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定義

代數(shù)數(shù)可以定義為“有理系數(shù)多項式的復(fù)根”或“整系數(shù)多項式的復(fù)根”。第一個定義可以具體描述為：

這個定義中，由于 q n z n ? ? --> + q 1 z + q 0 = 0 {\displaystyle q_{n}z^{n}\cdots +q_{1}z+q_{0}=0} 可以推出 a n z n + ? ? --> + a 1 z + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}z^{n}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=0} ，其中整數(shù) a 0 , a 1 , ? ? --> , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}} 分別等于 M q 0 , M q 1 , ? ? --> , M q n {\displaystyle Mq_{0},Mq_{1},\cdots ,Mq_{n}} ，M是n + 1個有理數(shù) q 0 , q 1 , ? ? --> , q n {\displaystyle q_{0},q_{1},\cdots ,q_{n}} 分母的最小公倍數(shù)。所以“存在有理系數(shù)多項式使得z是其復(fù)根”可以推出“存在整系數(shù)多項式使得z是其復(fù)根”。另一方面，由于整數(shù)集合是有理數(shù)集合的子集，所以“存在整系數(shù)多項式使得z是其復(fù)根”也可以推出“存在有理系數(shù)多項式使得z是其復(fù)根”。這說明兩個定義是等價的。

例子

任何有理數(shù)q都是多項式X - q的根，因此每個有理數(shù)都是代數(shù)數(shù)。所有形同 z = q 1 m {\displaystyle z=q^{\frac {1}{m}}} 的無理數(shù)也是代數(shù)數(shù)，因為它是多項式 X m ? ? --> q {\displaystyle X^{m}-q} 的根。例如 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和 3 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}}} 是代數(shù)數(shù)，因為它們分別是方程 X 2 ? ? --> 2 = 0 {\displaystyle X^{2}-2=0} 和 X 3 ? ? --> 3 = 0 {\displaystyle X^{3}-3=0} 的根。

黃金比率 ? ? --> {\displaystyle \phi } 是代數(shù)數(shù)，因為它是 X 2 ? ? --> X ? ? --> 1 = 0 {\displaystyle X^{2}-X-1=0} 的根。二次無理數(shù)，也就是二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}虛數(shù)單位是代數(shù)數(shù)。虛數(shù)單位i也是代數(shù)數(shù)，因為是 X 2 + 1 = 0 {\displaystyle X^{2}+1=0} 的根。n次單位根，顧名思義，是 X n ? ? --> 1 = 0 {\displaystyle X^{n}-1=0高斯整數(shù)，因此是代數(shù)數(shù)。高斯整數(shù)也是代數(shù)數(shù)，例如高斯整數(shù)a + bi是多項式 X 2 ? ? --> 2 a X + a 2 + b 2 {\displaystyle X^{2}-2aX+a^{2}+b^{2}} 的根。

所有規(guī)矩數(shù)（即可以從單位長度的線段出發(fā)，通過尺規(guī)作圖法做出的線段的長度數(shù)值）都是代數(shù)數(shù)。因為建立直角坐標(biāo)系后可以證明，標(biāo)準(zhǔn)的尺規(guī)作圖步驟的每一步都相當(dāng)于計算一個次數(shù)不超過2的多項式方程，因此能夠通過有限步做出的線段長度必然是有限個有理系數(shù)多項式迭代后得到的多項式的根，從而是代數(shù)數(shù)。

自然對數(shù)的底e和圓周率π都不是代數(shù)數(shù)。

性質(zhì)

代數(shù)數(shù)不一定是實數(shù)，實數(shù)也不一定是代數(shù)數(shù)。代數(shù)數(shù)的集合是可數(shù)的。證明的方法是將所有整系數(shù)的多項式歸類。首先定義 Z n [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}[X]} 為所有n次整系數(shù)多項式的集合。其次定義 Z n k [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{k}[X]} 為系數(shù)絕對值的和等于k的n次整系數(shù)多項式的集合：

Z n k [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{k}[X]} 中多項式的任何系數(shù)至多有2k + 1個可能性，最高次項系數(shù)至多有2k個可能性，因此這樣的多項式個數(shù)不超過 2 k ( 2 k + 1 ) n {\displaystyle 2k(2k+1)^{n}} 。每個多項式至多有n個根。如果將所有 Z n k [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{k}[X]} 中多項式的根的集合記為 A n k {\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}^{k}} ，則 A n k {\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}^{k}} 的元素個數(shù)不超過 2 n k ( 2 k + 1 ) n {\displaystyle 2nk(2k+1)^{n}} ，即為有限集。

整系數(shù)多項式的集合 Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} 可以寫為常數(shù)多項式和 Z n k [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{k}[X]} 的并集：

而常數(shù)多項式?jīng)]有根。所以，任一代數(shù)數(shù)必然是某個 Z n k [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{k}[X]} 中的多項式的根，即屬于 A n k {\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}^{k}} 。反之任何 A n k {\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}^{k}} 中的元素按定義必然是代數(shù)數(shù)。因此代數(shù)數(shù)的集合 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 也可以寫為所有 A n k {\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}^{k}} 的并集：

而 Z + × × --> Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}\times \mathbb {Z} ^{+}} 是可數(shù)集。集合 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是可數(shù)個有限集的并集，因此是可數(shù)的。

由于代數(shù)數(shù)的集合 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是可數(shù)集，因此在復(fù)平面上，代數(shù)數(shù)集合的勒貝格測度為零。在此意義上，可以說“幾乎所有”的復(fù)數(shù)都不是代數(shù)數(shù)。

給定一個代數(shù)數(shù)z，在所有以z為根的有理系數(shù)多項式中，存在唯一的一個首一多項式，其次數(shù)小于等于任何其他以z為根的多項式。這個多項式稱為極小多項式。如果極小多項式的次數(shù)為n，則稱該代數(shù)數(shù)為n次代數(shù)數(shù)。一次的代數(shù)數(shù)就是有理數(shù)。

所有的代數(shù)數(shù)都是可計算數(shù)，因此是可定義數(shù)。

代數(shù)數(shù)域

兩個代數(shù)數(shù)的和、差、積與商（約定除數(shù)不為零）也是代數(shù)數(shù)?？梢则炞C，裝備了有理數(shù)的加法、乘法運算的代數(shù)數(shù)集合 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 構(gòu)成一個域，有時也記為 Q ˉ ˉ --> {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} 。每一個系數(shù)為代數(shù)數(shù)的多項式方程的根也是代數(shù)數(shù)。因此，代數(shù)數(shù)域是代數(shù)封閉域。實際上，它是含有有理數(shù)域的最小的代數(shù)封閉域，稱為有理數(shù)域的代數(shù)閉包。

由根式定義的數(shù)

任何可以從整數(shù)或有理數(shù)通過有限次四則運算和正整數(shù)次開方運算得到的數(shù)都是代數(shù)數(shù)。反之則不成立：有些代數(shù)數(shù)不能用這種方法得出。所有這些代數(shù)數(shù)都是次數(shù)不小于5的多項式的根。這是伽羅瓦理論的一個結(jié)果（參見五次方程和阿貝爾-魯菲尼定理）。一個例子是 x 5 ? ? --> x ? ? --> 1 = 0 {\displaystyle x^{5}-x-1=0\,} 的唯一的實根（大約為 1.167303978261418684256 {\displaystyle 1.167303978261418684256\,} ）。

代數(shù)整數(shù)

代數(shù)整數(shù)是任何整系數(shù)首一多項式的根。顯然代數(shù)整數(shù)是代數(shù)數(shù)的一部分，但代數(shù)數(shù)不全是代數(shù)整數(shù)。所有整數(shù)都是代數(shù)整數(shù)，其余的有理數(shù)則不是代數(shù)整數(shù)。代數(shù)整數(shù)的集合記作 A {\displaystyle \mathbb {A} } ，是代數(shù)數(shù)的子集。在某些上下文中，為了與代數(shù)整數(shù)區(qū)別，整數(shù)也被稱作有理整數(shù)。

兩個代數(shù)整數(shù)的和、差與積也是代數(shù)整數(shù)，這就是說，裝備了整數(shù)的加法、乘法運算的代數(shù)整數(shù)集合構(gòu)成了一個環(huán)，因此 A {\displaystyle \mathbb {A} } 代數(shù)中也被稱為代數(shù)整數(shù)環(huán)。

參考文獻(xiàn)

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