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幾何原本第五公設(shè)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設(shè)。頭四條公設(shè)分別為：由任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作直線。一條有限直線可以繼續(xù)延長。以任意點(diǎn)為心及任意的距離可以畫圓。凡直角都相等。同一平面內(nèi)一條直線a和另外兩條直線b.c相交，若在a某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于兩直角，則b.c兩直線經(jīng)無限延長后在該側(cè)相交。長期以來，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)比較起來，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L，而且也不那么顯而易見。有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個(gè)命題中才用到，而且以后再也沒有使用。也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設(shè)而推出前二十八個(gè)命題。因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個(gè)公設(shè)來證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。由于證明第五公設(shè)的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對...

相關(guān)條目ATC卡片：藝術(shù)家交換卡，小型的卡片型手工藝術(shù)品。

一般用法交換律是一個(gè)和二元運(yùn)算及函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)。而若交換律對一特定二元運(yùn)算下的一對元素成立，則稱這兩個(gè)元素為在此運(yùn)算下是“可交換”的。在群論和集合論中，許多的代數(shù)結(jié)構(gòu)被稱做是可交換的，若其中的運(yùn)算域滿足交換律。在數(shù)學(xué)分析和線性代數(shù)中，一些知名的運(yùn)算（如實(shí)數(shù)及復(fù)數(shù)上的加法和乘法）的交換律會(huì)經(jīng)常被用于（或假定存在于）證明之中。數(shù)學(xué)定義“可交換”一詞被使用于如下幾個(gè)相關(guān)的概念中：1.在集合S的一二元運(yùn)算*被稱之為“可交換”的，若：一個(gè)不滿足上述性質(zhì)的運(yùn)算則稱之為“不可交換”的。2.若稱x在*下和y“可交換”，即表示：3.一二元函數(shù)f:A×A→B被稱之為“可交換”的，若：歷史對這一詞第一個(gè)已知的應(yīng)用是在1814年的一本法國期刊上對交換律假定存在的應(yīng)用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計(jì)算。且知?dú)W幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。對交換律形式上的應(yīng)用產(chǎn)生于18

定義與例子定義更多資料：環(huán)環(huán)是一個(gè)集合R帶有兩個(gè)二元運(yùn)算，即將環(huán)中的任意兩個(gè)元素變?yōu)榈谌齻€(gè)的運(yùn)算。他們稱為加法與乘法，通常記作+與?，例如a+b與a?b。為了形成一個(gè)群這兩個(gè)運(yùn)算需滿足一些性質(zhì)：環(huán)在加法下是一個(gè)阿貝爾群，在乘法下為一個(gè)幺半群，使得乘法對加法有分配律，即a?(b+c)=(a?b)+(a?c)。關(guān)于加法與乘法的單位元素分別記作0和1。另外如果乘法也是交換的，即環(huán)R稱為交換的。除非另有特別聲明，下文中所有環(huán)假設(shè)是交換的。例子一個(gè)重要的例子，在某種意義下是最關(guān)鍵的，是帶有加法與乘法兩個(gè)運(yùn)算的整數(shù)環(huán)Z。因?yàn)檎麛?shù)乘法是一個(gè)交換運(yùn)算，這是一個(gè)交換環(huán)。通常記作Z，是德語詞Zahlen（數(shù)）的縮寫。一個(gè)域是每個(gè)非零元素a是可逆的交換環(huán)，即有一個(gè)乘法逆b使得a?b=1。從而，由定義知任何域是一個(gè)交換環(huán)。有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)都是域。2×2的矩陣不是交換的，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律，如下例所示：但是

群論環(huán)論量子力學(xué)量子力學(xué)中，經(jīng)常用到對易關(guān)系（commutationrelation），即其中；A^^-->{\displaystyle{\hat{A}}}、B^^-->{\displaystyle{\hat{B}}}均算符子力學(xué)的算符，[A^^-->,B^^-->]{\displaystyle[{\hat{A}},{\hat{B}}]}是其對易算符，也稱交換子。如果上式等于零，則稱A^^-->{\displaystyle{\hat{A}}}、B^^-->{\displaystyle{\hat{B}}}是對易的，即意味著A^^-->{\displaystyle{\hat{A}}}和B^^-->{\displaystyle{\hat{B}}}兩個(gè)算符的運(yùn)算順序可以調(diào)換。反之則稱非對易的，運(yùn)算順序不可以調(diào)換。量子力學(xué)中，交換子有以下特性:量子力學(xué)...