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一般用法

交換律 是一個和二元運算及函數(shù)有關的性質(zhì)。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是“可交換”的。

在群論和集合論中，許多的代數(shù)結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿換律。在數(shù)學分析和線性代數(shù)中，一些知名的運算（如實數(shù)及復數(shù)上的加法和乘法）的交換律會經(jīng)常被用于（或假定存在于）證明之中。

數(shù)學定義

“可交換”一詞被使用于如下幾個相關的概念中 ：

1. 在集合 S 的一二元運算* 被稱之為“可交換”的，若：

一個不滿足上述性質(zhì)的運算則稱之為“不可交換”的。

2. 若稱 x 在 * 下和 y “可交換”，即表示：

3. 一二元函數(shù) f: A × A → B 被稱之為“可交換”的，若：

歷史

  對這一詞第一個已知的應用是在1814年的一本法國期刊上

對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。 且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。 對交換律形式上的應用產(chǎn)生于18世紀末19世紀初，那時數(shù)學家開始在研究函數(shù)的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數(shù)的數(shù)學分支中被當做基本性質(zhì)來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數(shù)學教程中被教導。

第一個使用“可交換（commutative）”一詞的是 Francois Servois 于1814年寫下的筆記 ，這一詞在筆記中被用來指有著現(xiàn)在稱之為交換律的函數(shù)。這一詞首次出現(xiàn)于英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學匯刊中。

相關性質(zhì)

  顯示加法函數(shù)對稱性的圖

結合律

結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序并不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指算子的順序不會影響其最終結果的性質(zhì)。

對稱

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數(shù)，則此一函數(shù)會對 y = x 這條線對稱。舉例來說，若設一函數(shù) f 來表示加法（一可交換運算），所以 f ( x , y ) = x + y ，也因此 f 會是個如右圖所見的對稱函數(shù)。

例子

日常生活中的可交換運算

洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩只鞋子都洗好）是一樣的。

成語“朝三暮四”也可看做是可交換運算的一個例子。

數(shù)學中的可交換運算

  顯現(xiàn)出乘法 ( 5* 3 = 3 * 5 ) 的交換律的一個例子

兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為 ：

實數(shù)的加法

實數(shù)的乘法

更多可交換二元運算的例子包括復數(shù)的乘法、向量的加法、和集合的交集與并集。

日常生活中的不可交換運算

 串接（將字串連在一起的行為）是個不可交換運算。

洗衣和干衣可類比成不可交換運算，因為先干衣再洗衣和先洗衣再干衣兩者會得出很不同的結果來。

魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF"），并不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最后再將頂面順時針扭轉（FF"U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究于群論中。

數(shù)學中的不可交換運算

一些不可交換二元運算 有：

減法： 0 ? ? --> 1 ≠ ≠ --> 1 ? ? --> 0 {\displaystyle 0-1\neq 1-0} 不過可將其減法符號轉換成加上其相反數(shù)，即可使用交換律。

除法： 1 ÷ ÷ --> 2 ≠ ≠ --> 2 ÷ ÷ --> 1 {\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1} 可將除法轉換成乘上其倒數(shù)以使用交換律。

矩陣乘法：

數(shù)學結構與交換律

阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。

交換環(huán)是一個乘法為可交換的環(huán)。（環(huán)中的加法依定義總會是可交換的。）

域的加法與乘法都是可交換的。

中心是一個群最大的可交換子集。

參考資料

書籍

Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8.

Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8.

Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra, 6e. 2006. ISBN 978-0-618-51471-7.

文章

http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdfLumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text . London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2

線上資源

Krowne, Aaron, Commutative atPlanetMath., Accessed 8 August 2007.

MathWorld上 Commute 的資料，作者：埃里克·韋斯坦因。, Accessed 8 August 2007.

Yark. Examples of non-commutative operations atPlanetMath., Accessed 8 August 2007

O"Conner, J J and Robertson, E F.MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007

Cabillón, Julio and Miller, Jeff.Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 8 August 2007

O"Conner, J J and Robertson, E F.MacTutor biography of Fran?ois Servois, Accessed 8 August 2007

另見

反交換律

二元運算

交換子集合

交換子

分配律

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