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經(jīng)典電荷密度

假設(shè)，一個體積為 V{\displaystyle V} 的載電體，其電荷密度 ρ ρ -->0{\displaystyle \rho _{0}} 是均勻的，跟位置無關(guān)，那么，總電荷量 Q{\displaystyle Q} 為

假設(shè)，在某一區(qū)域內(nèi)有 N{\displaystyle N} 個離散的點電荷，像電子。那么，電荷密度可以用狄拉克δ函數(shù)來表達為

其中， r{\displaystyle \mathbf {r} } 是檢驗位置，qi{\displaystyle q_{i}} 是位置為 ri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 的第 i{\displaystyle i} 個點電荷的電量。

量子電荷密度

氫原子的電子概率密度繪圖。橫排顯示不同的角量子數(shù)(l) ,豎排顯示不同的能級(n) 。這也是氫原子的負(fù)電荷密度圖。氫原子的質(zhì)子的中心有一個正電性的質(zhì)子。

在量子力學(xué)里，類氫原子的中心有一個正電性的原子核，環(huán)繞著原子核四周的一個電子的軌域，其電荷密度可以用波函數(shù)ψ ψ -->(r){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} 表達為

其中，q{\displaystyle q} 是電子的電荷量。

注意到 |ψ ψ -->(r)|2{\displaystyle |\psi (\mathbf {r} )|^{2}} 是找到概率的概率。經(jīng)過歸一化，在全部空間找到電子的概率是

例如，氫原子的波函數(shù) ψ ψ -->nlm(r){\displaystyle \psi _{nlm}(\mathbf {r} )} 是

其中，Rnl{\displaystyle R_{nl}} 是徑向函數(shù)，Ylm(θ θ -->,? ? -->){\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\,\phi )} 是球諧函數(shù)，n{\displaystyl主量子數(shù) 是主量子數(shù)，l{\displaystyl角量子數(shù) 是角量子數(shù)，m{\displaystyl磁量子數(shù) 是磁量子數(shù)。

相對論性電荷密度

從相對論的角度來論述，導(dǎo)線的長度與觀察者的移動速度有關(guān)，所以電荷密度是一種相對論性觀念。安東尼·法蘭碁（Anthony French）在他的著作中表明，移動中的電荷密度會產(chǎn)生磁場力，會吸引或排斥其它載流導(dǎo)線。。使用閔可夫斯基圖，法蘭碁闡明，一條中性的載流導(dǎo)線，對于處于移動參考系的觀察者而言，為什么會貌似載有凈電荷密度。通過時空坐標(biāo)，研究電磁現(xiàn)象的領(lǐng)域稱為相對論性電磁學(xué)（relativistic electromagnetism）。

電荷守恒的連續(xù)方程

電荷密度與電流密度之間的關(guān)系式為：

其中，r{\displaystyle \mathbf {r} } 是位置，t{\displaystyle t} 是時間，J{\displaystyle \mathbf {J} } 是電流密度。

在電磁理論里，從麥克斯韋方程組，可以推導(dǎo)出電荷守恒的連續(xù)方程。根據(jù)加入位移電流項目后的安培定律，

其中，B{\displaystyle \mathbf {B} } 是磁場，E{\displaystyle \mathbf {E} } 是電場，μ μ -->0{\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數(shù)，? ? -->0{\displaystyle \epsilon _{0}} 是電常數(shù)。

取散度于方程的兩邊：

由于旋度的散度等于零，再根據(jù)高斯定律，可以得到想要的關(guān)系式

換另外一種比較直覺的推導(dǎo)方法。流入某體積 V{\displaystyle \mathbb {V} } 的凈電流為

其中，I{\displaystyle I} 是電流，S{\displaystyle \mathbb {S} } 是包圍體積 V{\displaystyle \mathbb {V} } 的閉曲面，dr2{\displaystyle \mathrm tgwlsud \mathbf {r} ^{2}} 是微小面矢量元素，垂直于 S{\displaystyle \mathbb {S} } 從體積內(nèi)朝外指出。

應(yīng)用散度定理，將這方程寫為

總電荷量 Q{\displaystyle Q} 與體積 V{\displaystyle \mathbb {V} } 內(nèi)的電荷密度 ρ ρ -->{\displaystyle \rho } 的關(guān)系為

電荷守恒要求，流入體積 V{\displaystyle \mathbb {V} } 的凈電流，等于體積 V{\displaystyle \mathbb {V} } 內(nèi)總電荷量 Q{\displaystyle Q} 的變率：

所以，

對于任意體積 V{\displaystyle \mathbb {V} } ，上述方程都成立。所以，可以將被積式提取出來：

電勢和電場

在一個體積區(qū)域 V′{\displaystyle \mathbb {V} "} 內(nèi)，源位置 r′{\displaystyle \mathbf {r} "} 的電荷密度為 ρ ρ -->(r′){\displaystyle \rho (\mathbf {r} ")} 的電荷分布，所產(chǎn)生在場位置 r{\displaystyle \mathbf {r} \!} 的電勢為

其中，d3r′{\displaystyle \mathrm 44v4fn8 ^{3}{r}"} 是微小體積元素。

電場E{\displaystyle \mathbf {E} } 是電勢的負(fù)梯度：

應(yīng)用矢量關(guān)系式

取散度于電場，

可以得到高斯定律的微分形式

和泊松方程

參閱

拉普拉斯方程

恩紹定理

格林互反定理 (Green"s reciprocity theorem)

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