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定義

集合R和定義于其上的二元運算 + 和·，(R, +, ·)構(gòu)成一個 環(huán) ，若它們滿足：

(R, +)形成一個交換群，其單位元稱為 零元 ，記作‘0’。即：

(R, ·)形成一個幺半群，即：

乘法關(guān)于加法滿足分配律：

其中，乘法運算符·常被省略，所以 a·b 可簡寫為 ab。 此外，乘法是比加法優(yōu)先的運算，所以 a + bc 其實是 a + (b·c)。

基本性質(zhì)

考慮一個環(huán)R，根據(jù)環(huán)的定義，易知R有以下性質(zhì)：

?a∈R，a·0 = 0·a = 0；（這也是為什么0作為加法群的單位元，卻被稱為“零元”）"

證明:a·0 = a·(0 + 0) (環(huán)的結(jié)合律) = a·0 + a·0 => a·0 - a·0 = a·0 + a·0 - a·0 (環(huán)有加法逆元) => 0 = a·0 ； 0·a 同理

?a，b∈R，(-a)·b = a·(-b) = -(a·b)；

證明: (-a)·b = (-a)·b + (a·b) - (a·b) = (-a + a)·b - (a·b) (環(huán)的結(jié)合律) = 0·b - (a·b) = -(a·b) ； a·(-b) 同理，故(-a)·b = -(a·b) = a·(-b)

環(huán)的相關(guān)概念

特殊的環(huán)

此定義等價于以下任何一條：

例：整數(shù)環(huán)，多項式環(huán)

除環(huán)不一定是交換環(huán)。反例：四元數(shù)環(huán)。

非交換的除環(huán)是體。

交換的除環(huán)是域。

例子

集環(huán) ：非空集的集合R構(gòu)成一個環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)它滿足以下幾個條件中任何一個：

整數(shù)環(huán)是一個典型的交換且含單位環(huán)。

有理數(shù)環(huán)，實數(shù)域，復(fù)數(shù)域都是交換的含單位元環(huán)。

所有項的系數(shù)構(gòu)成一個環(huán)A的多項式全體A[X]是一個環(huán)。稱為A上的多項式環(huán)。

n為正整數(shù)，所有n×n的實數(shù)矩陣構(gòu)成一個環(huán)。

環(huán)的理想

考慮環(huán)(R, +, )，依環(huán)的定義知(R, +)是阿貝爾群。集合I ? R，考慮以下條件：

(I, +) 構(gòu)成 (R, +) 的子群。

?i ∈ I，r ∈ R，有i·r ∈ I。

?i ∈ I，r ∈ R，有r·i ∈ I。

若I滿足條件1，2則稱I是R的 右理想 ； 若I滿足條件1，3則稱I是R的 左理想 ； 若I滿足條件1，2，3，即I既是R的右理想，也是R的左理想，則稱I為R的 雙邊理想 ，簡稱 理想 。

示例

整數(shù)環(huán)的理想：整數(shù)環(huán) Z 只有形如{nZ}的理想。

基本性質(zhì)

在環(huán)中，(左，右，雙邊)理想的和與交仍然是(左，右，雙邊)理想。

在除環(huán)中，(左，右)理想只有平凡(左，右)理想。

對于環(huán)R的兩個理想A，B，記 A B = { ∑ ∑ --> k = 0 n a k b k | a k ∈ ∈ --> A , b k ∈ ∈ --> B } {\displaystyle AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}} 。則由定義易知：

相關(guān)概念

半素理想是一類比素理想相對較弱條件的理想，因為素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

有關(guān)環(huán)的其它概念

零因子 (zero divisor)：

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