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解釋

在物理學(xué)中，信號(hào)通常是波的形式，例如電磁波、隨機(jī)振動(dòng)或者聲波。當(dāng)波的頻譜密度乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)南禂?shù)后將得到每單位頻率波攜帶的功率，這被稱為信號(hào)的功率譜密度（power spectral density, PSD）或者譜功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率譜密度的單位通常用每赫茲的瓦特?cái)?shù)（W/Hz）表示，或者使用波長(zhǎng)而不是頻率，即每納米的瓦特?cái)?shù)（W/nm）來(lái)表示。

盡管并非一定要為信號(hào)或者它的變量賦予一定的物理量綱，下面的討論中假設(shè)信號(hào)在時(shí)域內(nèi)變化。

定義

能量譜密度

能量譜密度描述的是信號(hào)或者時(shí)間序列的能量如何隨頻率分布。這里，能量這個(gè)術(shù)語(yǔ)是用作信號(hào)處理中的推廣含義； 也就是說(shuō)，信號(hào) x(t){\displaystyle x(t)} 的能量 E{\displaystyle E} 為

能量譜密度對(duì)總能量有限的瞬變信號(hào)（也就是類似于脈沖信號(hào)的）最為適用。在這種情況下，帕塞瓦爾定理給出了用傅里葉變換x^ ^ -->(f)=∫ ∫ -->? ? -->∞ ∞ -->∞ ∞ -->e? ? -->2π π -->iftx(t)dt{\displaystyle {\hat {x}}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ift}x(t)dt} 表示信號(hào)能量的形式。

這里頻率 f{\displaystyle f} 單位為Hz，即每秒周期數(shù)。經(jīng)常使用角頻率ω ω -->=2π π -->f{\displaystyle \omega =2\pi f}。由于右邊的積分是信號(hào)的能量，被積函數(shù) |x^ ^ -->(f)|2{\displaystyle |{\hat {x}}(f)|^{2}} 可以理解為頻率為 f{\displaystyle f} 的信號(hào)中單位頻率包含的能量的密度函數(shù)。鑒于此，信號(hào) x(t){\displaystyle x(t)} 的能量譜密度定義為

舉一個(gè)物理上的例子來(lái)說(shuō)明如何測(cè)量信號(hào)的能量譜密度，假設(shè) V(t){\displaystyle V(t)} 表示阻抗為 Z{\displaystyle Z} 的傳輸線上傳播的電脈沖的電勢(shì)（單位伏特），并假設(shè)傳輸線末端是一個(gè)匹配電阻器（因而所有脈沖能量都傳到電阻器上并且不會(huì)反射回來(lái)）。由歐姆定律，t{\displaystyle t} 時(shí)刻傳遞到電阻器的功率等于 V(t)2/Z{\displaystyle V(t)^{2}/Z}，因此總能量可以通過(guò)以時(shí)間為變量對(duì) V(t)2/Z{\displaystyle V(t)^{2}/Z} 積分。要求得頻率 f{\displaystyle f} 時(shí)的能量譜密度 Sxx(f){\displaystyle S_{xx}(f)}，可以在傳輸線和電阻器之間加入一個(gè)只允許感興趣的頻率附近的很窄頻率范圍（Δ Δ -->f{\displaystyle \Delta f}）通過(guò)的帶通濾波器，并測(cè)量電阻器上消耗的總能量 E(f){\displaystyle E(f)}。f{\displaystyle f} 處的能量譜密度的值為 E(f)/Δ Δ -->f{\displaystyle E(f)/\Delta f}。在此例子中，由于功率 V(t)2/Z{\displaystyle V(t)^{2}/Z} 的單位為 V Ω，能量 E(f){\displaystyle E(f)} 的單位是 V s Ω = J，因此能量譜密度 E(f)/Δ Δ -->f{\displaystyle E(f)/\Delta f} 的單位為 J Hz。在許多情況下，常常不去除以 Z{\displaystyle Z}，于是單位就會(huì)是 V s Hz。

這個(gè)定義直接地推廣到了有無(wú)窮個(gè)值的離散信號(hào) xn{\displaystyle x_{n}}，比如一個(gè)離散時(shí)間采樣的信號(hào) xn=x(nΔ Δ -->t){\displaystyle x_{n}=x(n\,\Delta t)}：

其中 x^ ^ -->d(f){\displaystyle {\hat {x}}_usjdrcp(f)} 是 xn{\displaystyle x_{n}} 的離散傅里葉變換，而 x^ ^ -->d? ? -->(f){\displaystyle {\hat {x}}_wfis7ol^{*}(f)} 是 x^ ^ -->d(f){\displaystyle {\hat {x}}_e7ha7ft(f)} 的復(fù)共軛。采樣區(qū)間 Δ Δ -->t{\displaystyle \Delta t} 需要保持正確的物理單位并確保我們能恢復(fù)極限情況下 Δ Δ -->t→ → -->0{\displaystyle \Delta t\rightarrow 0} 連續(xù)的情況；不過(guò)在數(shù)學(xué)中往往將此區(qū)間設(shè)為1。

功率譜密度

上面能量譜密度的定義適用于能量集中在一個(gè)時(shí)間窗口附近的瞬變（脈沖狀信號(hào)）；因此信號(hào)的傅里葉變換一般存在。對(duì)于持續(xù)存在的連續(xù)信號(hào)，如平穩(wěn)過(guò)程，就必須定義功率譜密度（PSD）；這描述了一個(gè)信號(hào)或時(shí)間序列的功率隨頻率的分布，正如前面給出的簡(jiǎn)單例子一樣。在這里，功率可以是實(shí)際的物理功率，不過(guò)更多時(shí)候，為了更方便用于抽象信號(hào)，簡(jiǎn)單地確定為信號(hào)的平方值。例如，統(tǒng)計(jì)學(xué)系研究時(shí)間（或其他獨(dú)立變量）的函數(shù) x(t) 的方差，并類比電信號(hào)，習(xí)慣稱之為功率譜，即使沒(méi)有涉及到物理上的功率。若要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè) x(t) 的物理電壓源并加在1歐姆的電阻器兩端，于是在電阻器上消耗的瞬時(shí)功率就會(huì)是 x瓦特。

下面的時(shí)間平均給出了信號(hào) x(t){\displaystyle x(t)} 的平均功率 P：

注意平穩(wěn)過(guò)程有可能功率有限但能量無(wú)限。畢竟，能量是功率的積分，而平穩(wěn)信號(hào)持續(xù)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間。這就是在這些情況下不能使用上面定義的能量譜密度的原因。

在分析信號(hào) x(t){\displaystyle x(t)} 的頻率內(nèi)容時(shí)，可能會(huì)計(jì)算傅里葉變換 x^ ^ -->(ω ω -->){\displaystyle {\hat {x}}(\omega )}；但許多感興趣的信號(hào)的傅里葉變換都不存在。 由于這種復(fù)雜性，可以用僅僅在有限區(qū)間 [0, T] 把信號(hào)積分的截短傅里葉變換 x^ ^ -->T(ω ω -->){\displaystyle {\hat {x}}_{T}(\omega )}：

因此功率譜密度可以被定義為

這里 E 表示期望值；明確地，我們有

在后面形式中（對(duì)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)），可以改換變量 Δ Δ -->t=t? ? -->t′{\displaystyle \Delta t=t-t"}，隨著積分的極限（而非 [0,T]）趨近于無(wú)窮，所得信號(hào)的功率譜密度 Sxx(ω ω -->){\displaystyle S_{xx}(\omega )} 與自相關(guān)函數(shù)可視為傅里葉變換對(duì)（維納－辛欽定理）。自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)定義為 γ γ -->(τ τ -->)=? ? -->X(t)X(t+τ τ -->)? ? -->{\displaystyle \gamma (\tau )=\langle X(t)X(t+\tau )\rangle } 的統(tǒng)計(jì)量（或更一般地，在 X(t) 是復(fù)值函數(shù)時(shí)為 γ γ -->(τ τ -->)=? ? -->X(t)X? ? -->(t+τ τ -->)? ? -->{\displaystyle \gamma (\tau )=\langle X(t)X^{*}(t+\tau )\rangle }）。倘若 γ γ -->(τ τ -->){\displaystyle \gamma (\tau )} 是絕對(duì)可積的（并不總是如此），

許多作者實(shí)際上用這個(gè)等式來(lái)定義功率譜密度。

給定頻帶 [f1,f2]{\displaystyle [f_{1},f_{2}]}（或[ω ω -->1,ω ω -->2]{\displaystyle [\omega _{1},\omega _{2}]}）中信號(hào)的功率可以通過(guò)對(duì)頻率積分計(jì)算。由于 Sxx(? ? -->ω ω -->)=Sxx(ω ω -->){\displaystyle S_{xx}(-\omega )=S_{xx}(\omega )}，正、負(fù)頻率的功率相同，因而下面形式中的因子為2（這種因子取決于使用的慣例）：

更一般地，類似的技術(shù)可以被用來(lái)估計(jì)一個(gè)隨時(shí)間變化的光譜密度。更一般地，可以使用類似的方法來(lái)估計(jì)時(shí)變譜密度。在這種情況下上面定義的 (0, T) 上的截短傅里葉變換不是通過(guò) T 趨近于無(wú)窮的極限計(jì)算的。這導(dǎo)致光譜覆蓋率和分辨率降低，因?yàn)椴粫?huì)采樣小于 1/T 的頻率，而 1/T 的整數(shù)倍頻率的結(jié)果不是獨(dú)立的。

性質(zhì)

f(t){\displaystyle f(t)} 的譜密度和 f(t){\displaystyle f(t)} 的自相關(guān)組成一個(gè)傅里葉變換對(duì)（對(duì)于功率譜密度和能量譜密度來(lái)說(shuō)，使用著不同的自相關(guān)函數(shù)定義）。

通常使用傅里葉變換技術(shù)估計(jì)譜密度，但是也可以使用如Welch法（Welch"s method）和最大熵這樣的技術(shù)。

傅里葉分析的結(jié)果之一就是Parseval定理（Parseval"s theorem），這個(gè)定理表明能量譜密度曲線下的面積等于信號(hào)幅度平方下的面積，總的能量是：

：上面的定理在離散情況下也是成立的。另外的一個(gè)結(jié)論是功率譜密度下總的功率與對(duì)應(yīng)的總的平均信號(hào)功率相等，它是逐漸趨近于零的自相關(guān)函數(shù)。

相關(guān)概念

大多數(shù)“頻率”圖實(shí)際上僅僅表示了譜密度。有時(shí)完整的頻率要用兩部分來(lái)表示，一部分是對(duì)應(yīng)于頻率的“幅度”（它就是譜密度），另外一部分是對(duì)應(yīng)于頻率的“相位”（它包含了頻譜中剩余的其它信息）。信號(hào) f(t) 可以從一個(gè)完整的頻譜進(jìn)行恢復(fù)。需要注意的是 f(t) 不能僅僅從譜密度這一部分進(jìn)行恢復(fù)——它丟失了“臨時(shí)信息”。

信號(hào)的 譜矩心（spectral centroid） 是譜密度函數(shù)的中點(diǎn)，也就是說(shuō)將整個(gè)分布切分成兩個(gè)相等部分的點(diǎn)。

譜密度是頻率的函數(shù)，而不是時(shí)間的函數(shù)。但是，也可以計(jì)算一個(gè)較長(zhǎng)信號(hào)上一小段“窗口”的譜密度，并且根據(jù)與事件相關(guān)的窗口進(jìn)行繪圖，這樣的圖形稱為頻譜圖（spectrogram)。這是短時(shí)傅里葉變換和小波等許多譜分析技術(shù)的基礎(chǔ)。

應(yīng)用

電子工程

信號(hào)功率譜的概念和應(yīng)用是電子工程的基礎(chǔ)，尤其是在電子通信系統(tǒng)中，例如無(wú)線電和微波通信、雷達(dá)以及相關(guān)系統(tǒng)。人們已經(jīng)花費(fèi)了很大的精力和大量的金錢(qián)投入到開(kāi)發(fā)、生產(chǎn)“頻譜分析儀”這種電子設(shè)備，用來(lái)幫助電子工程師、技術(shù)人員、技工觀察、測(cè)量電子信號(hào)的功率譜。頻譜分析儀的價(jià)格根據(jù)帶寬和精度的不同而不同，質(zhì)量最好的儀器的價(jià)格超過(guò) 100，000 美元。

色度學(xué)

光源的頻譜是每個(gè)頻率攜帶的功率或者光源中“顏色”的度量。光譜通常是沿著可見(jiàn)光在波長(zhǎng)空間而不是頻率空間測(cè)量的不同點(diǎn)（通常是 31 個(gè)點(diǎn)）進(jìn)行測(cè)量，它不是嚴(yán)格意義上的譜密度。一些分光光度計(jì)能夠分辨高達(dá) 1 到 2納米的增量精度，測(cè)量值用來(lái)計(jì)算其它的規(guī)格然后繪制出來(lái)顯示光源的頻譜屬性。這對(duì)于分析特定光源的顏色特性來(lái)說(shuō)是一個(gè)非常有用的工具。

參見(jiàn)

噪聲的顏色

譜泄漏

窗函數(shù)

頻域

頻譜

雙譜

^Oppenheim; Verghese. Signals, Systems, and Inference. : 32–4. 

^2.02.1Stein, Jonathan Y. Digital Signal Processing: A Computer Science Perspective. Wiley. 2000: 115. 

^Hannes Risken.The Fokker–Planck Equation: Methods of Solution and Applications2nd. Springer. 1996: 30. ISBN 9783540615309. 

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^5.05.1Scott Millers & Donald Childers. Probability and random processes. Academic Press. 2012: 370–5. 

^TheWiener–Khinchin theoremmakes sense of this formula for anywide-sense stationary processunder weaker hypotheses: γ γ -->{\displaystyle \gamma } does not need to be absolutely integrable, it only needs to exist. But the integral can no longer be interpreted as usual. The formula also makes sense if interpreted as involvingdistributions(in the sense ofLaurent Schwartz, not in the sense of a statisticalCumulative distribution function) instead of functions. If γ γ -->{\displaystyle \gamma } is continuous, Bochner"s theorem can be used to prove that its Fourier transform exists as a positivemeasure, whose distribution function is F (but not necessarily as a function and not necessarily possessing a probability density).

^Dennis Ward Ricker.Echo Signal Processing. Springer. 2003. ISBN 1-4020-7395-X. 

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