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相關(guān)名稱(chēng)

基本定義

真值表定義

A與B 的真值表（也寫(xiě)作 A ∧ ∧ --> {\displaystyle \land } B （邏輯學(xué)）， A && B （計(jì)算機(jī)科學(xué)），或 A ? ? --> {\displaystyle \cdot } B （電子學(xué)））。

A ∧ ∧ --> B {\displaystyle ~A\land B} 的真值表:

推理規(guī)則

合取引入規(guī)則 （∧+）（conjunction introduction rule）：

形式化為：

例如:

合取消去規(guī)則 （∧-）（Conjunction elimination rule）：

或者,

形式化為:

或者,

合成與分解規(guī)則

作為一種推理規(guī)則，聯(lián)言推理的合成式是經(jīng)典邏輯中簡(jiǎn)單且有效的論證形式。這個(gè)論證形式有兩個(gè)前提， A 和 B ，可以直觀地推出他們的合取。

用邏輯運(yùn)算符寫(xiě)作：

下面的例子是一個(gè)滿足聯(lián)言推理的合成式的論證：

聯(lián)言推理的分解式是另一個(gè)在經(jīng)典邏輯中簡(jiǎn)單且有效的論證形式。從任何合取式中都可以直觀地推論出兩個(gè)前提中的任意一個(gè)。

...或者，

用邏輯運(yùn)算符描述為，

...或者

性質(zhì)

邏輯與滿足以下性質(zhì)：

結(jié)合律: A ∧ ∧ --> ( B ∧ ∧ --> C ) ≡ ≡ --> ( A ∧ ∧ --> B ) ∧ ∧ --> C {\displaystyle A\land (B\land C)\equiv (A\land B)\land C}

交換律: A ∧ ∧ --> B ≡ ≡ --> B ∧ ∧ --> A {\displaystyle A\land B\equiv B\land A}

分配律: ( A ∧ ∧ --> ( B ∨ ∨ --> C ) ) ≡ ≡ --> ( ( A ∧ ∧ --> B ) ∨ ∨ --> ( A ∧ ∧ --> C ) ) {\displaystyle (A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))}

冪等律: A ∧ ∧ --> A ≡ ≡ --> A {\displaystyle A\land A\equiv A}

單調(diào)性: ( A → → --> B ) → → --> ( ( C ∧ ∧ --> A ) → → --> ( C ∧ ∧ --> B ) ) {\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((C\land A)\rightarrow (C\land B))}

保真性 : 所有變量的真值皆為“真”的命題在邏輯與運(yùn)算后的結(jié)果為真。

保假性 : 所有變量的真值皆為“假”的命題在邏輯與運(yùn)算后的結(jié)果為假。

如果用二進(jìn)制來(lái)表達(dá)真（1）和假（0），邏輯與運(yùn)算與算術(shù)乘法運(yùn)算一致。

計(jì)算機(jī)科學(xué)中的運(yùn)用

與門(mén)

位運(yùn)算

邏輯與常在位運(yùn)算中使用，比如：

0 and 0 = 0

0 and 1 = 0

1 and 0 = 0

1 and 1 = 1

1100 and 1010 = 1000

編程中的使用

在高等計(jì)算機(jī)編程中，邏輯合取“與”通常由內(nèi)置算符and或&號(hào)來(lái)表達(dá)。很多編程語(yǔ)言還提供與邏輯與相應(yīng)的短路求值控制結(jié)構(gòu)。

布爾“與”也在SQL的運(yùn)算符中使用。有些數(shù)據(jù)庫(kù)區(qū)分大小寫(xiě)，需要"AND"符號(hào)。

在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，AND運(yùn)算符可以用來(lái)構(gòu)造位屏蔽，以選擇二進(jìn)制序列的一部分。比如 1001 1 101 AND 0000 1 000 = 0000 1 000 用來(lái)取二進(jìn)制序列的第五位。

交集運(yùn)算

集合論中的交運(yùn)算是用邏輯與來(lái)定義的： x ∈ A ∩ B 當(dāng)且僅當(dāng)( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B )。因此邏輯與有很多與交集運(yùn)算相同的性質(zhì)，諸如結(jié)合律，交換律，分配律，及德·摩根定律。

參見(jiàn)

與門(mén)

相關(guān)網(wǎng)頁(yè)

Wolfram Mathematics Conjunction

All Math Words Encyclopedia Conjunction

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