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幾何原本第五公設(shè)

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設(shè)。頭四條公設(shè)分別為：

由任意一點到任意一點可作直線。

一條有限直線可以繼續(xù)延長。

以任意點為心及任意的距離可以畫圓。

凡直角都相等。

同一平面內(nèi)一條直線a和另外兩條直線b.c相交，若在a某一側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于兩直角，則b.c兩直線經(jīng)無限延長后在該側(cè)相交。

長期以來，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個公設(shè)比較起來，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L，而且也不那么顯而易見。有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以后再也沒有使用。也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設(shè)而推出前二十八個命題。因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個公設(shè)來證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。由于證明第五公設(shè)的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設(shè)到底能不能證明？

羅巴切夫斯基幾何

1820年代，俄國喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明第五公設(shè)的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐氏平行公理相矛盾的命題，用它來代替第五公設(shè)，然后與歐氏幾何的前四個公設(shè)結(jié)合成一個公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。他認(rèn)為如果這個系統(tǒng)在基礎(chǔ)的推理現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設(shè)。此即數(shù)學(xué)中的反證法。但是，在他極為細(xì)致深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結(jié)論：

第一，第五公設(shè)不能被證明。

第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個理論像歐氏幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。

這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學(xué)。從羅氏幾何學(xué)中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論：邏輯上不矛盾的一些公理都有可能提供一種幾何學(xué)。

鮑耶和高斯的貢獻(xiàn)

幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶·雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不可證明和非歐幾何學(xué)的存在。鮑耶在研究非歐幾何學(xué)的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親——數(shù)學(xué)家鮑耶·法爾卡什（英語：Farkas Bolyai）認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶·雅諾什堅持為發(fā)展新的幾何學(xué)而辛勤工作。終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結(jié)果。

高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當(dāng)時教會力量的打擊和，不敢公開發(fā)表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。

非歐幾何分類

球面三角形

按幾何特性（曲率），現(xiàn)存非歐幾何的類型可以概括如下：

堅持第五公設(shè)，引出歐幾里得幾何。

以“可以引最少兩條平行線”為新公設(shè)，引出羅氏幾何（或稱雙曲面幾何）。

以“一條平行線也不能引”為新公設(shè)，引出黎曼幾何（或稱橢圓幾何）。

這三種幾何學(xué)，都是常曲率空間中的幾何學(xué)，分別對應(yīng)曲率為0、負(fù)常數(shù)和正常數(shù)的情況。

如果完全去掉第五公設(shè)，就得到更加一般化的絕對幾何。這種幾何不僅可以囊括前面提到的三種幾何，而且允許空間的不同位置有不同的曲率。黎曼幾何是描述任意維數(shù)任意彎曲的絕對幾何空間的一種微分解析幾何學(xué)。

一般來講，非歐幾何有廣義、狹義、通常意義三個不同含義:

廣義的非歐幾何：泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)；

狹義的非歐幾何：只是指羅式幾何或黎曼幾何；

通常意義的非歐幾何：指羅式幾何和黎曼幾何二者。

參考資料

曹亮吉.歐幾里得無瑕獲釋？. 科學(xué)月刊 （中文）. 

洪萬生.非歐幾何（Non-Euclidean geometry）. 科技部高瞻自然科學(xué)教學(xué)平臺. 2011-03-31 （中文）. 

張海潮.非歐幾何講稿(PDF). 數(shù)學(xué)傳播. 2015-9, 39 (3): 13-29 （中文）. 

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