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分岔類型

分岔可以分為以下的二種類型：

局部分岔（Local bifurcations）是指分岔特性可以用局部穩(wěn)定性完全分析的分岔，一般會用參數(shù)通過臨界值時(shí)，平衡點(diǎn)、周期性軌跡或其他固定點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。

全域分岔（Global bifurcations）是指分岔特性無法用局部穩(wěn)定性完全分析的分岔，一般是指較大的不變集彼此重疊，或是和系統(tǒng)的平衡點(diǎn)重疊，這無法只靠平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析來求得。

局部分岔

  逐漸變成有序的周期對半分岔（L），之后是逐漸變成混沌的周期加倍分岔（R）

局部分岔是指因參數(shù)變化，因此改變平衡點(diǎn)（或是不動(dòng)點(diǎn)）穩(wěn)定性的情形，對應(yīng)平衡點(diǎn)特征值的實(shí)部由正變負(fù)或是由負(fù)變正，在離散系統(tǒng)中（會由映射描述），是指不動(dòng)點(diǎn)其弗洛凱乘子的模為1。這二種情形下，平衡點(diǎn)在分岔時(shí)都是非雙曲線的。

局部分岔有一個(gè)特性，只要控制分岔參數(shù)，可以將系統(tǒng)相圖中的拓樸變化限制在分岔點(diǎn)附近任意小的區(qū)域中，因此稱為局部分岔。

考慮用以下常微分方程描述的連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

若在 ( x 0 , λ λ --> 0 ) {\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})} 位置的雅可比矩陣 d f x 0 , λ λ --> 0 {\displaystyle {\textrm 5pzznhp}f_{x_{0},\lambda _{0}}} 有實(shí)部為0的特征值，表示在此點(diǎn)有局部分岔。若特征值為0，表示此分岔為穩(wěn)態(tài)的分岔，但若特征值為虛數(shù)霍普夫是 霍普夫分岔 （ 英語 ： Hopf bifurcation ） 。

若是離散系統(tǒng)

若在 ( x 0 , λ λ --> 0 ) {\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})} 的矩陣 d f x 0 , λ λ --> 0 {\displaystyle {\textrm 3zh55jl}f_{x_{0},\lambda _{0}}} 有模數(shù)為1的特征值，表示有局部分岔。若特征值等于1，分岔可能是 鞍結(jié)分岔 （ 英語 ： saddle-node bifurcation ） 、 跨臨界分岔 （ 英語 ： transcritical bifurcation ） 或 叉式分岔 （ 英語 ： pitchfork bifurcation ） ，若特征值等于-1，表示是 周期加倍分岔 （ 英語 ： period-doubling bifurcation ） ，否則則為 霍普夫分岔 （ 英語 ： Hopf bifurcation ） 。

局部分岔的例子有：

鞍結(jié)分岔 （ 英語 ： saddle-node bifurcation ） （fold分岔）

跨臨界分岔 （ 英語 ： transcritical bifurcation ）

叉式分岔 （ 英語 ： pitchfork bifurcation ）

周期加倍分岔 （ 英語 ： period-doubling bifurcation ） （flip分岔）

霍普夫分岔 （ 英語 ： Hopf bifurcation ）

Neimark–Sacker分岔（二次霍普夫分岔）

全域分岔

全域分岔是指較大的不變集（如周期性軌跡）和平衡點(diǎn)重疊。全域分岔也會改變相圖上的拓樸，而且其變化不會像局部分岔一様限制在一個(gè)小區(qū)域，因此稱為全域分岔。

全域分岔的例子有：

同宿分岔 （ 英語 ： Homoclinic bifurcation ） 是指極限環(huán)和一個(gè)鞍點(diǎn)重疊。

異宿分岔 （ 英語 ： Heteroclinic bifurcation ） 是指極限環(huán)和二個(gè)或多個(gè)鞍點(diǎn)重疊。

無限周期分岔 （ 英語 ： Infinite-period bifurcation ） 是指在極限環(huán)上有穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)和鞍點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)。

藍(lán)天突變 （ 英語 ： Blue sky catastrophe ） 是指極限環(huán)和一個(gè)nonhyperbolic cycle重疊。

全域分岔有時(shí)會和像奇異吸引子之間更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)有關(guān)，如一種稱為 危機(jī) （ 英語 ： Crisis (dynamical systems) ） 的現(xiàn)象就是指當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)變化時(shí)，奇異吸引子突然出現(xiàn)或是突然消失。

分岔的余維數(shù)

分岔的余維數(shù)是指動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中需變動(dòng)幾個(gè)參數(shù)，才會使分岔現(xiàn)象出現(xiàn)。鞍結(jié)分岔及霍普夫分岔是常見的局部分岔中，實(shí)際余維數(shù)為1的二個(gè)分岔（其他分岔的余維數(shù)都大于1）。不過跨臨界分岔及叉式分岔的正規(guī)式可以寫成只有一個(gè)參數(shù)的形式，因此也可以視為余維數(shù)為1的分岔。

Bogdanov-Takens 分岔 （ 英語 ： Bogdanov–Takens bifurcation ） 是一個(gè)有較多研究，余維數(shù)為2分岔的一個(gè)例子。

在半經(jīng)典力學(xué)及量子力學(xué)上的應(yīng)用

分岔理論已用在連結(jié)量子系統(tǒng)及經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)中，可以用在原子系統(tǒng) 、分子系統(tǒng) 及諧振隧穿二極管 。分岔理論已用到激光動(dòng)力學(xué) 的研究中，也用在許多在實(shí)驗(yàn)上難以處理的理論例子中，例如kicked top 及耦合量子阱 。將量子系統(tǒng)及古典力動(dòng)方程中分岔相連結(jié)的主要原因是在分岔時(shí)，古典力學(xué)軌道的signature會變大，正如 Martin Gutzwiller （ 英語 ： Martin Gutzwiller ） 在有關(guān) 量子混沌 （ 英語 ： quantum chaos ） 中的研究所提出的一樣 。許多分岔都研究來連結(jié)古典力學(xué)和量子力學(xué)，像是鞍結(jié)分岔、霍普夫分岔、umbilic分岔、周期加倍分岔、重新連接分叉（reconnection bifurcation）、切線分叉（tangent bifurcation）及尖分叉（cusp bifurcation）。

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