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積分形式

采用國(guó)際單位制，對(duì)于空間內(nèi)的任意體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } ，其表面 A {\displaystyle \mathbb {A} } ，真空中的高斯定律的積分形式可以用方程表達(dá)為

其中， E {\displaystyle \mathbf {E} } 為電場(chǎng)， d a ′ {\displaystyle d\mathbf {a} "} 為閉合曲面 A {\displaystyle \mathbb {A} } 的微分面積，由曲面向外定義為其方向， Q {\displaystyle Q} 是在體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內(nèi)的總電荷數(shù)量。

電通量 Φ Φ --> A {\displaystyle \Phi _{\mathbb {A} }} 是穿過(guò)曲面 A {\displaystyle \mathbb {A} } 的電場(chǎng)線數(shù)量：

Q {\displaystyle Q} 包括自由電荷和束縛電荷（在電介質(zhì)內(nèi)，因電極化強(qiáng)度而產(chǎn)生的電荷）。

? ? --> 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 是真空電容率。

應(yīng)用

給予空間的某個(gè)區(qū)域內(nèi)，任意位置的電場(chǎng)。原則上，應(yīng)用高斯定律，可以很容易地計(jì)算出電荷的分布。只要積分電場(chǎng)于任意區(qū)域的表面，再乘以真空電容率，就可以得到那區(qū)域內(nèi)的電荷數(shù)量。

但是，更常遇到的是逆反問(wèn)題。給予電荷的分布，求算在某位置的電場(chǎng)。這問(wèn)題比較難解析。雖然知道穿過(guò)某一個(gè)閉合曲面的電通量，這資料仍舊不足以解析問(wèn)題。在閉合曲面任意位置的電場(chǎng)可能會(huì)是非常的復(fù)雜。

假若，問(wèn)題本身顯示出某種對(duì)稱性，促使在閉合曲面位置的電場(chǎng)大小變得均勻。那么，就可以借著這均勻性來(lái)計(jì)算電場(chǎng)。像圓柱對(duì)稱、平面對(duì)稱、球?qū)ΨQ等等，這些空間的對(duì)稱性，都能幫助高斯定律來(lái)解析問(wèn)題。若想知道怎樣利用這些對(duì)稱性來(lái)計(jì)算電場(chǎng)，請(qǐng)參閱高斯曲面（ Gaussian surface ）。

微分形式

高斯定律的方程的微分形式為

其中 ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 為體電荷密度， ? ? --> 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 為真空電容率。

在數(shù)學(xué)里，高斯定律的微分形式等價(jià)于其積分形式。這等價(jià)關(guān)系可以用散度定理來(lái)證明。

自由電荷的高斯定律

自由電荷與束縛電荷

自由電荷是自由移動(dòng)，不被束縛于原子或分子內(nèi)的電荷；而束縛電荷則是束縛于原子或分子內(nèi)的電荷。當(dāng)遇到涉及電介質(zhì)的問(wèn)題時(shí)，才需要考慮到束縛電荷所產(chǎn)生的效應(yīng)。當(dāng)電介質(zhì)被置入于外電場(chǎng)時(shí)，電介質(zhì)內(nèi)的束縛電荷會(huì)被外電場(chǎng)影響，雖然仍舊束縛于其微觀區(qū)域（原子或分子），但會(huì)做微小位移。所有這些微小位移的貢獻(xiàn)造成了宏觀的電荷分布的改變。

雖然微觀而言，不論是自由電荷，還是束縛電荷，本質(zhì)上都是電荷。實(shí)際而言，對(duì)于某些案例，使用自由電荷的概念可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的解析。但有時(shí)候，由于問(wèn)題比較復(fù)雜，缺乏對(duì)稱性，必需采用其它方法來(lái)解析問(wèn)題。

積分形式

對(duì)于空間內(nèi)的任意體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } ，其表面 A {\displaystyle \mathbb {A} } ，這個(gè)高斯定律表述，可以用積分形式的方程表達(dá)為

其中， D {\displaystyle \mathbf {D} } 為電位移， d a ′ {\displaystyle d\mathbf {a} "} 為閉合曲面 A {\displaystyle \mathbb {A} } 的微分面積，由曲面向外定義為其方向， Q f r e e {\displaystyle Q_{\mathrm {free} }} 是在體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內(nèi)的自由電荷數(shù)量。

微分形式

只涉及自由電荷，這個(gè)高斯定律表述的微分形式可以表達(dá)為

其中， ρ ρ --> f r e e {\displaystyle \rho _{\mathrm {free} }} 是自由電荷密度，完全不包括束縛電荷。

請(qǐng)注意，在某種狀況下，雖然區(qū)域內(nèi)可能沒(méi)有自由電荷， ρ ρ --> f r e e = 0 {\displaystyle \rho _{\mathrm {free} }=0} 。但是，這并不表示電位移等于 0 。因?yàn)椋?

其中， P {\displaystyle \mathbf {P} } 是電極化強(qiáng)度。

取旋度于方程的兩邊，

所以，電位移很可能不等于 0 。最典型的例子是永電體。

在數(shù)學(xué)里，高斯定律的微分形式等價(jià)于其積分形式。這等價(jià)關(guān)系可以用散度定理來(lái)證明。

等價(jià)證明

線性電介質(zhì)

線性電介質(zhì)有一個(gè)簡(jiǎn)單良好的性質(zhì)，其 D {\displaystyle \mathbf {D} } 和 E {\displaystyle \mathbf {E} } 的關(guān)系方程為

其中， ? ? --> {\displaystyle \epsilon } 是物質(zhì)的電容率。

對(duì)于線性電介質(zhì)，又有一對(duì)等價(jià)的高斯定律表述：

高斯定律與庫(kù)侖定律的關(guān)系

從庫(kù)侖定律推導(dǎo)高斯定律

庫(kù)侖定律闡明，一個(gè)固定的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)是

其中， q ′ {\displaystyle q"} 是點(diǎn)電荷， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是電場(chǎng)位置， r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} 是點(diǎn)電荷位置。

根據(jù)這方程，計(jì)算位于 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} 的無(wú)窮小電荷元素所產(chǎn)生的位于 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的電場(chǎng)，積分體積曲域 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內(nèi)所有的無(wú)窮小電荷元素，可以得到電荷分布所產(chǎn)生的電場(chǎng)：

取這方程兩邊對(duì)于 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的散度：

注意到

其中， δ δ --> ( r ) {\displaystyle \delta (\mathbf {r} )} 是狄拉克δ函數(shù)。

所以， E ( r ) {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )} 的散度是

利用狄拉克δ函數(shù)的挑選性質(zhì)，可以得到高斯定律的微分形式：

由于庫(kù)侖定律只能應(yīng)用于固定不動(dòng)的電荷，對(duì)于移動(dòng)電荷，這導(dǎo)引不能證明高斯定律成立。事實(shí)是，對(duì)于移動(dòng)電荷，高斯定律也成立。所以，從這角度來(lái)看，高斯定律比庫(kù)侖定律更一般化。

從高斯定律推導(dǎo)庫(kù)侖定律

嚴(yán)格地說(shuō)，從高斯定律不能數(shù)學(xué)推導(dǎo)出庫(kù)侖定律，高斯定律并沒(méi)有給出任何關(guān)于電場(chǎng)的旋度的資料（參閱亥姆霍茲定理和法拉第電磁感應(yīng)定律）。但是，假若能夠添加一個(gè)對(duì)稱性假定，即電荷造成的電場(chǎng)是球?qū)ΨQ的（就像庫(kù)侖定律本身一樣，在固定不動(dòng)電荷的狀況，這假設(shè)是正確的；在移動(dòng)電荷的狀況，這假設(shè)是近乎正確的），那么，就可以從高斯定律推導(dǎo)出庫(kù)侖定律。

高斯定律的方程為

設(shè)定高斯定律積分的曲面 A {\displaystyle \mathbb {A} } 為一個(gè)半徑 r {\displaystyle r} 圓球面，圓心位置在電荷 Q {\displaystyle Q} 的位置。那么，由于球?qū)ΨQ性， E = E ( r ) r ^ ^ --> {\displaystyle \mathbf {E} =E(r){\hat {\mathbf {r} }}} ， E ( r ) {\displaystyle E(r)} 與 d a ′ {\displaystyle d\mathbf {a} "} 無(wú)關(guān)，可以將 E ( r ) {\displaystyle E(r)} 從積分內(nèi)提出：

所以，庫(kù)侖定律成立：

參閱

卡爾·高斯

鏡像法

恩紹定理（ Earnshaw"s theorem ）

格林互反定理（ Green"s reciprocity theorem ）

多極展開（ multipole expansion ）

參考文獻(xiàn)

Jackson, John David. Classical Electrodynamic 3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 978-0-471-30932-1.

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