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作為格的函數(shù)

一個(gè)模形式可視為從所有格Λ Λ -->? ? -->C{\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }（即：C{\displaystyle \mathbb {C} }中的離散加法子群，使得其商群緊致）的集合映至C{\displaystyle \mathbb {C} }的函數(shù)F{\displaystyle F}，使之滿足下述條件：

若考慮形如Λ Λ -->:=? ? -->α α -->,z? ? -->{\displaystyle \Lambda :=\langle \alpha ,z\rangle }之格，其中α α -->{\displaystyle \alpha }為常數(shù)而z{\displaystyle z}為變數(shù)，則F(Λ Λ -->){\displaystyle F(\Lambda )}是z{\displaystyle z}的全純函數(shù)。

存在常數(shù)k{\displaystyle k}（通常取正整數(shù)），使得對(duì)任何α α -->∈ ∈ -->C× × -->{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ^{\times }}，有F(α α -->Λ Λ -->)=α α -->kF(Λ Λ -->){\displaystyle F(\alpha \Lambda )=\alpha ^{k}F(\Lambda )}。常數(shù)k稱為此模形式之權(quán)。

對(duì)于最小非零元與原點(diǎn)距離大于一定值之格Λ Λ -->{\displaystyle \Lambda }，|F(Λ Λ -->)|{\displaystyle |F(\Lambda )|}有上界。

當(dāng)k=0{\displaystyle k=0}，條件二表明F(Λ Λ -->){\displaystyle F(\Lambda )}僅決定于Λ Λ -->{\displaystyle \Lambda }在相似變換下的等價(jià)類。這是重要的特例，但是權(quán)為零的模形式必為常數(shù)函數(shù)。若去掉條件三，并容許函數(shù)有極點(diǎn)，則存在非常數(shù)的例子，稱作模函數(shù)。

這個(gè)狀況可以與射影空間P(V){\displaystyle \mathbb {P} (V)}作類比：對(duì)于射影空間，我們欲尋找向量空間V{\displaystyle V}上對(duì)座標(biāo)的多項(xiàng)式函數(shù)F{\displaystyle F}，并滿足F(cv)=F(v){\displaystyle F(cv)=F(v)}；不幸的是，這種函數(shù)必為常數(shù)。一種辦法是容許有分母（即考慮有理函數(shù)），則滿足條件的是分子、分母為同次數(shù)齊次多項(xiàng)式的有理函數(shù)。另一種辦法則是修改條件F(cv)=F(v){\displaystyle F(cv)=F(v)}為F(cv)=ckF(v){\displaystyle F(cv)=c^{k}F(v)}，則滿足此條件的函數(shù)為k{\displaystyle k}次齊次多項(xiàng)式，對(duì)每個(gè)固定的k{\displaystyle k}，這些函數(shù)構(gòu)成有限維向量空間。借著考慮所有可能的k{\displaystyle k}，我們可以找出構(gòu)造P(V){\displaystyle \mathbb {P} (V)}上的有理函數(shù)所需之分子與分母。

既然k{\displaystyle k}次齊次多項(xiàng)式在P(V){\displaystyle \mathbb {P} (V)}上并非真正的函數(shù)，該如何從幾何上詮釋？代數(shù)幾何給出了一個(gè)答案：它們是P(V){\displaystyle \mathbb {P} (V)}上某個(gè)層O(k){\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}的截面。模形式的情形也類似，但考慮的不是P(V){\displaystyle \mathbb {P} (V)}，而是某個(gè)?？臻g。

作為橢圓曲線?？臻g上的函數(shù)

每個(gè)格Λ Λ -->? ? -->C{\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }都決定一條復(fù)橢圓曲線C/Λ Λ -->{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }；兩個(gè)格給出的橢圓曲線同構(gòu)的充要條件是兩個(gè)格之間差一個(gè)非零復(fù)數(shù)的倍數(shù)。因此模函數(shù)可以看作是復(fù)橢圓曲線的?？臻g上的函數(shù)。例如橢圓曲線的j-不變量就是模函數(shù)。模形式可視作?？臻g上某些線叢的截面。

每個(gè)格在乘上某個(gè)非零復(fù)數(shù)倍數(shù)后皆可表成Λ Λ -->=? ? -->1,z? ? -->(Im(z)>0){\displaystyle \Lambda =\langle 1,z\rangle \quad (\mathrm {Im} (z)>0)}。對(duì)一模形式F{\displaystyle F}，置f(z):=F(? ? -->1,z? ? -->){\displaystyle f(z):=F(\langle 1,z\rangle )}。模形式的第二個(gè)條件可改寫成函數(shù)方程：對(duì)所有a,b,c,d∈ ∈ -->Z{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }且ad? ? -->bc=1{\displaystyle ad-bc=1}（即模群Γ Γ -->:=SL(2,Z){\displaystyle \Gamma :=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}之定義），有

例如，取a=d=0,b=? ? -->1,c=1{\displaystyle a=d=0,b=-1,c=1}：

如果上述方程僅對(duì)SL(2,Z){\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}內(nèi)的某個(gè)有限指數(shù)子群Γ Γ -->′{\displaystyle \Gamma "}成立，則稱F{\displaystyle F}為對(duì)Γ Γ -->′{\displaystyle \Gamma "}的模形式。最常見的例子是同余子群Γ Γ -->(N):={g∈ ∈ -->Γ Γ -->:g≡ ≡ -->ImodN}{\displaystyle \Gamma (N):=\{g\in \Gamma :g\equiv I\mod N\}}，以下將詳述。

廣義定義

令N{\displaystyle N}為正整數(shù)，相應(yīng)的模群Γ Γ -->0(N){\displaystyle \Gamma _{0}(N)}定義為

令k{\displaystyle k}為正整數(shù)，權(quán)為k{\displaystyle k}的N{\displaystyle N}級(jí)（或級(jí)群為Γ Γ -->0(N){\displaystyle \Gamma _{0}(N)}）模形式定義為一個(gè)上半平面上的全純函數(shù)f{\displaystyle f}，對(duì)任何

及任何屬于上半平面的z{\displaystyle z}，有

而且f{\displaystyle f}在尖點(diǎn)全純。所謂尖點(diǎn)，是Q∪ ∪ -->{+i∞ ∞ -->}{\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{+i\infty \}}在Γ Γ -->0(N){\displaystyle \Gamma _{0}(N)}作用下的軌道。例如當(dāng)N=1{\displaystyle N=1}時(shí)，+i∞ ∞ -->{\displaystyle +i\infty }代表了唯一的尖點(diǎn)。模形式在尖點(diǎn)p{\displaystyle p}全純，意謂z→ → -->p{\displaystyle z\rightarrow p}時(shí)f{\displaystyle f}有界。當(dāng)此尖點(diǎn)為+i∞ ∞ -->{\displaystyle +i\infty }時(shí)，這等價(jià)于f傅立葉isplaystyle f}有傅立葉展開式

其中x=exp? ? -->(2π π -->iz){\displaystyle x=\exp(2\pi iz)}。對(duì)于其它尖點(diǎn)，同樣可藉座標(biāo)變換得到傅立葉展開。

若對(duì)每個(gè)尖點(diǎn)都有c(0)=0{\displaystyle c(0)=0}，則稱之為尖點(diǎn)形式（德文：Spitzenform）。使得c(n)≠ ≠ -->0{\displaystyle c(n)\neq 0}的最小n{\displaystyle n}稱作f{\displaystyle f}在該尖點(diǎn)的階。以上定義的模形式有時(shí)也稱為整模形式，以區(qū)分帶極點(diǎn)的一般情形（如j-不變量）。

另一種的推廣是考慮某類函數(shù)j(a,b,c,d,z){\displaystyle j(a,b,c,d,z)}，并將函數(shù)方程改寫為

上式所取的j(a,b,c,d,z):=(cz+d){\displaystyle j(a,b,c,d,z):=(cz+d)}稱為自守因子。若另取適當(dāng)?shù)膉{\displaystyle j}，則在此框架下亦可探討戴德金η函數(shù)，這是權(quán)等于1/2的模形式。例如：一個(gè)權(quán)等于k{\displaystyle k}、N{\displaystyle N}級(jí)、nebentypus為χ χ -->{\displaystyle \chi }（χ χ -->{\displaystyle \chi }是模N{\displaystyle N}的一個(gè)狄利克雷特征）是定義于上半平面，并具下述性質(zhì)的全純函數(shù)：對(duì)任意

及屬于上半平面的z{\displaystyle z}，有函數(shù)方程

此外，f{\displaystyle f}必須在尖點(diǎn)全純。

例子

艾森斯坦級(jí)數(shù)

模形式最簡(jiǎn)單的例子是艾森斯坦級(jí)數(shù)：對(duì)每個(gè)偶數(shù)k>2{\displaystyle k>2}，定義

（條件k>2{\displaystyle k>2}用于確立收斂性）

θ函數(shù)

所謂Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中的偶單位模格L{\displaystyle L}，是指由一個(gè)行列式等于一的n{\displaystyle n}階矩陣的行向量展成之格，并使得每個(gè)L{\displaystyle L}中的向量長(zhǎng)度均為偶數(shù)。根據(jù)普瓦松求和公式，此時(shí)對(duì)應(yīng)的Theta函數(shù)

是權(quán)=n/2{\displaystyle =n/2}的模形式。偶單位模格的構(gòu)造并不容易，以下是方法之一：令n{\displaystyle n}為8的倍數(shù)，并考慮所有向量v∈ ∈ -->Rn{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}，使得2v{\displaystyle 2v}的座標(biāo)均為奇數(shù)或均為偶數(shù)，且v{\displaystyle v}的各座標(biāo)總和為奇數(shù)。由此構(gòu)成的格寫作Ln{\displaystyle L_{n}}。當(dāng)n=8{\displaystyle n=8}，根系由根系E8{\displaystyle E_{8}}的根生成。雖然L8× × -->L8{\displaystyle L_{8}\times L_{8}}與L16{\displaystyle L_{1}6}并不相似，由于權(quán)=8{\displaystyle =8}的模形式只有一個(gè)（至多差一個(gè)常數(shù)倍），遂得到

約翰·米爾諾發(fā)現(xiàn)：R16{\displaystyle \mathbb {R} ^{16}}對(duì)這兩個(gè)格的商空間給出兩個(gè)16維環(huán)面，彼此不相等距同構(gòu)，但它們的拉普拉斯算子有相同的特征值（計(jì)入重?cái)?shù)）。

戴德金η函數(shù)

戴德金η函數(shù)定義為

模判別式Δ Δ -->(z)=η η -->(z)24{\displaystyle \Delta (z)=\eta (z)^{24}}是權(quán)=12{\displaystyle =12拉馬努金式。拉馬努金有一個(gè)著名的猜想：在Δ Δ -->(z){\displaystyle \Delta (z)}的傅立葉展開式中，對(duì)任一素?cái)?shù)p{\displaystyle p}，qp{\displaystyle q^{p}}的系數(shù)的絕對(duì)值恒≤ ≤ -->2p11/2{\displaystyle \leq 2p^{11/2}}。此猜想最后由德利涅證明。

上述諸例點(diǎn)出了模形式與若干古典數(shù)論問題的聯(lián)系，例如以二次型表示整數(shù)以及整數(shù)分拆問題。赫克算子理論闡釋了模形式與數(shù)論的關(guān)鍵聯(lián)系，同時(shí)也聯(lián)系了模形式與表示理論。

其他模函數(shù)概念的推廣

模函數(shù)的概念還能做一些推廣。

例如，可以去掉全純條件：馬斯形式是上半平面的拉普拉斯算子的特征函數(shù)，但并非全純函數(shù)。

此外，可以考慮SL(2,Z){\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}以外的群。希爾伯特模形式是n{\displaystyle n}個(gè)變?cè)暮瘮?shù)，每個(gè)變?cè)紝儆谏习肫矫?。其函?shù)方程則由分布于某個(gè)全實(shí)域的二階方陣來定義。若以較大的辛群取代SL(2){\displaystyle SL(2)}，便得到西格爾模形式。模形式與橢圓曲線相關(guān)，而西格爾模形式則涉及更廣義的阿貝爾簇。

自守形式的概念可用于一般的李群。

參考文獻(xiàn)

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Stein"s notes on Ribet"s courseModular Forms and Hecke Operators

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