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歷史

八元數(shù)第一次被描述于1843年，于一封約翰·格雷夫斯給威廉·盧云·哈密頓的信中。后來八元數(shù)由阿瑟·凱萊在1845年獨(dú)自發(fā)表。阿瑟·凱萊發(fā)表的八元數(shù)和約翰·格雷夫斯給威廉·盧云·哈密頓的信中所提及的并無關(guān)系。

定義

八元數(shù)可以視為實(shí)數(shù)的八元組。每一個(gè)八元數(shù)都是單位八元數(shù){1, i, j, k, l, il, jl, kl}的線性組合。也就是說，每一個(gè)八元數(shù)x都可以寫成x=x0+x1i+x2j+x3k+x4l+x5il+x6jl+x7kl,{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl,}其中系數(shù)xa是實(shí)數(shù)。

八元數(shù)的加法是把對應(yīng)的系數(shù)相加，就像復(fù)數(shù)和四元數(shù)一樣。根據(jù)線性，八元數(shù)的乘法完全由以下單位八元數(shù)的乘法表來決定。

凱萊-迪克松構(gòu)造

一個(gè)更加系統(tǒng)的定義八元數(shù)的方法，是通過凱萊-迪克松構(gòu)造。就像四元數(shù)可以用一對復(fù)數(shù)來定義一樣，八元數(shù)可以用一對四元數(shù)來定義。兩對四元數(shù)(a, b)和(c, d)的乘積定義為：

其中z? ? -->{\displaystyle z^{*}}表示四元數(shù)z的共軛。這個(gè)定義與上面給出的定義是等價(jià)的。

法諾平面記憶

八元數(shù)的乘積的簡單記憶。

一個(gè)用來記憶八元數(shù)的乘積的方便辦法，由右面的圖給出。這個(gè)圖中有七個(gè)點(diǎn)和七條直線（經(jīng)過i、j和k的圓也是一條直線），稱為法諾平面。這些直線是有向的。七個(gè)點(diǎn)對應(yīng)于Im(O)的七個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基元素。每一對不同的點(diǎn)位于唯一的一條直線上，而每一條直線正好通過三個(gè)點(diǎn)。

設(shè)(a, b, c)為位于一條給定的直線上的三個(gè)有序點(diǎn)，其順序由箭頭的方向指定。那么，乘法由下式給出：

以及它們的循環(huán)置換。這些規(guī)則與

1是乘法單位元，

對于圖中的每一個(gè)點(diǎn)，都有e2=? ? -->1{\displaystyle e^{2}=-1}

完全定義了八元數(shù)的乘法結(jié)構(gòu)。七條直線的每一條都生成了O的一個(gè)子代數(shù)，與四元數(shù)H同構(gòu)。

共軛、范數(shù)和逆元素

八元數(shù)

的共軛為：

共軛是O的一個(gè)對合，滿足(xy)? ? -->=y? ? -->x? ? -->{\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}（注意次序的變化）。

x的實(shí)數(shù)部分定義為?(x + x) = x0，虛數(shù)部分定義為?(x - x)。所有純虛的八元數(shù)生成了O的一個(gè)七維子空間，記為Im(O)。

八元數(shù)x的范數(shù)定義為：

在這里，平方根是定義良好的，因?yàn)閤? ? -->x=xx? ? -->{\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}總是非負(fù)實(shí)數(shù)：

這個(gè)范數(shù)與R上的標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得范數(shù)是一致的。

O上范數(shù)的存在，意味著O的所有非零元素都存在逆元素。x ≠ 0的逆元素為：

它滿足xx? ? -->1=x? ? -->1x=1{\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}。

性質(zhì)

八元數(shù)的乘法既不是交換的：

也不是結(jié)合的：

然而，八元數(shù)確實(shí)滿足結(jié)合性的一個(gè)較弱形式──交錯(cuò)性。這就是說，由任何兩個(gè)元素所生成的子代數(shù)是結(jié)合的。實(shí)際上，我們可以證明，由O的任何兩個(gè)元素所生成的子代數(shù)都與R、C或H同構(gòu)，它們都是結(jié)合的。由于八元數(shù)不滿足結(jié)合性，因此它們沒有矩陣的表示法，與四元數(shù)不一樣。

八元數(shù)確實(shí)保留了R、C和H共同擁有的一個(gè)重要的性質(zhì)：O上的范數(shù)滿足

這意味著八元數(shù)形成了一個(gè)非結(jié)合的賦范可除代數(shù)。所有由凱萊-迪克松構(gòu)造所定義的更高維代數(shù)都不滿足這個(gè)性質(zhì)。它們都有零因子。

這樣，實(shí)數(shù)域上唯一的賦范可除代數(shù)是R、C、H和O。這四個(gè)代數(shù)也形成了實(shí)數(shù)域上唯一的交錯(cuò)的、有限維的可除代數(shù)。

由于八元數(shù)不是結(jié)合的，因此O的非零元素不形成一個(gè)群。然而，它們形成一個(gè)擬群。

自同構(gòu)

八元數(shù)的自同構(gòu)A，是O的可逆線性變換，滿足：

O的所有自同構(gòu)的集合組成了一個(gè)群，稱為G2。群G2是一個(gè)單連通、緊致、14維的實(shí)李群。這個(gè)群是例外李群中最小的一個(gè)。

參見

雙曲復(fù)數(shù)

四元數(shù)

十六元數(shù)

Spin(8)

PSL(2,7)──法諾平面的自同構(gòu)群。

參考文獻(xiàn)

Baez, John,The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205 . Online HTML version at

Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . (Review).

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