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等時降落問題

等時降落問題(The tautochrone problem)即為尋找等時降線的問題。等時降落問題最早由惠更斯解出。在他1673年出版的著作里，利用了幾何的方法證明了此線的解為一擺線，而此問題后來也被利用來解決最速降線問題1690年，伯努利用微積分推導(dǎo)出了最速降線問題的解亦為擺線。不久以后，拉格朗日與歐拉也運(yùn)用了解析法解出了等時降落問題。

解析

將質(zhì)點(diǎn)放在一曲線上，則質(zhì)點(diǎn)下滑的時間與最低點(diǎn)和釋放點(diǎn)之間的長度無關(guān)。簡諧運(yùn)動也具有類似的性質(zhì)。如果一個質(zhì)點(diǎn)只受到一個定點(diǎn)方向，與兩點(diǎn)間距離成正比的力作用，則此物體自由釋放后將會做簡諧運(yùn)動，且無論釋放點(diǎn)的位置，此質(zhì)點(diǎn)作簡諧運(yùn)動的周期皆相同。故我們可以假設(shè)在等時降線上運(yùn)動的物體與作簡諧運(yùn)動的物體有相似的行為，即

d2sdt2=? ? -->k2s{\displaystyle {\frac {\mathrm 7fyxnym ^{2}s}{\mathrm g07fdem t^{2}}}=-k^{2}s}

其中s{\displaystyle s}為最低點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)之間的弧長。假定釋放時t=0{\displaystyle t=0}，我們可解得

s=s0cos? ? -->kt{\displaystyle s=s_{0}\cos {kt}}

s0{\displaystyle s_{0}}為最低點(diǎn)與釋放點(diǎn)間的弧長，而在最低點(diǎn)時s=0{\displaystyle s=0}，故下滑所需的時間有

kT0=π π -->2, T0=π π -->2k{\displaystyle kT_{0}={\frac {\pi }{2}},\ T_{0}={\frac {\pi }{2k}}}

又一沿斜面自由下滑的物體，其加速度為

d2sdt2=? ? -->gsin? ? -->θ θ -->{\displaystyle {\frac {\mathrm dtowmdd ^{2}s}{\mathrm nw995fi t^{2}}}=-g\sin \theta }

其中θ θ -->{\displaystyle \theta }為曲線與水平面之間的夾角，綜合上述得

k2s=gsin? ? -->θ θ -->{\displaystyle k^{2}s=g\sin \theta }

所以s{\displaystyle s}對θ θ -->{\displaystyle \theta }的變化率有

k2dsdθ θ -->=gcos? ? -->θ θ -->{\displaystyle k^{2}{\frac {\mathrm sfetcti s}{\mathrm thkhfhy \theta }}=g\cos \theta }

ds=gk2cos? ? -->θ θ -->dθ θ -->{\displaystyle \mathrm 3y0vc8v s={\frac {g}{k^{2}}}\cos \theta \,\mathrm r3f783s \theta }

所以，

dx=cos? ? -->θ θ -->ds=gk2cos2? ? -->θ θ -->dθ θ -->=g2k2(1+cos? ? -->2θ θ -->)dθ θ -->{\displaystyle \mathrm h7mz7sc x=\cos \theta \,\mathrm 9w7zfo3 s={\frac {g}{k^{2}}}\cos ^{2}\theta \,\mathrm eib8cwo \theta ={\frac {g}{2k^{2}}}\left(1+\cos {2\theta }\right)\mathrm lzb2cf8 \theta }

x=∫ ∫ -->g2k2(1+cos? ? -->2θ θ -->)dθ θ -->=g4k2(2θ θ -->+sin? ? -->2θ θ -->)+x0{\displaystyle x=\int {\frac {g}{2k^{2}}}\left(1+\cos {2\theta }\right)\mathrm z848z72 \theta ={\frac {g}{4k^{2}}}\left(2\theta +\sin {2\theta }\right)+x_{0}}

以及，

dy=sin? ? -->θ θ -->ds=gk2sin? ? -->θ θ -->cos? ? -->θ θ -->dθ θ -->=g2k2sin? ? -->2θ θ -->dθ θ -->{\displaystyle \mathrm 27drjih y=\sin \theta \,\mathrm pbfsjid s={\frac {g}{k^{2}}}\sin \theta \cos \theta \,\mathrm zzjynmw \theta ={\frac {g}{2k^{2}}}\sin {2\theta }\,\mathrm v32ndve \theta }

y=∫ ∫ -->g2k2sin? ? -->2θ θ -->dθ θ -->=? ? -->g4k2cos? ? -->2θ θ -->+y0{\displaystyle y=\int {\frac {g}{2k^{2}}}\sin {2\theta }\,\mathrm cngukaq \theta =-{\frac {g}{4k^{2}}}\cos {2\theta }+y_{0}}

設(shè)定? ? -->=? ? -->2θ θ -->{\displaystyle \phi =-2\theta }以及r=g4k2{\displaystyle r={\cfrac {g}{4k^{2}}}}，并選定適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系原點(diǎn)，得

x=r(? ? -->+sin? ? -->? ? -->){\displaystyle x=r\left(\phi +\sin \phi \right)}

y=r(1? ? -->cos? ? -->? ? -->){\displaystyle y=r\left(1-\cos \phi \right)}

此方程式為一標(biāo)準(zhǔn)的擺線方程式，且繞轉(zhuǎn)圓的半徑為g4k2{\displaystyle {\cfrac {g}{4k^{2}}}}。

反過來說，

k=g4r=12gr{\displaystyle k={\sqrt {\frac {g}{4r}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{r}}}}

所以下滑所需的時間為

T0=π π -->2k=π π -->rg{\displaystyle T_{0}={\frac {\pi }{2k}}=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}}。

阿貝爾力學(xué)問題

在廣義等時降線問題中，物體的運(yùn)動時間不必固定，而是初始釋放位置y0{\displaystyle \,y_{0}}的函數(shù)T(y0){\displaystyle T\left(y_{0}\right)}。阿貝爾力學(xué)問題思考，在T(y0){\displaystyle T\left(y_{0}\right)}已知的情況下，如何找出曲線的方程式；等時降線問題是此運(yùn)動時間為常數(shù)的特殊情況。

因物體在無摩擦的軌道上滑行，故力學(xué)能守恒。其力學(xué)能具有以下表達(dá)式：

mgy0=12mv2+mgy{\displaystyle mgy_{0}={\frac {1}{2}}mv^{2}+mgy}

式中等號左側(cè)為物體的初力學(xué)能，mgy{\displaystyle mgy}為物體的重力位能，12mv2{\displaystyle {\cfrac {1}{2}}mv^{2}}為物體的動能(左式中缺少此項(xiàng)是因?yàn)槲矬w起初靜止)。

又因物體沿曲線下滑，v=dsdt{\displaystyle v={\frac {\mathrm 77ouj8r s}{\mathrm nqtywxd t}}}(s{\displaystyle s}為曲線的弧長)。整理以上所得，

dsdt=± ± -->2g(y0? ? -->y){\displaystyle {\frac {\mathrm d4biggu s}{\mathrm ojcg7i2 t}}=\pm {\sqrt {2g\left(y_{0}-y\right)}}}

dt=± ± -->ds2g(y0? ? -->y)=± ± -->12g(y0? ? -->y)dsdydy{\displaystyle \mathrm hlfvjbt t=\pm {\frac {\mathrm 1f4mibh s}{\sqrt {2g\left(y_{0}-y\right)}}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2g\left(y_{0}-y\right)}}}{\frac {\mathrm cpe3cby s}{\mathrm 4op6xh1 y}}\mathrm 2fiu9mn y}。

這里的s{\displaystyle s}設(shè)定為物體距離滑行終點(diǎn)的路徑長?？紤]到此路徑長必然隨著時間的推進(jìn)縮短，等號右側(cè)應(yīng)取負(fù)值。

dt=? ? -->12g(y0? ? -->y)dsdydy{\displaystyle \mathrm 8acrozp t=-{\frac {1}{\sqrt {2g\left(y_{0}-y\right)}}}{\frac {\mathrm j0flbtr s}{\mathrm g7fduxo y}}\mathrm sohnxyp y}。

下滑時間是dt{\displaystyle \mathrm gb9f9jm t}自y=y0{\displaystyle y=y_{0}}(起始高度)至y=0{\displaystyle y=0}(末高度)的積分。

T(y0)=∫ ∫ -->y=y0y=0dt=12g∫ ∫ -->0y01y0? ? -->ydsdydy{\displaystyle T\left(y_{0}\right)=\int _{y=y_{0}}^{y=0}\mathrm lhmzi5t t={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{y_{0}}{\frac {1}{\sqrt {y_{0}-y}}}{\frac {\mathrm sbcjysz s}{\mathrm z5cjcsa y}}\mathrm rs2kyg3 y}。

此關(guān)系式稱為阿貝爾積分式，并且在給定dsdy{\displaystyle {\cfrac {\mathrm 4hbpgp2 s}{\mathrm 14fsjst y}}}的情況下很容易求出積分值。但根據(jù)題目設(shè)定，必須從積分值求出dsdy{\displaystyle {\cfrac {\mathrm txrzphz s}{\mathrm in7xkrp y}}}。這里注意到等號右側(cè)中的積分式實(shí)際上為dsdy{\displaystyle {\cfrac {\mathrm 9vpciak s}{\mathrm d6bry7i y}}}與1y{\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {y}}}}的折積，可將等式兩側(cè)同做拉普拉斯變換成為

L[T(y0)]=L[1y]L[dsdy]{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[T\left(y_{0}\right)\right]={\mathcal {L}}\left[{\frac {1}{\sqrt {y}}}\right]{\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm ma3tsic s}{\mathrm 4tvt5at y}}\right]}

因?yàn)長[1y]=π π -->z? ? -->12{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\cfrac {1}{\sqrt {y}}}\right]={\sqrt {\pi }}z^{-{\frac {1}{2}}}}，我們得到了dsdy{\displaystyle {\cfrac {\mathrm 4eg47mg s}{\mathrm k1arzx4 y}}}與T(y0){\displaystyle T\left(y_{0}\right)}兩者拉普拉斯變換后的關(guān)系式：

L[dsdy]=2gπ π -->z12L[T(y0)]{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm xkmtkde s}{\mathrm lfb4edj y}}\right]={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}z^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}\left[T\left(y_{0}\right)\right]}。

以上即是未指定T(y0){\displaystyle T\left(y_{0}\right)}時可以得到最后的結(jié)果。對于等時降線問題，T(y0)=T0=constant{\displaystyle T\left(y_{0}\right)=T_{0}=\operatorname {constant} }，因此其拉普拉斯變換為

L[T0]=T0L[1]=1zT0{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[T_{0}\right]=T_{0}{\mathcal {L}}\left[1\right]={\frac {1}{z}}T_{0}}。

因而

L[dsdy]=2gπ π -->z12L[T0]=2gπ π -->T0z? ? -->12{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm rd4xpxf s}{\mathrm eng3sz7 y}}\right]={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}z^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}\left[T_{0}\right]={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}T_{0}z^{-{\frac {1}{2}}}}。

將此式做逆變換即可得

dsdy=2gπ π -->T0y? ? -->12{\displaystyle {\frac {\mathrm qbwtd1v s}{\mathrm lgjz6ps y}}={\frac {\sqrt {2g}}{\pi }}T_{0}y^{-{\frac {1}{2}}}}。

ds=2gπ π -->T0y? ? -->12dy{\displaystyle \mathrm o3aszis s={\frac {\sqrt {2g}}{\pi }}T_{0}y^{-{\frac {1}{2}}}\mathrm wkd6k82 y}

又dy=sin? ? -->θ θ -->ds{\displaystyle \mathrm q3ynl8l y=\sin \theta \mathrm v8ga3ak s}，易得

y12=2gπ π -->T0sin? ? -->θ θ -->{\displaystyle y^{\frac {1}{2}}={\frac {\sqrt {2g}}{\pi }}T_{0}\sin \theta }

將等號兩側(cè)取微小量，

d(y12)=12y? ? -->12dy=2gπ π -->T0cos? ? -->θ θ -->dθ θ -->{\displaystyle \mathrm 0mnvcza \left(y^{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{2}}y^{-{\frac {1}{2}}}\mathrm nfabsbb y={\frac {\sqrt {2g}}{\pi }}T_{0}\cos \theta \,\mathrm wqlusrb \theta }

代回上方ds{\displaystyle \mathrm zl7vz3a s}與y? ? -->12dy{\displaystyle y^{-{\frac {1}{2}}}\mathrm kylaihz y}的關(guān)系式中，得

ds=4g2π π -->2T02cos? ? -->θ θ -->dθ θ -->{\displaystyle \mathrm syyntmc s={\frac {4g^{2}}{\pi ^{2}}}T_{0}^{2}\cos \theta \,\mathrm t2ouc2s \theta }

此式與解析解中得出形式相同的結(jié)果，故其解亦為擺線。回顧解析解的結(jié)果，

ds=gk2T02cos? ? -->θ θ -->dθ θ -->{\displaystyle \mathrm hmwkqjs s={\frac {g}{k^{2}}}T_{0}^{2}\cos \theta \,\mathrm xchtt9f \theta }

相互比較得

T02=π π -->24k2g{\displaystyle T_{0}^{2}={\cfrac {\pi ^{2}}{4k^{2}g}}}。

又?jǐn)[線的繞轉(zhuǎn)圓半徑r=g4k2{\displaystyle r={\cfrac {g}{4k^{2}}}}，最后我們得到

T0=π π -->rg{\displaystyle T_{0}=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}}。

參見

擺線

最速降線問題

簡諧振子

參考

Tautochrone Problem -- From Wolfram MathWorld. [2014-08-07]（英語）. 

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