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古典定義

設(shè) Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma } 為作用于復(fù)區(qū)域 D{\displaystyle D} 的離散群。取定自守因子jγ γ -->(x),(γ γ -->∈ ∈ -->Γ Γ -->,x∈ ∈ -->D){\displaystyle j_{\gamma }(x),\;(\gamma \in \Gamma ,x\in D)} 及權(quán)m∈ ∈ -->N{\displaystyle m\in \mathbb {N} }。相應(yīng)的權(quán) m{\displaystyle m}自守形式是 D{\displaystyle D} 上滿足下述函數(shù)方程的全純函數(shù)

自守因子 jγ γ -->(x){\displaystyle j_{\gamma }(x)} 當(dāng) γ γ -->{\displaystyle \gamma } 固定時(shí)是 D{\displaystyle D} 上的全純函數(shù)，并且是 Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma } 上的 1-閉上鏈。

定義中的復(fù)值函數(shù) f{\displaystyle f} 可推廣成取值為矩陣的函數(shù)；權(quán) m{\displaystyle m} 的限制亦可放松，例如半整數(shù) m∈ ∈ -->12+Z{\displaystyle m\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z} }。

群上的定義

自守形式另有群表示理論的詮釋，并牽涉數(shù)論，但無(wú)法完全涵攝古典定義。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，以下設(shè) G=GL(n){\displaystyle G=\mathrm {GL} (n)}，其中心可等同于 Gm{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}。

考慮整體域 F{\displaystyle F}（例如 F=Q{\displaystyle F=\mathbb {Q} }），由此定義 G{\displaystyle G} 的阿代爾點(diǎn)G(AF){\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}，賦予相應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并取定標(biāo)準(zhǔn)的緊子群 K{\displaystyle K}。

固定一擬特征ω ω -->:F× × -->? ? -->AF× × -->→ → -->C× × -->{\displaystyle \omega :F^{\times }\backslash \mathbb {A} _{F}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}。以 ω ω -->{\displaystyle \omega }為中心特征的自守形式定為 G(F)? ? -->G(AF){\displaystyle G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})} 上滿足下列條件的復(fù)值函數(shù) f{\displaystyle f}：

f{\displaystyle f} 光滑：若 F{\displaystyle F} 為函數(shù)域，這代表 f{\displaystyle f} 是局部常數(shù)函數(shù)。否則意謂存在一組 G(AF){\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})} 的開覆蓋U{\displaystyle {\mathcal {U}}}，對(duì)每個(gè) h∈ ∈ -->U∈ ∈ -->U{\displaystyle h\in U\in {\mathcal {U}}}，f(h)=fU(h∞ ∞ -->){\displaystyle f(h)=f_{U}(h_{\infty })}，而 fU{\displaystyle f_{U}} 無(wú)窮可微。

f{\displaystyle f} 右 K{\displaystyle K}-有限：函數(shù) f(? ? -->k)(k∈ ∈ -->K){\displaystyle f(\cdot k)\;(k\in K)} 張成有限維向量空間。

承上，設(shè) Zv{\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}} 為泛包絡(luò)代數(shù)U(gl(n,Fv)){\displaystyle U({\mathfrak {gl}}(n,F_{v}))} 之中心，則 f{\displaystyle f} 為 Zv{\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}-有限。

緩增性：固定適當(dāng)?shù)母叨群瘮?shù) ∥ ∥ -->? ? -->∥ ∥ -->:G(AF)→ → -->R>0{\displaystyle \|\cdot \|:G(\mathbb {A} _{F})\to \mathbb {R} _{>0}}（取法不影響定義），存在常數(shù) C{\displaystyle C} 及 N∈ ∈ -->N{\displaystyle N\in \mathbb {N} } 使得 |f(g)|≤ ≤ -->C∥ ∥ -->g∥ ∥ -->N{\displaystyle |f(g)|\leq C\|g\|^{N}}。

注記. 若 v{\displaystyle v} 是 F{\displaystyle F} 的阿基米德賦值，條件二中張出的空間在李代數(shù)gl(n,Fv){\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F_{v})} 的作用 f? ? -->Xf{\displaystyle f\mapsto Xf} 下不變。條件三蘊(yùn)含自守形式對(duì)阿基米德賦值是解析函數(shù)。

若對(duì)所有 r+s=n(0<r,s<n){\displaystyle r+s=n\,(0 皆有

則稱 f{\displaystyle f} 為尖點(diǎn)形式。

自守表示

定義 A(G(F)? ? -->G(AF),ω ω -->){\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 為中心特征為 ω ω -->{\displaystyle \omega } 的自守形式集，子空間 A0(G(F)? ? -->G(AF),ω ω -->){\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 則為尖點(diǎn)形式集。

這兩個(gè)空間是有限阿代爾群 G(Afin){\displaystyle G(\mathbb {A} _{\mathrm {fin} })} 的表示；對(duì)阿基米德賦值則帶有 (g,K){\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}-模結(jié)構(gòu)。此套結(jié)構(gòu)可以概括為整體赫克代數(shù)HG(AF){\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}} 的表示。注意：它們并非 G(A){\displaystyle G(\mathbb {A} )} 的表示！

一個(gè)自守表示是 HG(AF){\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}-模 A(G(F)? ? -->G(AF),ω ω -->){\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 之子商，ω ω -->{\displaystyle \omega } 稱作該自守表示的中心擬特征。尖點(diǎn)自守表示是 A0(G(F)? ? -->G(AF),ω ω -->){\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 之子空間。

文獻(xiàn)

A.N. Parshin,Automorphic Form, (編) Hazewinkel, Michiel,數(shù)學(xué)百科全書, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7

Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .

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