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定義

定義向量場的散度，首先要引入通量的概念。給定一個三維空間中的向量場 A {\displaystyle \mathbf {A} } 以及一個簡單有向曲面 Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma } ，則向量場 A {\displaystyle \mathbf {A} } 通過曲面 Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma } 的通量就是曲面每一點 x {\displaystyle x} 上的場向量 A ( x ) {\displaystyle \mathbf {A} (x)} 在曲面法向方向上的分量的積分:

其中 d S {\displaystyle \mathrm bxzh7l9 S} 是積分的面積元，n是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量。如果曲面是封閉的，例如球面，那么通常約定法向量是從里朝外的，所以這時候的通量是描述曲面上的場向量朝外的程度。

通量描述了一固定區(qū)域（也就是 Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma } ）上向量場的流通傾向，散度在某點的值則是這個性質(zhì)的在這點的局部描述，也就是說，從散度在一點的值，我們可以看出向量場在這點附近到底傾向發(fā)散還是收斂。要算某一點 x {\displaystyle x} 的散度，先求包含這一點的某一個封閉曲面 Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma } 的通量 Φ Φ --> A ( Σ Σ --> ) {\displaystyle \Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )} 除以封閉曲面 Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma } 圍起來的微小體元 δ δ --> V {\displaystyle \delta V} 的體積 （這個體積用 | δ δ --> V | {\displaystyle |\delta V|} 表示） 得到的比值，矢量場 A {\displaystyle \mathbf {A} } 在點 x {\displaystyle x} 的散度即是這個比值在體積微元 δ δ --> V {\displaystyle \delta V} 趨向于點 x {\displaystyle x} 時的極限。用數(shù)學(xué)公式表示即：

如果用Nabla算子 ? ? --> {\displaystyle \nabla } 表示的話，向量場 A {\displaystyle \mathbf {A} } 的散度記作： div A = ? ? --> ? ? --> A . {\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} .}

物理意義

從定義中可以看出，散度是向量場的一種強度性質(zhì)，就如同密度、濃度、溫度一樣，它對應(yīng)的廣延性質(zhì)是一個封閉區(qū)域表面的通量，所以說散度是通量的體密度。下面從散度的極限表達式來看它的物理意義。

設(shè) P {\textstyle \mathbf {P} } 為場域V中的一點，現(xiàn)作包圍 P {\textstyle \mathbf {P} } 點的任一閉合曲面 S {\textstyle \mathbf {S} } ， Δ Δ --> V {\displaystyle \Delta V} 是S面所圍的區(qū)域。那么：

∮ S A ? ? --> d S = ? ? --> Δ Δ --> V d i v A d V ( 1 ) {\displaystyle \oint _{S}{\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} }=\iiint \limits _{\Delta V}\mathrm {div} \mathbf {A} dV\;\;\;\;(1)}

利用中值定理得

? ? --> Δ Δ --> V d i v A d V = ( d i v A ) x ? ? --> | Δ Δ --> V | ( 2 ) {\displaystyle \iiint \limits _{\Delta V}\mathrm {div} \mathbf {A} dV=\mathrm {(} \mathrm {div} \mathbf {A} \mathrm {)} _{x}\cdot |\Delta V|\;\;\;\;(2)}

式中 x {\displaystyle x} 為 Δ Δ --> V {\displaystyle \Delta V} 中的某一點， | Δ Δ --> V | {\displaystyle |\Delta V|} 為 Δ Δ --> V {\displaystyle \Delta V} 的體積。帶入(1)中后得

( d i v A ) x = 1 | Δ Δ --> V | ∮ S A ? ? --> d S {\displaystyle \mathrm {(} \mathrm {div} \mathbf {A} \mathrm {)} _{x}={\frac {1}{|\Delta V|}}\oint _{S}{\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} }}

令 Δ Δ --> V {\displaystyle \Delta V} 向點P收縮，則 x {\displaystyle x} 點就趨向于P點，所以在P點的散度可由下列極限表示

( d i v A ) P = lim Δ Δ --> V → → --> P 1 | Δ Δ --> V | ∮ S A ? ? --> d S {\displaystyle (\mathrm {div} \mathbf {A} )_{P}=\lim _{\Delta V\rightarrow P}{\frac {1}{|\Delta V|}}\oint _{S}{\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} }}

若在上式中令 Δ Δ --> Φ Φ --> = ∮ S A ? ? --> d S {\textstyle \Delta \Phi =\oint _{S}{\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} }} ,那么

( d i v A ) P = lim Δ Δ --> V → → --> P 1 | Δ Δ --> V | ∮ S A ? ? --> d S = lim Δ Δ --> V → → --> P Δ Δ --> Φ Φ --> | Δ Δ --> V | = d Φ Φ --> d V {\displaystyle (\mathrm {div} \mathbf {A} )_{P}=\lim _{\Delta V\rightarrow P}{\frac {1}{|\Delta V|}}\oint _{S}{\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} }=\lim _{\Delta V\rightarrow P}{\frac {\Delta \Phi }{|\Delta V|}}={\frac {d\Phi }{dV}}}

由此可見，散度是通量 Φ Φ --> {\textstyle \Phi } 對曲面所圍區(qū)域體積的變化率，也可看成通量在V中的分布密度。所以 d i v A {\textstyle \mathrm {div} \mathbf {A} } 也稱為通量密度。

物理上，散度的意義是場的有源性。某一點或某個區(qū)域的散度大于零，表示向量場在這一點或這一區(qū)域有新的通量產(chǎn)生，小于零則表示向量場在這一點或區(qū)域有通量湮滅。這樣的點或區(qū)域分別稱為向量場的正源（發(fā)散源）和負(fù)源（洞）。舉例來說，假設(shè)將太空中各個點的熱輻射強度向量看做一個向量場，那么某個熱輻射源（比如太陽）周邊的熱輻射強度向量都指向外，說明太陽是不斷產(chǎn)生新的熱輻射的源頭，其散度大于零。

散度等于零的區(qū)域稱為無源場或管形場。流體力學(xué)中，散度為零的流體稱為不可壓縮流體，也就是說此流體中不會有一部分憑空消失或突然產(chǎn)生，每個微小時間間隔中流入一個微小體元的流體總量都等于在此時間間隔內(nèi)流出此體元的流體總量。

分量表示

在不同的坐標(biāo)系下，向量場的散度有不同的表達方式。

直角坐標(biāo)系

在三維直角坐標(biāo)系 x y z {\displaystyle xyz} 中，設(shè)向量場 A {\displaystyle \mathbf {A} } 的表示為：

其中的 i , j , k {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} } 分別是 x {\displaystyle x} 軸、 y {\displaystyle y} 軸、 z {\displaystyle z} 軸方向上的單位向量，場的分量 P , Q , R {\displaystyle P,Q,R} 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么向量場 A {\displaystyle \mathbf {A} } 的散度就是：

圓柱坐標(biāo)系

圓柱坐標(biāo)系中，假設(shè)物體的位置為 ( r , φ φ --> , z ) {\displaystyle (r,\varphi ,z)} ，定義其徑向單位矢量、橫向單位矢量和縱向單位矢量為 e r , e φ φ --> , e z {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\varphi },{\boldsymbol {e}}_{z}} ，那么向量場 A {\displaystyle \mathbf {A} } 可以表示成：

向量場A的散度就是：

球坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系中，假設(shè)物體的位置用球坐標(biāo)表示為 ( r , θ θ --> , φ φ --> ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ，定義它的基矢： e r , e θ θ --> , e φ φ --> {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r},{\boldsymbol {e}}_{\theta },{\boldsymbol {e}}_{\varphi }} ，則向量場A可以表示成：

向量場A的散度就是：

性質(zhì)

以下的性質(zhì)都可以從常見的求導(dǎo)法則推出。最重要的是，散度是一個線性算子，也就是說：

其中F和G是向量場，a和b是實數(shù)。

設(shè) φ φ --> {\displaystyle \varphi } 是標(biāo)量函數(shù)，F(xiàn)是向量場，則它們的乘積的散度為：

設(shè)有兩個向量場F和G，則它們的向量積的散度為：

其中 curl {\displaystyle \operatorname {curl} } 是旋度。

對一個標(biāo)量場求梯度后再求散度，等于拉普拉斯算子作用在其上：

高斯散度定理

既然向量場某一處的散度是向量場在該處附近通量的體密度，那么對某一個體積內(nèi)的散度進行積分，就應(yīng)該得到這個體積內(nèi)的總通量。事實上可以證明這個推論是正確的，稱為高斯散度定理。高斯定理說明，如果在體積V內(nèi)的向量場A擁有散度，那么散度的體積分等于向量場在V的表面S的面積分：

歷史

作為向量分析的基礎(chǔ)概念，散度同樣源自對四元數(shù)上的微積分研究。哈密爾頓在介紹四元數(shù)的運算時，將一個四元數(shù) q = A + B i + C j + D k {\displaystyle q=A+B{\boldsymbol {i}}+C{\boldsymbol {j}}+D{\boldsymbol {k}}} 中的 A {\displaystyle A} 稱為“標(biāo)量部分”（scalar part），將 B i + C j + D k {\displaystyle B{\boldsymbol {i}}+C{\boldsymbol {j}}+D{\boldsymbol {k}}} 稱為“向量部分”（vector part）。他引入了四元數(shù)的偏微分算子 ? ? --> = i d d x + j d d y + k d d z {\displaystyle \nabla ={\boldsymbol {i}}{\frac {\mathrm soaipw1 }{\mathrm bnvmmdm x}}+{\boldsymbol {j}}{\frac {\mathrm dn7pefo }{\mathrm iv7bssw y}}+{\boldsymbol {k}}{\frac {\mathrm r56nis8 }{\mathrm lahy20z z}}} （即 ? ? --> {\displaystyle \nabla } 算子）后，計算 ? ? --> {\displaystyle \nabla } 對一個四元數(shù)之向量部分 σ σ --> = B i + C j + D k {\displaystyle \sigma =B{\boldsymbol {i}}+C{\boldsymbol {j}}+D{\boldsymbol {k}}} 的效果：

麥克斯韋在1873年的論文中將其中的“標(biāo)量部分”： ? ? --> ( d B d x + d C d y + d D d z ) {\displaystyle -\left({\frac {\mathrm e84k20v B}{\mathrm uyvuaxz x}}+{\frac {\mathrm n1fuhrb C}{\mathrm zdwchj8 y}}+{\frac {\mathrm chkpmqh D}{\mathrm uedbdxj z}}\right)} 稱為“聚集度”（Convergence），而將“向量部分”： ( d D d y ? ? --> d C d z ) i + ( d B d z ? ? --> d D d x ) j + ( d C d x ? ? --> d B d y ) k {\displaystyle \left({\frac {\mathrm jvv2jdd D}{\mathrm eadihr3 y}}-{\frac {\mathrm ohkrg94 C}{\mathrm 4julau1 z}}\right){\boldsymbol {i}}+\left({\frac {\mathrm kxiig1t B}{\mathrm qsdcar1 z}}-{\frac {\mathrm avxykca D}{\mathrm z8ek6bh x}}\right){\boldsymbol {j}}+\left({\frac {\mathrm lxiquyi C}{\mathrm 0oc7neg x}}-{\frac {\mathrm qrytvsa B}{\mathrm 9stioo0 y}}\right){\boldsymbol {k}}} 稱為“旋度”（Curl）或“變度”（Version）。海維賽德在1883年發(fā)表的論文：《電學(xué)與磁學(xué)中的若干關(guān)系》（Some Electrostatic and Magnetic Relations）中討論了靜電場中電場力的聚集度。他計算出在電荷體密度為 ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 的一點上，有： 4 π π --> ρ ρ --> = ? ? --> conv R = d R x d x + d R y d y + d R z d z . {\displaystyle 4\pi \rho =-\operatorname {conv} \,R={\frac {\mathrm mb4hogi R_{x}}{\mathrm lypf82e x}}+{\frac {\mathrm 0xiaw1c R_{y}}{\mathrm tqkulj7 y}}+{\frac {\mathrm t1llrjt R_{z}}{\mathrm hunuzj0 z}}.\,} 其中 R {\displaystyle R} 是電場力。他將這個關(guān)系解釋為電荷的存在是電場力匯聚的相反。如果將聚集度解釋為電場力進入一個微小體積的總和，那么加上一個負(fù)號之后，就可以描述一個微小體積中散發(fā)出的電場力總和，他將其稱為“散度”（divergence）。他認(rèn)為有必要將 ? ? --> {\displaystyle \nabla } 算子對一個四元數(shù) q {\displaystyle q} 的作用效果分開，并將 ? ? --> q {\displaystyle \nabla q} 的向量部分分成散度部分 div q {\displaystyle \operatorname {div} \,q} 和旋度部分 curl q {\displaystyle \operatorname {curl} \,q} 。

參閱

旋度

梯度

高斯散度定理

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