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歷史

1638年，伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡，證明了此線是擺線，并在1696年6月的《博學通報》發(fā)表。艾薩克·牛頓、雅各布·伯努利、萊布尼茲和洛必達都得出同一結(jié)論，即正確的答案應(yīng)該是擺線的一段。事實上，約翰·伯努利當時找到的證明方法是錯誤的。而正確的證法是由他的哥哥雅各布發(fā)現(xiàn)的，在他發(fā)現(xiàn)以后，伯努利則將其據(jù)為己有。除了洛必達的解外，其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現(xiàn)。

證明

約翰·伯努利的證明

費馬原理說明，兩點間光線傳播的路徑是所需時間最少的路徑。約翰·伯努利利用該原理，通過假設(shè)光在光速以恒定豎直加速度（也就是重力加速度g）加速的介質(zhì)中運動形成的軌跡來導出最速降線。

運用機械能守恒定律，可以導出在恒定重力場中運動的物體的速度滿足

式中y表示物體在豎直方向上下落的距離。通過機械能守恒可知，經(jīng)不同的曲線下落，物體的速度與水平方向的位移無關(guān)。 約翰·伯努利注意到，根據(jù)折射定律，一束光在密度不均的介質(zhì)中傳播時存在一常數(shù)

式中vm為常數(shù)，θ為軌跡與豎直方向的夾角，dx為水平方向路徑微分，ds為運動方向路徑微分。

通過上述方程，我們可以得到兩條結(jié)論：

在剛開始，當質(zhì)點的速度為零時，夾角也必然是零。因此，最速降線在起始處與豎直方向相切。

當軌跡變?yōu)樗郊磰A角變?yōu)?0°時，速度達到最大。

為了簡化過程，我們假設(shè)質(zhì)點（或光束）相對于原點(0,0)有坐標(x,y)，且當下落了豎直距離D后達到了最大速度，則

整理折射定律式中的各項并平方得到

可以解得dx對dy有

代入v和vm的表達式得到

這是一個由直徑為D的圓所形成的倒過來的擺線的微分方程。

雅各布·伯努利的證明

約翰的哥哥雅各布·伯努利說明了如何從二階微分得到最短時間的情況。一種現(xiàn)代版本的證明如下。 如果我們從最短時間路徑發(fā)生微小移動，那么形成三角形滿足

dy不變求微分，得到

最后整理得到

最后的部分即二階微分下距離的改變量與給定的時間的關(guān)系。現(xiàn)在考慮下圖中的兩條相鄰路徑，中間的水平間隔為dx。對新舊兩條路徑，改變量為

對于最短時間的路徑，兩個時間相等，故得到

因此最短時間的情況為

最速降線的數(shù)學形式與最短時間

在垂直平面上，自原點 ( 0 , 0 ) {\displaystyle \left(\,0,\,0\right)} 至目的地 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \left(\,x_{1},\,y_{1}\right)} 的最速降線具有以下數(shù)學形式：

x = 1 2 k 2 ( θ θ --> ? ? --> sin ? ? --> θ θ --> ) ,   y = 1 2 k 2 ( 1 ? ? --> cos ? ? --> θ θ --> ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}k^{2}\left(\theta -\sin \theta \right),\ y={\frac {1}{2}}k^{2}\left(1-\cos \theta \right).}

這里的 y {\displaystyle y} 座標軸方向向下，且 y 1 ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle y_{1}\geq 0} ； θ θ --> {\displaystyle \theta } 為此擺線參數(shù)表達式的參數(shù)，原點處 θ θ --> = 0 {\displaystyle \theta =0} 。

物體自原點沿最速降線滑至 θ θ --> = θ θ --> 1 {\displaystyle \theta =\theta _{1}} 處所需的時間可由以下積分式給出：

t = ∫ ∫ --> θ θ --> = 0 θ θ --> = θ θ --> 1 d t = ∫ ∫ --> θ θ --> = 0 θ θ --> = θ θ --> 1 d s v {\displaystyle t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}\mathrm xalcjr2 t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}{\frac {\mathrm mqbsoyj s}{v}}} 。

利用 d s = d x 2 + d y 2 {\displaystyle ds={\sqrt {\mathrm rfigk7e x^{2}+\mathrm l7xe6me y^{2}}}} 以及 v = 2 g y {\displaystyle v={\sqrt {2gy}}} ，并以 θ θ --> {\displaystyle \theta } 作為參數(shù)，整理后得

d s v = k 2 g d θ θ --> {\displaystyle {\frac {ds}{v}}={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\mathrm pvkrrrw \theta }

t = k 2 g θ θ --> 1 {\displaystyle t={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\theta _{1}} 。

自此擺線的參數(shù)式中易知 y {\displaystyle y} 的最大值為 k 2 {\displaystyle k^{2}} ，此值必須等于擺線的繞轉(zhuǎn)圓直徑 2 r {\displaystyle 2r} ，因此

k = 2 r {\displaystyle k={\sqrt {2r}}}

t = θ θ --> 1 r g {\displaystyle t=\theta _{1}{\sqrt {\frac {r}{g}}}} 。

現(xiàn)假設(shè)終點與原點直線距離   l   {\displaystyle \ l\ } ，且終點對原點的俯角為 ? ? --> {\displaystyle \phi } 。利用此擺線的參數(shù)式，可知

l = x 1 2 + y 1 2 = r ( θ θ --> ? ? --> sin ? ? --> θ θ --> ) 2 + ( 1 ? ? --> cos ? ? --> θ θ --> ) 2 {\displaystyle l={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=r{\sqrt {\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}

  最速降線問題的終點俯角-最短下滑時間關(guān)系曲線。圖中原點到終點的直線距離定為1.00米，下滑時間隨俯角增大而縮短。

tan ? ? --> ? ? --> = y 1 x 1 = 1 ? ? --> cos ? ? --> θ θ --> θ θ --> ? ? --> sin ? ? --> θ θ --> {\displaystyle \tan \phi ={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }}}

利用 l {\displaystyle l} 的關(guān)系式求出 r {\displaystyle r} ，并代回下滑時間中，得

t ( l , θ θ --> ) = l g θ θ --> ( θ θ --> ? ? --> sin ? ? --> θ θ --> ) 2 + ( 1 ? ? --> cos ? ? --> θ θ --> ) 2 4 {\displaystyle t\,\left(\,l,\,\theta \right)={\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}}

綜合上述，討論在   l   {\displaystyle \ l\ } 已知的情況下，下滑時間 t {\displaystyle t} 與俯角 ? ? --> {\displaystyle \phi } 的關(guān)系為

( ? ? --> , t ) = ( arctan ? ? --> 1 ? ? --> cos ? ? --> θ θ --> θ θ --> ? ? --> sin ? ? --> θ θ --> , l g θ θ --> ( θ θ --> ? ? --> sin ? ? --> θ θ --> ) 2 + ( 1 ? ? --> cos ? ? --> θ θ --> ) 2 4 ) {\displaystyle \left(\,\phi ,\,t\right)=\left(\,\arctan {\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }},\,{\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}\right)} 。

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