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由泰勒展開式的推導(dǎo)

首先假設(shè)要近似函數(shù)的各級導(dǎo)數(shù)都有良好的性質(zhì)，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展開式：

其中 n !表示是 n 的階乘， R n ( x )為余數(shù)，表示泰勒多項式和原函數(shù)之間的差?？梢酝茖?dǎo)函數(shù) f 一階導(dǎo)數(shù)的近似值：

設(shè)定x 0 =a，可得：

除以 h 可得：

求解f"(a)：

假設(shè) R 1 ( x ) {\displaystyle R_{1}(x)} 相當(dāng)小，因此可以將"f"的一階導(dǎo)數(shù)近似為：

準(zhǔn)確度及誤差

近似解的誤差定義為近似解及解析解之間的差值。有限差分法的兩個誤差來源分別是舍入誤差及 截尾誤差 （ 英語 ： truncation error ） （或稱為離散化誤差），前者是因為電腦計算小數(shù)時四舍五入造成的誤差，后者則是計算機內(nèi)數(shù)字位數(shù)限制造成的誤差。

有限差分法是以在格點上函數(shù)的值為準(zhǔn)

在運用有限差分法求解一問題（或是說找到問題的近似解）時，第一步需要將問題的定義域離散化。一般會將問題的定義域用均勻的網(wǎng)格分割（可參考右圖）。因此有限差分法會制造一組導(dǎo)數(shù)的離散數(shù)值近似值。

一般會關(guān)注近似解的 局部截尾誤差 （ 英語 ： local truncation error ） ，會用大O符號表示，局部截尾誤差是指應(yīng)用有限差分法一次后產(chǎn)生的誤差，因此為 f ′ ( x i ) ? ? --> f i ′ {\displaystyle f"(x_{i})-f"_{i}} ，此時 f ′ ( x i ) {\displaystyle f"(x_{i})} 是實際值，而 f i ′ {\displaystyle f"_{i}} 為近似值。泰勒多項式的余數(shù)項有助于分析局部截尾誤差。利用 f ( x 0 + h ) {\displaystyle f(x_{0}+h)} 泰勒多項式的余數(shù)項，也就是

可以找到局部截尾誤差的主控項，例如用前項差分法計算一階導(dǎo)數(shù)，已知 f ( x i ) = f ( x 0 + i h ) {\displaystyle f(x_{i})=f(x_{0}+ih)} ,

利用一些代數(shù)的處理，可得

注意到左邊的量是有限差分法的近似，右邊的量是待求解的量再加上一個余數(shù)，因此余數(shù)就是局部截尾誤差。上述范例可以用下式表示：

在此例中，局部截尾誤差和時間格點的大小成正比。

范例：常微分方程

例如考慮以下的常微分方程

利用數(shù)值方法中歐拉法求解，利用以下的有限差分式

來近似導(dǎo)數(shù)，并配合一些代數(shù)處理（等號兩側(cè)同乘以h，再加上u(x)），可得

最后的方程式即為有限差分方程，求解此方程則可得到原方程的近似解。

范例：熱傳導(dǎo)方程

考慮正規(guī)化的一維熱傳導(dǎo)方程式，為齊次的狄利克雷邊界條件

對此問題求數(shù)值解的一種方式是用差分去近似所有的導(dǎo)數(shù)，可以將空間分割為 x 0 , . . . , x J {\displaystyle x_{0},...,x_{J}} ，將時間也分割為 t 0 , . . . . , t N {\displaystyle t_{0},....,t_{N}} 。假設(shè)在時間及空間都是均勻的網(wǎng)格切割，空間中兩個連續(xù)位置的間隔為 h ，兩個連續(xù)時間之間的間隔為 k 。點

表示 u ( x j , t n ) {\displaystyle u(x_{j},t_{n})} 的數(shù)值近似解。

顯式方法

熱傳導(dǎo)方程最常用顯式方法的 模版 （ 英語 ： Stencil (numerical analysis) ）

利用在時間 t n {\displaystyle t_{n}} 的前向差分，以及在位置 x j {\displaystyle x_{j}} 的二階中央差分（ FTCS 格式 （ 英語 ： FTCS scheme ） ），可以得到以下的迭代方程：

這是用求解一維導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的 顯式方法 （ 英語 ： Explicit and implicit methods ） 。

可以用以下的式子求解 u j n + 1 {\displaystyle u_{j}^{n+1}}

其中 r = k / h 2 . {\displaystyle r=k/h^{2}.}

因此配合此迭代關(guān)系式，已知在時間 n 的數(shù)值，可以求得在時間 n +1的數(shù)值。 u 0 n {\displaystyle u_{0}^{n}} 及 u J n {\displaystyle u_{J}^{n}} 的數(shù)值可以用邊界條件代入，在此例中為0。

此顯式方法在 r ≤ ≤ --> 1 / 2 {\displaystyle r\leq 1/2} 時，為數(shù)值穩(wěn)定且收斂 。其數(shù)值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

隱式方法

隱式方法的模版

若使用時間 t n + 1 {\displaystyle t_{n+1}} 的后向差分，及位置 x j {\displaystyle x_{j}} 的二階中央差分（BTCS 格式），可以得到以下的迭代方程：

這是用求解一維導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的 隱式方法 （ 英語 ： Explicit and implicit methods ） 。

在求解線性聯(lián)立方程后可以得到 u j n + 1 {\displaystyle u_{j}^{n+1}} ：

此方法不論 r {\displaystyle r} 的大小，都數(shù)值穩(wěn)定且收斂，但在計算量會較顯式方法要大，因為每前進(jìn)一個時間間隔，就需要求解一個聯(lián)立的數(shù)值方程組。其數(shù)值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

克蘭克－尼科爾森方法

若使用時間 t n + 1 / 2 {\displaystyle t_{n+1/2}} 的中間差分，及位置 x j {\displaystyle x_{j}} 的二階中央差分（CTCS 格式），可以得到以下的迭代方程：

此公式為克蘭克－尼科爾森方法（Crank-Nicolson方法）。

克蘭克－尼科爾森方法的模版

在求解線性聯(lián)立方程后可以得到 u j n + 1 {\displaystyle u_{j}^{n+1}} ：

此方法不論 r {\displaystyle r} 的大小，都數(shù)值穩(wěn)定且收斂，但在計算量會較顯式方法要大，因為每前進(jìn)一個時間間隔，就需要求解一個聯(lián)立的數(shù)值方程組。其數(shù)值誤差和時間間隔的平方成正比，和位置間隔的平方成正比：

若時間刻度較小時，克蘭克－尼科爾森方法是最精確的，而顯式方法是最不精確的，而且可能會不穩(wěn)定，但是是最容易計算的，其數(shù)值計算量也最少。若時間刻度較大時，隱式方法的效果最好。

相關(guān)條目

有限元分析

差分

時域有限差分

模版 (數(shù)值分析) （ 英語 ： Stencil (numerical analysis) ）

有限差分系數(shù) （ 英語 ： Finite difference coefficient ）

五點Stencil （ 英語 ： Five-point stencil ）

Lax等價定理 （ 英語 ： Lax equivalence theorem ）

期權(quán)定價的有限差分法 （ 英語 ： finite difference methods for option pricing ）

參考資料

K.W. Morton and D.F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction . Cambridge University Press, 2005.

Oliver Rübenk?nig, The Finite Difference Method (FDM) - An introduction , (2006) Albert Ludwigs University of Freiburg

Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications , (2008)[1]

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