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量子色動(dòng)力學(xué)范例

假設(shè)上夸克u{\displaystyle u} 與下夸克d{\displaystyle d} 的質(zhì)量為零，則這兩個(gè)夸克組成的物理系統(tǒng)的拉格朗日量為

其中，u{\displaystyle u} 與 d{\displaystyle d} 分別為上夸克與下夸克的狄拉克旋量（Dirac spinor），uˉ ˉ --> =def u? ? -->γ γ -->0{\displaystyle {\overline {u}}\ {\stackrel {def}{=}}\ u^{\dagger }\gamma ^{0}} 與 dˉ ˉ --> =def d? ? -->γ γ -->0{\displaystyle {\overline vpjptlm}\ {\stackrel {def}{=}}\ d^{\dagger }\gamma ^{0}} 分別為它們的伴隨旋量，?D{\displaystyle \displaystyle {\not }D} 是協(xié)變導(dǎo)數(shù)，γ γ -->0{\displaystyle \gamma ^{0}} 是第零個(gè)狄拉克矩陣。

狄拉克旋量 ψ ψ -->{\displaystyle \psi } 可以按照手征性分解為左手狄拉克旋量 ψ ψ -->L{\displaystyle \psi _{L}} 與右手狄拉克旋量 ψ ψ -->R{\displaystyle \psi _{R}} ︰

其中，γ γ -->5{\displaystyle \gamma ^{5}} 是第五個(gè)狄拉克矩陣，(1? ? -->γ γ -->5)/2{\displaystyle (1\mp \gamma ^{5})/2} 是投影算符，可以挑選出狄拉克旋量的左手部分或右手部分。

拉格朗日量以左手狄拉克旋量與右手狄拉克旋量表示為

定義狄拉克旋量二重態(tài)為

重寫狄拉克旋量為

分別對(duì) qL{\displaystyle q_{L}} 、qR{\displaystyle q_{R}} 用2 x 2 么矩陣 L、R做旋轉(zhuǎn)變換，則拉格朗日量不變。這種對(duì)稱性稱為“手征對(duì)稱性”。這種變換為U(2)L× U(2)R變換，可以分解為SU(2)L×SU(2)R×U(1)V×U(1)A變換。

U(1)V變換的方式為

拉格朗日量對(duì)于這變換的對(duì)稱性關(guān)系到強(qiáng)子數(shù)量守恒。

U(1)A變換的方式為

拉格朗日量對(duì)于U(1)A變換的對(duì)稱性在量子層級(jí)被打破，這是一個(gè)明顯對(duì)稱性破缺，這結(jié)果稱為U(1)軸反常。

剩下的手征對(duì)稱性SU(2)L×SU(2)R會(huì)因夸克凝聚被自發(fā)打破為矢量子群SU(2)V，稱為同位旋。根據(jù)戈德斯通定理，當(dāng)連續(xù)對(duì)稱性被自發(fā)打破后必會(huì)生成一種零質(zhì)量玻色子，稱為戈德斯通玻色子。手征對(duì)稱性也是連續(xù)對(duì)稱性，它的戈德斯通玻色子是π介子。對(duì)應(yīng)于這三個(gè)生成子的戈德斯通玻色子為π介子。實(shí)際而言，由于上夸克與下夸克的質(zhì)量都很微小。SU(2)L×SU(2)R只是一個(gè)近似對(duì)稱性。因此，π介子具有些微質(zhì)量，是準(zhǔn)戈德斯通玻色子（pseudo-Goldstone boson）。

參閱

手征對(duì)稱性破缺

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