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定理

設空間閉區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍起來的三維區(qū)域，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有

或

這里Σ是Ω的邊界（boundary），cos α、cos β、cos γ是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量的方向余弦。

這兩個公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數(shù)變換得到兩公式的右邊都等于 ∫ ∫ -->Σ Σ -->(P,Q,R)? ? -->ndS{\displaystyle \int _{\Sigma }(P,Q,R)\cdot \mathbf {n} \,dS}，其中 n{\displaystyle \mathbf {n} } 是曲面 Σ Σ -->{\displaystyle \Sigma } 的向外單位法向量。

用散度表示

高斯公式用散度表示為：

其中Σ是空間閉區(qū)域Ω的邊界曲面，而 n{\displaystyle \mathbf {n} } 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

用向量表示

令V代表有一間單閉曲面S為邊界的體積，f{\displaystyle \mathbf {f} }是定義在V中和S上連續(xù)可微的向量場。如果dS{\displaystyle d\mathbf {S} }是外法向向量面元，則

推論

對于標量函數(shù)g和向量場F的積，應用高斯公式可得：

對于兩個向量場F× × -->G{\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} }的向量積，應用高斯公式可得：

對于標量函數(shù)f和非零常向量的積，應用高斯公式可得：

對于向量場F和非零常向量的向量積，應用高斯公式可得：

例子

例子所對應的向量場。注意，向量可能指向球面的內側或者外側。

假設我們想要計算

其中S是一個單位球面，定義為

F是向量場

直接計算這個積分是相當困難的，但我們可以用高斯公式來把它簡化：

其中W是單位球:

由于函數(shù)y和z是奇函數(shù)，我們有：

因此：

因為單位球W的體積是4π/3.

二階張量的高斯公式

二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內容完整，首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的二階張量（詳見并矢張量或張量積）以及相關的概念和記號。在這里，向量和向量場用黑斜體字母表示，張量用正黑體字母表示。

兩個向量a{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}和b{\displaystyle {\boldsymbol }}并排放在一起所形成的量ab{\displaystyle {\boldsymbol {ab}}}被稱為向量a{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}和b{\displaystyle {\boldsymbol }}的并矢或并矢張量。要注意，一般來說，ab≠ ≠ -->ba{\displaystyle {\boldsymbol {ab}}\neq {\boldsymbol {ba}}}。

ab=0{\displaystyle {\boldsymbol {ab}}=0}的充分必要條件是a=0{\displaystyle {\boldsymbol {a}}=0}或b=0{\displaystyle {\boldsymbol }=0}。

二階張量就是有限個并矢的線性組合。

ab{\displaystyle {\boldsymbol {ab}}}分別線性地依賴于a{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}和b{\displaystyle {\boldsymbol }}。

二階張量T{\displaystyle \mathbf {T} }和向量a{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}的縮并T? ? -->a{\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}}以及a? ? -->T{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} }對 T{\displaystyle \mathbf {T} }和a{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}都是線性的。

特別是，當T=uv{\displaystyle \mathbf {T} ={\boldsymbol {uv}}}時，

所以，一般說來，T? ? -->a≠ ≠ -->a? ? -->T{\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}\neq {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} }。

下面舉一個例子：用二階張量及其與向量的縮并來重新寫(a× × -->b)× × -->c{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol })\times {\boldsymbol {c}}}和a× × -->(b× × -->c){\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol }\times {\boldsymbol {c}})}。

我們還用到二階張量T{\displaystyle \mathbf {T} }的轉置T′{\displaystyle \mathbf {T} "}（又可以記為Tt{\displaystyle \mathbf {T} ^{\mathrm {t} }}），定義如下：

T′{\displaystyle \mathbf {T} "}仍然是一個二階張量，并且線性地依賴于T{\displaystyle \mathbf {T} }。

(uv)′=vu{\displaystyle ({\boldsymbol {uv}})"={\boldsymbol {vu}}}。

定理：設 V{\displaystyle V}是三維歐幾里得空間中的一個有限區(qū)域，S{\displaystyle S}是它的邊界曲面，n^ ^ -->{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}是S{\displaystyle S法線外法線方單位向量位向量，T{\displaystyle \mathbf {T} }是定義在V{\displaystyle V}的某個開鄰域上的C1{\displaystyle C^{1}}連續(xù)的二階張量場，T′{\displaystyle \mathbf {T} "}是T{\displaystyle \mathbf {T} }的轉置，則

證明：下面以第二個式子為例進行證明。令第二個式子的左邊為F{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}，則

接下來利用向量場的高斯公式，可得

于是

至此證畢。

參閱

格林定理

斯托克斯定理

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