle c-\delta 矛盾。

假設(shè) f ( c ) > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得當(dāng) | x ? ? --> c | {\displaystyle \left|x-c\right| 時(shí)，就有 | f ( x ) ? ? --> f ( c ) | f ( c ) {\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right| 。那么對(duì)于 ( c ? ? --> δ δ --> , c + δ δ --> ) {\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )} 內(nèi)的 x {\displaystyle x} ，都有 f ( x ) f ( c ) ) = u {\displaystyle f(x) ，因此存在大于 c {\displaystyle c} 的 x {\displaystyle x} ，使得 f ( x ) < u {\displaystyle f(x) ，這與 c {\displaystyle c} 的定義矛盾。

因此 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 。

與實(shí)數(shù)完備性的關(guān)系

此定理仰賴于實(shí)數(shù)完備性，它對(duì)有理數(shù)不成立。例如函數(shù) f ( x ) = x 2 ? ? --> 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}-2} 滿足 f ( 0 ) = ? ? --> 2 , f ( 2 ) = 2 {\displaystyle f(0)=-2,f(2)=2} ，但不存在滿足 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 的有理數(shù) x {\displaystyle x} 。

零點(diǎn)定理（波爾查諾定理）

零點(diǎn)定理是介值定理的一種特殊情況－如果曲線上兩點(diǎn)的值正負(fù)號(hào)相反，其間必定存在一個(gè)根：

由于零點(diǎn)定理可用來(lái)找一方程式的根，也稱為 勘根定理 。伯納德·波爾查諾于1817年證明了這個(gè)定理，同時(shí)證明了這個(gè)定理的一般情況（即介值定理）。以現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)說，他的證明并不算是非常嚴(yán)格。

現(xiàn)實(shí)世界中的意義

介值定理意味著在地球的任何大圓上，溫度、壓強(qiáng)、海拔、二氧化碳的濃度（或其他任何連續(xù)變化的變量），總存在兩個(gè)對(duì)跖點(diǎn)，在這兩個(gè)點(diǎn)上該變量的值是相同的。

證明： 取 f 為圓上的任何連續(xù)函數(shù)。通過圓的中心作一條直線，與圓相交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B 。設(shè) d 為 f ( A ) ? f ( B )的差。如果把這條直線旋轉(zhuǎn)180度，將得到值? d 。根據(jù)介值定理，一定存在某個(gè)旋轉(zhuǎn)角，使得 d = 0，在這個(gè)角度上便有 f ( A ) = f ( B )。

這是一個(gè)更加一般的結(jié)果——博蘇克-烏拉姆定理的特殊情況。

參見

中值定理

極值定理

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