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定義

設(shè) R {\displaystyle R} 為一 環(huán) ， I ? ? --> R {\displaystyle I\subset R} 為一 雙邊理想 。定等價(jià)關(guān)系價(jià)關(guān)系

令 R / I {\displaystyle R/I} 為其等價(jià)類的集合，其中的元素記作 a + I {\displaystyle a+I} ，其中 a {\displaystyle a} 是該元素在 R {\displaystyle R} 上任一代表元。我們可以在 R / I {\displaystyle R/I} 上定義環(huán)結(jié)構(gòu)：

以上運(yùn)算是明確定義的（在第二式中須用到 I {\displaystyle I} 是雙邊理想）。集合 R / I {\displaystyle R/I} 配合上述運(yùn)算稱作 R {\displaystyle R} 對(duì) I {\displaystyle I} 的 商環(huán) 。根據(jù)定義，商映射 R → → --> R / I , a ? ? --> a + I {\displaystyle R\rightarrow R/I,a\mapsto a+I} 是滿的環(huán)同態(tài)， I {\displaystyle I} 為此同態(tài)的核。

如果 R {\displaystyle R} 含單位元 1 {\displaystyle 1} ，則 1 + I {\displaystyle 1+I} 是 R / I {\displaystyle R/I} 的單位元。

注 ：若條件弱化為 I {\displaystyle I} 是左（或右）理想，上述兩式仍可賦予集合 R / I {\displaystyle R/I} 左（或右） R {\displaystyle R} -模結(jié)構(gòu)。

例子

最平凡的例子是 I = ( 0 ) , I = R {\displaystyle I=(0),I=R} ，此時(shí)分別得到 R / I = R , R / I = ( 0 ) {\displaystyle R/I=R,R/I=(0)} 。

取 R = Z , I = n Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} ,I=n\mathbb {Z} } ，商環(huán) Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 可視為模運(yùn)算的代數(shù)框架，其中的元素即模 n {\displaystyle n} 的剩余類。

商環(huán)是構(gòu)造代數(shù)擴(kuò)張的主要工具。例如取實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式環(huán) R = R [ X ] {\displaystyle R=\mathbb {R} [X]} ， I = ( X 2 + 1 ) R [ X ] {\displaystyle I=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]} ，則商環(huán) R [ X ] / ( X 2 + 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)} 與復(fù)數(shù)域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 同構(gòu)（考慮映射 f ( X ) + ( X 2 + 1 ) ? ? --> f ( i ) {\displaystyle f(X)+(X^{2}+1)\mapsto f(i)} ）。一般而言，設(shè) F {\displaystyle F} 為一個(gè)域， p ( X ) ∈ ∈ --> F [ X ] {\displaystyle p(X)\in F[X]} 為 F {\displaystyle F} 上的不可約多項(xiàng)式，則商環(huán) F [ X ] / p ( X ) {\displaystyle F[X]/p(X)} 的意義在于抽象地在 F {\displaystyle F} 上加進(jìn) p ( X ) {\displaystyle p(X)} 的一個(gè)根。

性質(zhì)

商環(huán)由下述泛性質(zhì)唯一決定（至多差一個(gè)同構(gòu)）：

事實(shí)上，若更設(shè) K e r ( ? ? --> ) = ( 0 ) {\displaystyle \mathrm {Ker} (\phi )=(0)} ，則 ψ ψ --> : R / I → → --> S {\displaystyle \psi :R/I\rightarrow S} 是單射。準(zhǔn)此， R {\displaystyle R} 的同態(tài)像無非是 R {\displaystyle R} 的商環(huán)。

理想的性質(zhì)常與其商環(huán)相關(guān)，例如當(dāng) R {\displaystyle R} 是交換含幺環(huán)時(shí)， I {\displaystyle I} 是素理想（或極大理想）當(dāng)且僅當(dāng) R / I {\displaystyle R/I} 是整環(huán)（或域）； R {\displaystyle R} 中包含 I {\displaystyle I} 的理想一一對(duì)應(yīng)于 R / I {\displaystyle R/I} 中的所有理想，此對(duì)應(yīng)由商映射的逆像給出。

文獻(xiàn)

Serge Lang, Algebra （2002）, Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

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